多元表征理論下高中數學概念教學的研究

李廣丹

(江蘇省句容市實驗高級中學,江蘇 句容 212400)

多元表征理論(Multiple Intelligences Theory)最早是由美國心理學家霍華德·加德納(Howard Gardner)于20世紀80年代提出的一種關于智力的理論.但是這里所要講的多元表征理論是與高中數學概念相結合,指對一個數學概念從使用文字表征、操作表征、圖像(圖形)表征、符號表征幾種表征方式來進行描述,避免單一描述所帶來的誤解,最大限度地使學生從多個角度理解這些概念,并能利用這些數學概念解釋身邊的一些問題[1].

數學概念則是指數學中的基本概念、定義和定理等,是數學理論的基礎和核心.數學概念包括數論、代數、幾何、拓撲、微積分等各個領域中的基本概念.在數論中,常見的概念有自然數、整數、有理數、無理數、實數、復數等.在代數中,常見的概念有向量、矩陣、線性方程組、函數、多項式等.在幾何中,常見的概念有點、線、面、角、距離、相似、全等等.為了系統地研究多元表征理論下的高中數學概念教學,我們先要弄明白這種教學模式與傳統模式的區別.

1 多元表征理論下高中數學概念教學與傳統教學的區別

傳統的數學教學通常采用了較為抽象和理論化的方式教授數學概念,這種教學方式可能會讓學生難以理解和掌握數學概念.傳統的教學方法之所以會跟不上時代的步伐,就因為其只涉及了對概念進行文字和符號的描述,而新的概念教學模式即多元表征理論概念教學則會用到文字表征、操作表征、圖像(圖形)表征、符號表征等多種表征方式,可最大限度地減少學習障礙、提高學習效率.多元表征可以分為內在和外在表征.外在表征是指數學學習對象的代替,根據數學學習客體的不同形式,可以歸類為言語、圖像等.而內在表征是外在表征在人腦中的內化,指數學學習客體在人腦中呈現的不同心理表征,例如命題、圖式等.并且在此基礎上對數學外在表征分為敘事性和描繪性表征,敘事性表征與被表征的概念沒有直接或相似性聯系,只能通過想象性聯系,而描繪性表征則是與被表征概念有著強相關性聯系.同時我們也可以把多元表征分為言語化表征和視覺化表征兩種,這也是我們常用的分類方式,具體應用如下.

以“函數單調性”這一節課來舉例,就可以根據具體情況把相應的數學概念通過言語化表征和視覺化表征兩種方式表達,其中語言化表征包括文字表征和符號表征,而視覺性表征則包括解析表征,圖像表征和列表表征.通過這種方法,學生可以更直觀地了解函數單調性相關的概念,并且能夠與對應的知識加以比較并快速應用的問題的解答中,還能夠增加課程的趣味性.

2 多元表征理論數學概念教學的方法

2.1 文字表征

文字表征是指通過自然語言來表達數學概念和運算過程的方法.例如,在幾何中,我們可以使用自然語言來描述圖形的特征和性質,如直角三角形的定義:“一個三角形的一個角是直角,則稱這個三角形為直角三角形”.

2.2 符號表征

符號表征是指通過符號化語言來表達數學概念和運算過程的方法.例如,在代數中,我們可以使用加號、減號、乘號、除號等符號來表示加、減、乘、除等運算;在微積分中,我們可以使用和等符號來表示微分、積分等運算.

2.3 解析式表征

解析式表征是指用代數式或方程式來表達數學概念.例如,二次函數y=ax2+bx+c就是一個解析式表征,通過這個式子可以得到二次函數的圖象、頂點坐標等信息.

2.4 圖像表征

圖像表征是指用圖象或圖形來表達數學概念.例如,正弦函數的圖象就是一個典型的圖象表征,它可以通過函數y=sin(x)來繪制.這個圖象可以讓學生更加直觀地理解正弦函數的周期、振幅、相位等概念.另外一個例子是平面直角坐標系中的圖形,例如圓形、橢圓形、拋物線等,它們的圖象可以幫助學生更加直觀地理解它們的性質和特征.

2.5 列表表征

列表表征是指用數據表格或列表來表達數學概念.例如,正比例函數y=kx可以用一個數據表格來表示,表格中列出x和y的對應關系,可以讓學生更加直觀地看出y隨x增大的趨勢和規律.

而實際上我們想要講好一個數學概念,只通過一個表征方法是不夠的,往往是通過多種表征方法相結合的方式進行教學的.下面我們以“圓的概念”教學這一節課為例進行講解.

定義:圓是平面上所有距離圓心相等的點的集合.

(1)文字表征:圓是一個平面上的幾何圖形,由所有到圓心距離相等的點組成.圓通常用“圓”這個詞來描述,圓心是圓的中心點,半徑是從圓心到圓周上任意一點的距離.

(2)符號表征:用符號O表示圓心,用r表示圓的半徑,用O(0,r)表示圓.

(3)解析式表征:方程可以轉化為方程,如為圓上點到圓心的直線與x軸的夾角.

(4)圖像表征:圖像如圖1所示

圖1 圖像表征

(5)列表表征:列表如表1所示

表1 列表表征

3 多元表征理論數學概念教學的策略

教學策略是教學模式和課堂教學的紐帶,為了更好地實踐多元表征理論在高中數學概念教學中的應用,筆者提出以下策略,希望能對課堂授課予以幫助.

3.1 引入多元表征情景

在數學教學中,引入數學概念的環節通常被稱為創設情境引入新知.學生對新知的初始印象很重要,因為它會影響他們之后對知識的理解程度.因此,教師在引入數學概念時需要創設多元情境,即根據日常生活的應用情境設置具有啟發性的問題,或者根據學生現有知識尚無法解決的現象來引入新概念.在創設多元情境時,教師可以利用不同類型的表征,如敘述性表征和描繪性表征,來創設實物模型情境、啟發性問題情境或進一步研究的需要等多種引入情境.這樣可以培養學生分析問題的能力和邏輯思維能力,并有效地引出課程學習的數學概念.通過多元表征方式,可以將抽象的數學概念合理地表現為具體的形式,學生能夠更好地理解和掌握所學概念.例如,“正弦函數概念的引入”——教師可以利用多媒體這種新式方法讓同學們了解正弦函數的起源,讓學生動手改變系數和參數的操作情境和利用“在解決求在圓內,隨著圓上點的變動,其坐標與對應的過圓心的直線與x軸相交形成的圓心角的關系”的問題情境有效引入正弦的概念.

3.2 把握概念的本質

在數學教學中,要促進學生對概念的形成,教師需要抓住接近概念本質的表征形式,這對應教學活動程序中的多元表征活動探究這一環節.數學概念有多種表征方式,包括實物模型、圖像圖形的形象表征,以及數學符號、語言文字的符號表征等.在概念形成的過程中,學生需要充分掌握事物的本質屬性,才能形成事物的概念.因此,在概念教學的初始階段,應讓學生了解最接近數學概念本質的表征形式,這樣可以保證正確理解數學概念、提高解決數學問題的準確性以及熟練應用其他表征形式的能力.例如,在數列概念的教學過程中,教師應讓學生明確數列概念的語言文字表征形式,并抓住概念定義中的關鍵詞,然后再拓展其他表征形式,以加強學生對數列概念的理解.例如,在數列概念的教學中,關鍵詞是“按一定順序”,這種有序性是對數列本質的最直接反映.因此,教師可以通過設計一些正反例來幫助學生深入理解數列概念的關鍵詞和本質屬性,從而更好地掌握這一概念[2].

3.3 形成標準化

在數學教學中,為了促進學生對概念的精確理解,教師需要規范學生形成標準化多元表征,這對應教學活動程序中的規范概念深化理解這一環節.學生構建自己的概念表征后,往往存在一定的偏差和錯誤的概念意向.因此,教師應該幫助學生規范表征,建立不同表征之間的聯系,使學生獲得正確的表征.例如,在數列概念的教學過程中,教師可以組織學生用其他方式表示給定的一組數列,師生一起討論其他學生用列表、圖形等表示這組數列的方法是否正確,有沒有清晰刻畫出數列序號和項之間的對應關系.通過這樣的規范化多元表征的教學活動,可以幫助學生更準確地理解數學概念,提高數學學習效果.

3.4 加強概念間的聯系

在數學教學中,為了幫助學生正確理解數學概念,教師需要加強概念間的多元聯系,這對應教學活動程序中的總結梳理形成圖式這一環節.數學概念不是孤立的存在,而是被納入學習者構建的數學概念體系中.在解決高中數學問題時,學生需要恰當地建立概念之間的聯系,才能正確解決問題.具體做法是:在學習了一節或一章內容后,教師可以引導學生及時總結本章的重要概念和數學思維方法,梳理以往的學過的舊概念,并分析、比較其中與新概念有聯系易混淆的概念,闡明它們的聯系與區別.這有助于學生把握新概念,區分新舊概念,將新概念納入學生的數學概念體系,從而使概念更具組織性、系統性.例如,在學習等比數列的概念后,教師可以引導學生對比等差數列與等比數列概念的聯系與區別進行梳理總結,這樣不僅能夠加深學生對等差數列的概念的理解,還有助于學生清晰理解等比數列的概念.通過加強概念間的多元聯系,可以幫助學生更好地掌握數學知識,提高數學學習效果.

4 結束語

本文從多元表征理論的角度出發,探討了高中數學概念教學中的相關問題,并提出了相應的解決策略.希望各位老師在今后的數學教學中,能夠更加注重多元表征理論的應用,為學生提供更加優質的數學教育.