基于多選題場景 “通法”與“巧法”應用
——一道不等式恒成立的探究

任 榮

(福建省平潭第一中學,福建 福州 350400)

“不等”與“相等”是數學中兩個既對立又統一的個體,同時交匯形成一個統一的整體,成為數學科學辯證思維方式中最為常見的一種特殊思維方式．在具體數學問題的創設與應用中,經常可以由“不等”(或“相等”)問題巧妙變形或轉換為“相等”(或“不等”)問題,創造性地突破思維方式,巧妙聯系兩個不同維度問題之間的關系,開拓“不等”與“相等”的和諧統一與巧妙轉化[1]．

1 問題呈現

問題(2024屆湖南省三湘創新發展聯合體高三上學期9月月考數學試題·12)(多選題)已知關于x的不等式2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+(x-2)2≥0在區間[1,+∞)上恒成立,則( ).

A．a=1 B．a=2 C．b=-3 D．b=-2

該問題以含參不等式在給定區間上恒成立來創新設置,以“不等”的場景來創設,結合問題的內涵與實質的挖掘,通過合理的分析與求解,得到對應變量的定值問題,實現“相等”問題的突破與求解．

在具體解決問題時,可以借助一些比較常見的“通性通法”加以邏輯推理與數學運算,通過“兩邊夾”思維、二階導數以及端點思維等方法來處理,得以正確剖析與推理,巧妙確定變量的取值;也可以借助選擇題,特別是一些具有特殊結構特征的多選題,可以借助一些比較常用的“巧技妙法”加以快捷分析與判斷,通過重要不等式放縮、以“點”帶“面”等方法來處理,相應的方法不具有完備性,但方法簡捷,可以比較快速確定正確的答案,給多選題的解決提供一種補充方法．

2 問題破解

2.1 通性通法

方法1(“兩邊夾”思維法)

又f′(x)=2x-lnx,g′(x)=-2x+4,且f′(1)=g′(1)=2,所以直線y=ax+b為曲線f(x)與g(x)的圖象在x=1處的公切線時,才能使原不等式恒成立,此時a=f′(1)=2,b=-3,故選擇答案:BC．

解后反思合理分離出含參的一次函數,使之介于兩已知曲線之間,通過“兩邊夾”思維,確定不等式恒成立時,該一次函數所對應的直線就是兩曲線的切點處的公切線,利用導數法來分析與求解對應的參數值．導數法是處理此類含參的不等式恒成立問題時最為常用的一種技巧方法,合理的變形與轉化是解決問題的關鍵．

方法2 (二階導數法)

解后反思借助不等式恒成立的條件,從不同思維視角切入加以分析,利用函數的構建以及求導處理,利用二階求導的轉化與應用,通過函數的單調性判斷與性質應用來轉化．特別這里借助作差比較法來構建一個新函數,結合端點處的取值與單調性情況加以綜合分析與應用,也是一種非常不錯的技巧與方法．

方法3(端點思維法)

解析取端點x=1,代入原不等式,可得a+b+1=0,即b=-a-1,則對任意x>1,不等式ax+b+(x-2)2≥0恒成立,等價于ax-a-1+(x-2)2≥0,整理可得a(x-1)≥-(x-1)(x-3),則有a≥3-x恒成立,所以a≥2;

綜上分析,可知a=2,則有b=-a-1=-3,故選擇答案:BC．

解后反思解決一些問題時,經常從特殊情況入手加以分析,再由特殊回歸一般,從而推理分析一般性的結論,這是解決問題時比較常用的一種基本思維方式．而這里從變量取值的端點入手,以特殊情況確定兩參數的代數式,再從一般的變量取值情況,結合不等式恒成立的條件,通過消參處理,確定變量a的取值范圍并得以求值處理,從而得以巧妙解決綜合問題．該端點思維法處理問題起來,過程清晰明了,解題過程顯得更加簡單快捷,提升解題效益．

2.2 巧技妙法

方法4(重要不等式放縮法)

解析依題,由2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+(x-2)2,可得x2+x-xlnx-3≥ax+b,

記函數f(x)=x2+x-xlnx-3,

結合切線不等式——對數不等式的結論:lnx≤x-1,當且僅當x=1時等號成立,則有f(x)=x2+x-xlnx-3≥x2+x-x(x-1)-3=2x-3,結合不等式f(x)≥ax+b在[1,+∞)上恒成立,可得a=2,b=-3,故選擇答案:BC．

解后反思抓住重要的切線不等式來合理放縮,從“兩邊夾”不等式的一邊加以放縮轉化與處理,數學思維與解題步驟不完備,但可以較快確定相應的答案,特別是對于此類特別類型的多選題,只要確定其中一半成立即可．解題過程有一定的“投機取巧”的成分,對于簡捷處理問題有一定的奇效．

方法5(以“點”帶“面”法)

解析依題,由2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+(x-2)2≥0,可得x2+x-xlnx-3≥ax+b≥-(x-2)2,記函數f(x)=x2+x-xlnx-3,g(x)=-(x-2)2,h(x)=ax+b,又f′(x)=2x-lnx,g′(x)=-2x+4,h′(x)=a,而f(1)=g(1)=-1,且f′(1)=g′(1)=2,要使得關于x的不等式2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+(x-2)2≥0在[1,+∞)上恒成立,則必須滿足h(1)=f(1)=g(1)=-1,且h′(1)=f′(1)=g′(1)=2,所以a=2,h(1)=a+b=-1,解得b=-3,故選擇答案:BC．

解后反思合理變形并轉化恒成立的不等式,分離出含參的一次函數,結合“兩邊夾”的結構特征,通過兩邊函數的設置及其求導運算,結合含參的一次函數的兩邊函數在變量取值的端點處相應的函數值與導函數值相等的條件,進而確定該一次函數所滿足的條件,從而得以確定對應的參數值,實現以“點”帶“面”的效果．當然本題中所取的“點”恰好就是等號成立時的條件,否則問題的解決并不是那么簡單,該方法不具有完備性．

3 變式拓展

原問題中通過不等式的恒成立,以“不等”來求解變量的值,實現“相等”的應用,巧妙聯想起“不等”與“相等”之間的辯證關系.這也為該問題的變式與拓展提供更加廣闊的空間,特別可以從“相等”的視角來設置與應用．

變式1(2024屆內蒙古部分名校高三(上)月考數學試卷(9月份))關于x的不等式2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+(x-2)2≥0在[1,+∞)上恒成立,則3a+2b=( ).

A．-2 B．0 C．1 D．3

解析具體解析過程可參考原問題的解析,可得a=2,b=-3,所以3a+2b=0,故選擇答案:B．

變式2已知x,y∈R,且滿足不等式3(x-1)≤ln(x+y-3)+ln(2x-y+2)恒成立,則3y-5x=( ).

A．5 B．4 C．3 D．2

解析依題,由于不等式3(x-1)≤ln(x+y-3)+ln(2x-y+2)恒成立,結合切線不等式——對數不等式的結論:lnx≤x-1,當且僅當x=1時等號成立,合理放縮處理,可得ln(x+y-3)+ln(2x-y+2)≤(x+y-3-1)+(2x-y+2-1)=3x-3,則有不等式3(x-1)≤ln(x+y-3)+ln(2x-y+2)≤3x-3恒成立,當且僅當x+y-3=2x-y+2=1時等號成立,解得x=1,y=3,此時3y-5x=4,故選擇答案:B．

4 教學啟示

4.1 規律總結,方法歸納

解決以上“不等”與“相等”之間的辯證關系的數學問題時,關鍵在于合理的變形與轉化,以及問題的等價變換處理,將陌生的問題轉化為較為熟知的問題,合理構建相應的模型來分析與解決問題．

特別是以上問題中,巧妙利用“兩邊夾”思維與結論的應用,其實質就是通過相應的結構形式“a≤f(x)≤b”,通過不等式恒成立條件的綜合應用來分析與處理,從而達到分析與解決問題的目的．

4.2 創新應用,辯證思維

以“不等”與“相等”之間的辯證關系及其創新應用,可以合理帶動一些創新應用問題,聯系到“變量”與“常量”、“具體”與“抽象”、“靜止”與“運動”、“單一”與“交匯”、“簡單”與“復雜”等的突破性變形與轉化,關鍵在于巧妙變形與轉化,化陌生為熟知,化未知為已知．

5 結束語

通過此類創新應用問題,融入數學知識考查與數學能力的應用,逐步養成科學的辯證思維,提升解題者邏輯推理與數學運算等數學核心素養.利用辯證眼光與數學眼光來觀察世界,利用辯證思維與數學思維來分析世界,利用辯證語言與數學語言來表達世界等,全方位、全系統提升各方面的能力．