年齡結構下具B-D功能反應和擴散的三種群系統的最優收獲

李根全 ,雒志學 ,劉江璧

(1.蘭州交通大學 數理學院,甘肅 蘭州 730070;2.甘肅省莊浪縣職業教育中心,甘肅 平涼 744699)

研究生物種群系統常常把年齡問題作為建立模型的一項至關重要的考慮因素,因為種群中每個個體的年齡問題不僅影響其自身的生命活動參數,也決定其所在種群的整個群體行為.目前,研究年齡結構的單種群系統各類成果比較多[1-8],但多種群系統控制問題且功能反應函數是Beddington-DeAngelis功能反應的研究成果還不是很豐富,本文基于文獻[9]的基礎上探究一類具有年齡結構和Beddington-DeAngelis功能反應函數的三種群系統的最優收獲問題.

首先提出如下最優控制問題:

其中i表示第i種群,則ui為收獲努力度函數,Bi為收獲該種群的成本,Ki表示該種群的銷售價格,i=1,2,3,u=(u1,u2,u3)而p=(p1,p2,p3)為系統

(1)

的解,其中Δ表示Laplace算子,Q=(0,A)×(0,T)×Ω,Ω是在d(d≥1)上的有界區域,邊界?Ω是C2+σ(σ>0),而∑=(0,A)×(0,T)×?Ω,,ΩT=Ω×(0,T),pi(a,t,x)表示t時刻年齡為a的第i種群在空間Ω處的密度;ki為正數,為種群在Ω內的擴散率;λi為兩食餌之間相互競爭的作用系數,μi和βi則表示第i種群的平均死亡率和出生率,k1,k2,k3,ai,bi,ci,di,ei(i=1,2)全為正常數.

定義1定義控制集

Uad={u∈L2(Q)|ζ1(a,t,x)≤u(a,t,x)≤ζ2(a,t,x),a.e.于Q}.

定義2若

(2)

在任何緊子區間上連續},其中(a0+α,t0+α)∈{A}×(0,T)∪(0,A)×{T},S為系統(1)的特征線.而S={(a,t)|(a,t)∈(0,A)×(0,T),a-t=a0-t0}={(a0+s,t0+s);s∈(0,α)}.

為方便文章后面的討論,始終做以下的假設:

(A1)λi,βi∈L∞(Q),0≤λi(a,t,x)≤λ0,0≤βi(a,t,x)≤β0,a.e.Q,λ0,β0是一正常數.

(A3)pi0∈L∞(ΩA),0≤pi0(a,x)≤p0,a.e.于ΩA,p0是一常數.

1 系統解的適定性

在為建立的模型做了一些適當的假設后,接下來依次探究系統(1)的解的存在性、唯一性、非負有界性以及對控制變量的連續依賴性.為證明系統(1)的解的存在唯一性,給出如下柯西問題.

(P)

f:[0,T]×X→X關于t可測而且f關于x∈X是一致Lipschtiz連續的.

設H為一個實Hilbert空間,如有

(Ax-Ay,x-y)≤0,?x,y∈D(A).

成立,稱算子A:D(A)?H→H是耗散的.若耗散算子A滿足

(I-A)(D(A))=H,

其中I為X上的恒等算子,則稱A是超耗散算子.如果A是超耗散算子,那么

(λI-A)(D(A))=H.

容易知,A為壓縮C0半群無窮小生成元的充分必要條件是A是超耗散算子,其中A上稠定線性算子.exp(tA)是由線性超耗散算子A產生的半群.因此,系統(1)可寫成具有如下初值的Cauchy問題:

(3)

在H=(L2(Ω))3空間中證明文章所需,其中算子A:D(A)?H→H,

假設算子B:D(B)?L2(Ω)→L2(Ω),由下式定義

由前面知識得B是超耗散的.

此時令H=L2([0,+∞]×Ω)且

命題1算子Aφ-μI是超耗散的,且對每個p∈D(Aφ-μI)有下式成立.

證明 若p∈D(Aφ-μI),可得

證明

由于對每個p∈L2(0,+∞),有

定理1[10]假設A:D(A)?H→H是線性且是超耗散算子,B:H→H也是連續的耗散算子,那么A+B:D(A)→H是超耗散的.

定理2[11]對每個p0∈X,初值問題(P)有唯一的mild解p∈C([0,T];X),且

另外,如X是Hilbert空間,則A在X上是超耗散的,p0∈D(A),此mild解應是強解且p∈W1,2([δ,T];X),?δ∈[0,T].

pi∈L∞(Q)∩L2(0,T;H2(Ω))∩L2(0,T;H1(Ω))

此外,還存在一與p和u無關的常數C1>0,使得

(4)

(5)

由于F在p上不一定是Lipscchiz連續的,針對此問題,不宜直接應用定理1,經常采用的辦法是先對F進行分段處理,首先考慮如下面截斷的初值問題

(6)

另外,pN∈[L∞(Q)]3.考慮初值問題

(7)

和

(8)

可以等價地寫為

即

(9)

(10)

給(10)在Ω上積分并利用Green公式得

使用Gronwall不等式可進一步得

(11)

|g(x1,y1)-g(x2,y2)|≤L(|x1-x2|+|y1-y2|)

再根據(3)知

其中C是和T及Ω有關的常數.

給(11)式分別乘以φ1,φ2,φ3,再在ΩT=Ω×(0,t)上積分可得

(12)

由(12)和Gronwall引理可得

那么有φ1=φ2=φ3=0,則系統解pi一定是唯一的.

下面,為方便討論,先證明系統(1)的弱解的存在唯一性.

定理4如果(A1)-(A4)成立,則系統(1)應該存在唯一的弱解p=(p1,p2,p3)且有

證明 容易得到系統的弱解是唯一的[7],因為p在特征線上是絕對連續,那么它就保證了(1.2)5,6有意義,可易證得它接近于在每條特征線S和S1上

S1如下給出

另一方面,p滿足(2),如果α=A-a0,那么將證明

在

上成立.即證明下式在L2(Ω)成立

給(1)1乘以p1且在Ω上積分可得

和

(13)

給式(11)在(0,s)上積分有

(14)

?s∈[0,α],a.e.s∈(0,α).對sα,由(14)知在L2(Ω)中

因此,pi∈L2(S;H1(Ω)).

(15)

(16)

(17)

給(17)兩端用ωi作內積,然后在(0,A)×[0,t]×Ω上積分有

因此利用B的耗散性可得

從(3)經過簡單的計算有

那么進一步有

其中M是依賴于T和Ω的常數.

利用Bellman不等式得

所以有

即

2 最優性條件

(18)

那么

(19)

(20)

(21)

其中

(22)

證明 系統(18)的解q=(q1,q2,q3)的存在唯一性類似定理3可證.

uε=u*+εv∈Uad,v=(v1,v2,v3),ε>0足夠小,任意的v∈L2(Q).因為u*是控制問題(OH)的最優解,則可以推出

J(u*+εv)≤J(u*).

(23)

將(OH)代入到(23)中有

(26)

給方程(18)分別乘以zi,然后在Q上積分,經過計算有

(27)

結合式(24)和(27)可得

由切錐法錐定義可得

因此,結論證明完畢.