圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的解題策略

高玉榮

(山東省安丘市第二中學(xué),山東 安丘 262100)

圓錐曲線中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力等.圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的題型主要有:切點(diǎn)弦問(wèn)題、斜率之和為定值問(wèn)題、斜率之積為定值問(wèn)題以及定點(diǎn)的存在性問(wèn)題.筆者對(duì)圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行分類解析并給出解題策略.

1 解題策略

(1)從特殊位置入手,找出定點(diǎn),再證明該點(diǎn)適合題意.

(2)解題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn),設(shè)線,直線與圓錐曲線聯(lián)系,然后表示出直線的斜率,進(jìn)而求直線方程并證明結(jié)論等.

2 兩垂直弦的中點(diǎn)所在的直線

3 切點(diǎn)弦問(wèn)題

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線l的方程是x+y-6=0,點(diǎn)M是直線l上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作橢圓C的切線MG,MH,切點(diǎn)分別為G,H,設(shè)切線的斜率都存在,試問(wèn):直線GH是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出該點(diǎn)的坐標(biāo);若不過(guò),請(qǐng)說(shuō)明理由[2].

(2)證明設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2),M(x3,y3),直線MG的方程為y-y1=k(x-x1).

得(9k2+1)x2+18k(y1-kx1)x+9(y1-kx1)2-9=0,

則△=[18k(y1-kx1)]2-4(9k2+1)[9(y1-kx1)2-9]=0,

化簡(jiǎn)得(y1-kx1)2=9k2+1,

同理可得,直線MH方程為x2x+9y2y=9.

所以直線GH方程為x3x+9y3y=9.

又x3+y3-6=0,所以直線GH方程為6x-9+(9y-x)y3=0,

利用切點(diǎn)弦的結(jié)論,快速解決下面的例3.

證明由題意得Ax0+By0+C=0,

①

②

將①代入②消去x0得 (Aa2y-Bb2x)y0=a2b2+Cb2x,

4 斜率之積為定值

(1)求雙曲線C的方程;

(2)設(shè)P為雙曲線的左頂點(diǎn),直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率不為0,l與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),直線m過(guò)x軸上一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)P),且與直線l的傾斜角互補(bǔ),m與直線PA,PB分別交于M,N(M,N不在坐標(biāo)軸上)兩點(diǎn),若直線OM,ON的斜率之積為定值,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解(1)略.

(方法2)設(shè)線[4].設(shè)A(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),Q(t,0),由(1)知P(-1,0),

得(k2-1)x2+2k2x+k2+1=0,

因?yàn)橹本€OM,ON的斜率之積為定值,設(shè)定值為c,

5 定點(diǎn)的存在性問(wèn)題

圖1 例5題圖

(1)求證:k1k2=1;

(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn),作OP⊥MN,垂足為P.是否存在定點(diǎn)Q,使|PQ|為定值?

化簡(jiǎn)得(4-r2)k2-8k+4-r2=0,

所以k1和k2是方程(4-r2)k2-8k+4-r2=0的兩根,由韋達(dá)定理知,k1k2=1.

(2)設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),

所以直線MN的方程為

如圖1,由橢圓的對(duì)稱性[5]可知,直線MN必過(guò)軸上一定點(diǎn)E(x0,0)

化簡(jiǎn)得(40+12x0)k2+3x0+10=0

點(diǎn)評(píng)對(duì)于圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題的求解策略:

(1)對(duì)于定點(diǎn)、定值問(wèn)題,可考慮能否用特殊點(diǎn)或特殊值求得定點(diǎn)或定值,再把結(jié)論推廣到一般結(jié)論;

(2)運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法進(jìn)行解答,一般步驟:①選擇適當(dāng)?shù)淖兞?②把要證明的定點(diǎn)、定值的量表示為上述變量的函數(shù)或方程;③把定點(diǎn)、定值的量化成與變量無(wú)關(guān)的結(jié)構(gòu)形式,從而加以判定或證明.

6 結(jié)束語(yǔ)

圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題是高考的難題,令很多考生望而生畏.破解圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的策略主要是通法(即設(shè)點(diǎn)、設(shè)線、聯(lián)立、韋達(dá)等),只不過(guò)還需要熟悉一些常用的結(jié)論,比如切點(diǎn)弦方程、兩點(diǎn)直徑圓、同構(gòu)思想、齊次化思想等.在解題時(shí),熟悉通法與常用的數(shù)學(xué)思想最為關(guān)鍵,然后進(jìn)行分類、總結(jié),再加強(qiáng)訓(xùn)練,假以時(shí)日,定能提高學(xué)習(xí)效率與解題能力.