利用統計熱力學對白矮星結構及演化的分析

黃 柯

(云南大學 物理與天文學院,云南 昆明 650091)

白矮星的結構由簡并等溫核與理想氣體外包層組成,白矮星外包層內的氣體可視為理想氣體,而中心核是電子簡并的等溫核,形成自由電子氣體.恒星在依靠輻射力抵抗引力的機制失效后,極端高密度內核的電子簡并壓強足以抵抗氦核間產生的巨大引力時,就形成了白矮星.但是Pauli不相容原理所產生的電子簡并壓強存在一個上限,導致白矮星質量存在一個極限值,即Chandrasekhar極限.當白矮星質量小于Chandrasekhar極限時,白矮星能穩定存在,處于動態平衡;隨著白矮星質量不斷增加到Chandrasekhar極限時,白矮星將會發生進一步演化.結構決定性質,對白矮星特殊性質與演化的理解,其基礎是分析描述白矮星結構的物態方程.

本文采用統計熱力學理論對描述白矮星結構的物態方程進行分析,第1部分對統計物理的三種分布進行闡述.第2部分通過經典統計的Boltzmann分布推導了白矮星外包層的理想氣體物態方程.第3部分通過量子統計的Fermi分布,考慮非相對論與相對論情況,推導了白矮星內核簡并電子氣體的物態方程.第4部分在分析了白矮星結構的基礎上,通過簡并電子壓強與氦核引力勢相互平衡,考慮極端相對論情況,求解了白矮星的Chandrasekhar極限,并以此極限值展開對白矮星演化的闡述.第5部分對該研究工作作出小結.

1 經典統計與量子統計

粒子運動狀態的描述可分為經典統計與量子統計,若粒子可分辨,采用經典統計中的Boltzmann分布,Boltzmann系統中的粒子視為定域粒子,完全描述粒子的波函數沒有交疊,因此近似為連續分布,因為粒子可分辨,而且處在某一量子態上的粒子數不受限制,根據等概率假設得出Boltzmann分布[1]為

(1)

Bose分布為

(2)

Fermi分布為

(3)

三種分布的區別在于,Fermi分布要求滿足Pauli不相容原理:不能有兩個及以上全同的Fermion處在同一個量子態上,即Fermi系統的任意一個個體量子態上的粒子數要受到限制,而Bose系統與Boltzmann系統則沒有這一限制.

(4)

其中N!是粒子全同性原理引入的因子[1].

2 Boltzmann分布推導白矮星外包層的理想氣體物態方程

白矮星外包層可視為理想氣體,滿足非簡并條件e-α?1,因此服從Boltzmann分布.可以求得Boltzmann系統的內能為[1]

(5)

(6)

(7)

(8)

為便于推導,取單原子分子模型,僅考慮非相對論情況下粒子平動的能量,故自由度取3,忽略氣體分子間的相互作用,視為近獨立粒子并做自由運動,因為Boltzmann系統滿足經典統計,粒子可分辨,無全同性的概念,所以態量子化不存在,系統應視為連續分布,故配分函數要求寫成積分項[3]

(9)

(10)

聯立式(8)和式(10)可以得到白矮星外包層的理想氣體物態方程

(11)

實際上,對于雙原子或者多原子分子,還應該考慮轉動與振動的自由度以及能量,但由于配分函數Z1始終是體積V的單值函數,所以結果仍然滿足式(11).

3 Fermi分布推導白矮星內核的簡并電子氣體物態方程

Chandrasekhar理論指出:白矮星內核的電子是完全簡并的.簡并電子幾乎提供了全部的Fermi壓強以抵抗來自氦核引力的坍縮.電子的運動速度與白矮星的平均密度有關,平均密度滿足ρ?106g·cm-3時,簡并電子的速度會遠小于光速c≈2.99×108m·s-1,通過非相對論物態方程描述,而平均密度滿足ρ>106g·cm-3時,簡并電子的速度接近光速,通過相對論物態方程描述[4].

3.1 自由電子氣體的Fermi統計

白矮星內核的密度極大,電子之間靠得很近,因為電子屬于Fermion,Pauli不相容原理指出:兩個及以上完全相同的Fermion不能占據同一個量子態,根據能量最低原理,要保持體系的穩定,電子應從能量最低的態開始,依次填充至能量較高的態,于是產生了宏觀上獨特的量子效應——電子簡并.電子的簡并程度同樣與密度有關,密度越高,簡并度越大,電子運動速度越接近光速,滿足相對論物態方程.

(12)

(13)

上式表明T=0 K時,電子從ε=0的態開始,依次填充至ε=μ(0)的態為止.μ(0)表示電子0+K時的最大能量,稱為Fermi能級,此時電子是完全簡并狀態.

3.2 自由電子在非相對論與相對論下的量子態密度

首先確定電子的量子態密度,設自由度為3的電子在體積V內自由運動,將μ空間的體積Vdpxdpydpz除以相格大小h3可以得到三維自由粒子在Vdpxdpydpz內的量子態密度[1]為

(14)

(15)

先將動量表示為球極坐標形式

(16)

再將式(16)代入式(15)可得

(17)

(18)

相對論情況下,動量與能量關系式為ε=cp,代入(17)式可求得在ε→ε+dε能量范圍內,自由電子的量子態密度為

(19)

3.3 完全簡并情況下電子氣體的非相對論物態方程與相對論物態方程

非相對論情況下,每個量子態上的平均電子數為f(0)×D(ε)dε,所以總的電子數N為

(20)

(21)

可求解得系統的內能為

(22)

(23)

將式(21)(22)代入式(23)可得非相對論情況下的電子簡并壓強為

(24)

(25)

μe≈2表示氦原子電離度,mu≈1.66×10-27kg表示原子質量單位,求得非相對論情況下電子簡并壓強與密度的關系為

(26)

式(26)即為完全簡并情況下電子氣體的非相對論物態方程.

現在我們來討論相對論情況.同理,相對論情況下,總的電子數N為

(27)

(28)

可求解得系統的內能為

(29)

(30)

將式(28)、(29)代入式(30)可得相對論情況下的電子簡并壓強為

(31)

(32)

式(32)即為完全簡并情況下電子氣體的相對論物態方程.

對比式(11)、式(26)以及式(32)可知:一方面,完全簡并情況下,考慮相對論與否,電子氣體簡并壓強P(0)都只是體密度ρ的單值函數;另一方面,理想氣體物態方程表明隨溫度的升高,壓強亦隨之增大,而內核電子氣體在完全簡并情況下,壓強就不再是溫度的函數,只與體密度有關,隨著中心密度的不斷增大,其質量將趨于Chandrasekhar極限,即電子簡并壓強支撐的質量存在上限[8].

4 Chandrasekhar極限的求解

白矮星的熱核反應已經停止,其演化過程即冷卻過程,在白矮星形成初期,高溫高密度的中心核通過激發中微子實現快速降溫,后期將由冷卻過程主導白矮星的演化[9],星體通過緩慢收縮而放出引力勢能,即白矮星通過減小半徑進而提高密度,由式(26)、(32)可知電子簡并壓強隨密度增大而劇增,用以抵抗來自氦核的巨大引力,電子簡并壓強和引力相抗衡可建立起流體靜力學平衡.本文從平衡方程入手求解Chandrasekhar極限.

從動力學角度看白矮星隨時間的演化過程,在不考慮流動效應時,設重力沿z軸向下,白矮星內部平衡結構的密度ρ與壓強P服從流體靜力學平衡方程[8]:

(33)

假定該平衡結構的物理量都只是位置r的函數,式(33)可改寫為

(34)

引力主要來源于氦核,因為引力場是保守力場,可以引入勢的概念,根據萬有引力定律,引力勢φ服從泊松方程[8]

▽2φ=4πρG

(35)

式中G=6.67×10-11m3·kg-1·s-2表示引力常量,同時引力勢φ與引力加速度g的關系滿足

g=-▽φ

(36)

假設白矮星為球對稱星體,電荷背景處(處為零),呈現電中性,電子按照自由電子氣體處理,以白矮星中心為原點建立球坐標系,根據球對稱性,取引力加速度為g=(-g,0,0),代入式(35),通過拉普拉斯算子▽2在球坐標系下的表示可解得

圖1 球對稱型白矮星示意圖

(38)

(39)

由邊界條件r=0,Mr=0對式(39)積分得

(40)

(41)

(42)

Mch就是著名的Chandrasekhar極限,其中M⊙表示太陽質量,當白矮星質量趨近于1.4M⊙時,白矮星半徑將趨于零,密度將趨于無窮大,白矮星將被壓縮為一個奇點,因此不可能有超過該極限質量的白矮星存在,天文觀測同樣證實了這一觀點,迄今為止觀測到的白矮星質量大多為0.5～0.8M⊙[11],因此當白矮星質量超過Chandrasekhar極限時,有兩種情況[8,10]:①若白矮星處于雙星系統,它將不斷吸積來自伴星的物質并達到Chandrasekhar極限,最終產生Ia型超新星爆發.②若白矮星是孤立的,等離子中微子過程使得熱核爆炸不會發生,白矮星將被中子化,即電子簡并壓強不足以抵抗氦核產生的巨大引力,電子會被巨大的引力壓進原子核,與核內質子結合形成中子,中子也是Fermion,但中子簡并壓強卻比電子簡并壓強大得多,能夠抵抗此時氦核產生的巨大引力,最后演化為一顆全新且穩定的中子星.

5 小 結

統計物理規律指出:實驗觀測的時間平均值等于系統的系綜平均值,一個精確的理論模型往往可以更好地指導實驗觀測.本文在此思想上從描述微觀狀態的統計物理規律出發,對白矮星結構與演化進行分析,利用統計熱力學理論推導了外包層理想氣體與內核電子氣體滿足的物態方程,得到了非相對論與相對論情況下的內核電子簡并壓強,由此分析了白矮星的結構,并在此基礎上通過內核電子簡并壓強與氦核引力勢相平衡的條件,利用流體靜力學平衡方程求解了球對稱型白矮星的Chandrasekhar極限,以此極限值展開對白矮星的兩種演化結果的闡述.利用統計物理規律幫助我們深入地理解白矮星結構與演化的本質,對統計熱力學在實踐中應用具有一定的意義.