大單元整合設計中考備考教學新格局
——以二次函數綜合問題的解題思路為例

黃秀英

(福建師范大學第二附屬中學,福建 福州 350015)

與二次函數有關的綜合性問題考查的知識點多,求解難度較大,常常以中考壓軸題的形式出現.在初中數學教學中,為了提高學生解答二次函數綜合問題的能力,教師應做好題型的分類,講解不同題型的解題思路,并結合具體實例,展示解題思路的具體應用,給學生帶來良好的啟發.

1 周長問題

周長問題在二次函數綜合問題中較為常見,其中求解周長的最大值或最小值是中考的熱點問題.這種類型問題的求解思路為:利用二次函數與幾何圖形知識判斷需求解圖形的類型,靈活利用一次函數與二次函數關系式,求出關鍵點的坐標與線段長度之間的關系.一方面,可考慮構建二次函數,利用二次函數性質求解;另一方面,可考慮利用相關模型或借助圖形之間的等量代換求解.利用二次函數性質求解時需確定自變量的取值范圍,借助圖形求解時需靈活利用相關圖形的幾何性質[1].

(1)求二次函數的解析式;

(2)P為二次函數圖象第一象限部分上的一點,且∠PAB=∠OCA,求點P點坐標;

圖1 例1題圖

問題(3)思路:分析四邊形CEFP由哪幾條線段構成,確定長度不變的線段,將重點放在長度可變的線段上.結合最短路徑模型,通過點的平移、對稱,確定點的具體位置,然后利用一次函數知識求解.

2 面積問題

求三角形的面積是二次函數綜合類問題中的重點問題.解答該類問題的關鍵在于靈活運用三角形面積求解公式,其主要思路為:根據題意確定三角形是特殊三角形還是一般三角形,運用直線和拋物線之間的關系,求出線段長度、點的坐標.求解一般三角形的面積時可采用分割法、補形法,以達到化難為易,順利解題的目的[2].

例2 如圖3,拋物線y=x2+bx+c(b、c為常數)的頂點為C,與x軸交于A、B兩點,A(1,0),AB=4,點P為線段AB上的動點,過點P作PQ∥BC交AC于點Q.求:(1)該拋物線的解析式;(2)△CPQ面積的最大值.

問題(1)思路:給出的拋物線解析式y=x2+bx+c中含有兩個參數,并給出其圖象上兩點坐標,采用待定系數法可求得b、c的值,易得拋物線的解析式為y=x2+2x+3.

問題(2)思路:求出點C的坐標及直線BC、AC的方程.設出點P的坐標,由PQ∥BC,表示出直線PQ的方程,將其和直線AC聯立,求解點Q的坐標.分別表示出△APC和△APQ的面積,則S△CPQ=S△APC-S△APQ,將問題轉化為求二次函數的最值,易求得S△CPQ的最大值為2.

3 角度問題

二次函數綜合類問題中的角度問題考查的內容主要有:特殊三角形的性質,包括直角三角形、等腰三角形、等邊三角形;三角形全等、三角形相似、勾股定理等.解答該類問題的思路為:根據題意運用直線與拋物線、三角形之間的關系求出相關參數,必要情況下可以作出輔助線,以三角形相似、全等為依據,求出線段長度、角度.

例3 如圖4所示,在平面直角坐標系xOy中,拋物線圖象過點A(3,0),B(0,3),且其圖象的對稱軸為直線x=2.如圖動點C,D分別在x軸上方和下方的拋物線上運動,且滿足∠CAO=∠DAO,連接CD和x軸交于點E.求:(1)該拋物線的解析式;(2)當點C、D運動時,∠CEO的度數是否發生變化,若不變化求出sin∠CEO的值;若變化,求出∠CEO的變化范圍.

圖4 例3題圖

問題(1)思路:設出拋物線的頂點式方程,而后將A、B兩點坐標代入其中,求出對應參數.

問題(2)思路:根據已知條件畫出函數圖象,設出C、D兩點坐標,由∠CAO=∠DAO構造相似三角形,利用三角形相似的性質確定C、D兩點坐標,利用待定系數法求出直線CD的方程,然后表示出點E坐標以及sin∠CEO,得出結論.

4 判斷形狀問題

判斷圖形形狀類的二次函數綜合問題需結合圖形性質進行分析.解答該類問題的思路為:根據題干創設的情境,以直線、二次函數圖象為依托,求出相關圖形邊或角度,根據邊、角度關系作出判斷.

例4 如圖6,二次函數圖象的頂點P(3,3),其與x軸交于點A(6,0),點B在圖象上,OB與二次函數圖象的對稱軸l交于點M,點M、N關于點P對稱,連接BN、ON.

圖6 例4題圖

(1)求該二次函數解析式;

問題(2)思路:根據已知條件分別求出點N與點B的坐標,運用兩點間的距離公式求三角形邊長的平方,根據勾股定理逆定理判斷其形狀即可.

5 結束語

二次函數綜合問題雖然難度較大,但只要有明確的思路,并不難突破.解答二次函數綜合問題需具體問題具體分析,靈活運用幾何圖形性質、直線與二次函數圖象之間的內在聯系求出關鍵線段的長與關鍵點的坐標,必要情況下利用三角形全等、三角形相似、勾股定理等知識,便可找到解題切入點.