2021年鹽城市中考壓軸題的解法探究與啟示

劉 敏

(揚州大學數學科學學院,江蘇 揚州 225002)

近年來,圖形的旋轉變換已成為中考試題的熱點之一,現有大量文章基于旋轉變換多種模型進行研究,常見的旋轉模型有“手拉手”模型、“夾半角”模型和“對角互補”模型[1].經對比發現,通過旋轉來實現點的坐標變換的這一類題型中隱含著“手拉手”模型.“手拉手”模型指共頂點且兩個頂角相等的等腰三角形(或等邊三角形)組成的圖形,圖形中兩個頂角相等,若它們減去(或加上)公共部分后所得的角相等[2],則可構造全等三角形.本文研究的題型中隱含“手拉手”全等三角形模型.

1 原題呈現

學習了圖形的旋轉之后,小明知道,將點P繞著某定點A順時針旋轉一定的角度α,能得到一個新的點P′,經過進一步探究,小明發現,當上述點P在某函數圖象上運動時,點P′也隨之運動,并且點的運動軌跡能形成一個新的圖形.

初步感知如圖1,設點A(1,1),α=90°,P是一次函數y=kx+b圖象上的動點,已知該一次函數的圖象經過點P1(-1,1).

圖1 函數

2 解題思路分析

深入感悟由旋轉可知,本題應分類討論點P的位置,分為三種情況,當點P的橫坐標小于-1時,當點P的橫坐標大于-1小于0時,當點P的橫坐標等于-1時.由于P是反比例函數上的動點,運用中學知識很難求出旋轉后點的運動軌跡.當點P的橫坐標小于-1時,基于旋轉性質可得OP=OP′,∠P′OP等于直線OM與x軸形成的銳角,則它們減去公共部分∠MOP后所得的角仍相等,聯想到構造“手拉手”全等三角形模型,添加同樣的輔助線,過點P作PN⊥x軸于點N,抓住“手拉手”模型的兩個等腰△OP′P和△OMN,構造全等三角形,以靜制動,將無法確定的動點P′轉化為已知運動軌跡的動點P,根據全等三角形性質即將△OMP′的面積轉化為求△ONP的面積,再運用反比例函數k的幾何意義即可得到答案.當點P的橫坐標大于-1小于0時,∠MOQ和∠P′OP加上公共部分∠MOP后所得的角仍相等,即∠POQ=∠P′OM,同理可構造“手拉手”全等三角形模型.在思考該題時,可緊扣“以靜制動,構造全等,巧妙轉化”.

靈活運用運用中學知識,很難求出二次函數圖象上的動點P繞點A順時針旋轉60°后點P′的運動軌跡,故“反其道而行之”,運用逆向思維,將點B、C繞點A逆時針旋轉60°后得到點B′、C′,將求△BCP′面積的最小值轉化為求△B′C′P面積的最小值.由旋轉的性質可知△ACC′和△ABB′是等邊三角形,頂角∠B′AB和C′AC減去公共部分∠C′AB后所得的角仍相等,則構造“手拉手”全等三角形模型,即△ABC和△AB′C′全等,即可求出線段B′C′的長度和B′C′的函數表達式.需求△B′C′P面積的最小值,即求點P到直線B′C′的距離最小值,因為點到直線之間垂線段最短,從而發現當平行與B′C′的直線與拋物線相切時,切點到直線B′C′的距離最小,此切點與點B′、C′組成的三角形面積最小.在思考該題時,可緊扣“逆向思考,巧妙轉化”.

3 問題解析

圖4 過點P作PN⊥x軸與點N

圖5 過點P作PQ⊥x軸與點Q

圖6 過點P作PH⊥x軸與點H

圖7 連接AB, AC,將點B、C繞點A逆時針旋轉60°

4 解題反思

關于上述解題過程中,所提到的以靜制動,并不是把動點轉化為定點,此時的“靜”并不是絕對的靜止,而是運用逆向思維的方法后,此時的點可能還是動點,但更易于掌握,也就相當于“靜”了[4].例如,在[靈活運用]中,我們難以求出動點P′的運動軌跡,但我們已知動點P的運動軌跡,因此保持二次函數不動,將點B、C逆時針旋轉60°后可得到B′、C′將求解△BCP′的面積最小值轉化為求解△B′C′P的面積最小值,大大降低了求解的難度.因此,這里提到的“以靜制動”的實質就是將難以掌握的“動”轉化為已知的“動”,最終化繁為簡,將直線的“動”和函數圖像的“動”,最終都看作是點的“動”.

5 教學啟示

5.1 夯實基礎,注重知識的綜合運用,組織專題復習

一道壓軸題蘊含多個知識點,例如上述試題綜合考查了函數圖象與性質、圖形的旋轉變換、全等三角形的判定和性質、銳角三角函數、一元二次方程的根、三角形面積求解等多個知識點.教師研讀教材時如果能夠從系統角度思考,著眼于知識之間的聯系與規律,把表面看來不相同的概念、定理、法則,通過數學本質的揭示,使之處于一個統一體中,會有意外的收獲[5].因此,教師在中考數學復習時要組織專題復習,注重知識點之間的聯系,運用框架法梳理知識,幫助學生進行有效的知識遷移,進一步實現數學知識間的同化.

對數學知識的深刻理解關鍵還是在學生的自我建構,為了促成這種建構,通過對經典問題的系列變式、深度探究就是一條有效的途徑.教師的教學不能“照本宣科”完全按照教材去教,要結合學生實際,對教材內容再創造,再組織.為了防止題型的機械練習,教師應圍繞考點創造性地挑選試題,分析題干的條件和結論,鼓勵學生積極思考、主動參與、拓展思維、合作探究、歸納總結,提高復習效率,做到“解一道題會一類題”,真正實現問題解決.

5.2 抓住解題關鍵,深入探究解題思路

通過上述研究,“圖形旋轉—點的坐標變換”這一類題型,解題的關鍵主要有以下幾點:一是當難以求出旋轉后P′的運動軌跡時,會用轉化思想和逆向思維,根據旋轉的性質轉化為易于求解的問題.二是抓住旋轉的特殊角45°,60°,90°,120°等,巧用旋轉角,構造特殊圖形(等腰直角三角形、等邊三角形等)簡便計算,體現了數學的構造思想.例如,在[深入探究]中,巧用45°角,直線y=-x繞點A逆時針旋轉45°后恰好與x軸重合,大大降低了畫圖和計算難度.三是學會添加常用輔助線,構造圖形中隱含的“手拉手”全等三角形模型,利用全等三角形面積相等的性質轉化問題的求解.在課堂中,教師可以運用信息技術的演示或者實物的操作,讓學生感悟圖形變化的基本特征,并且知道平移、軸對稱、旋轉不改變圖形的大小和形狀.

5.3 巧用逆向思維,探索解題新路徑

首先,逆向思維的培養不是一蹴而就的,應滲透于平時的教學環節中.例如,幾何性質定理和判定定理中存在許多互逆命題,如角平分線定理,在教學中,教師應抓住時機,讓學生感受到數學知識間存在的雙向關系.其次,逆向思維應在數學應用過程中培養,例如數學運算中存在很多互逆思想,加法法則可以轉化為減法法則.最后,反證法也是一種常見的逆向思維的運用.

6 結束語

逆向思維的培養需要經歷一段時間的訓練,讓學生在潛移默化中形成雙向思考,突破思維定式,激發數學學習興趣,以獲得解題的新途徑,最終提高學生的逆向思維能力.