殊途同歸 妙理常在感悟中
——論一題多解在教學中的應用

魏平軍

(石家莊市第一中學 河北 石家莊 050000)

1 問題的提出

如何在教學中進一步提升學生的總結歸納能力?適當?shù)臅r候進行“一題多解”“多解歸一”“一題多問”“一題多變”“多題歸一”等方法是很好的解決方案.

“一題多解”是指同一道題目用不同的方法均可以得到正確答案,可以是基于不同物理規(guī)律運用的一題多解,可以是基于不同研究角度的一題多解,可以是基于不同數(shù)學手段的一題多解,可以是基于不同思維方法運用的一題多解.“一題多解”是思維發(fā)散的過程.

“多解歸一”是將不同的解法進行比較,尋求其共同點,去抓住不同方法背后最核心的本質規(guī)律,是思維收斂的過程.

“一題多問”是在同一個背景下對這個題目進行追問,從多個角度去理解和考查某一物理模型或過程.

“一題多變”是將題目解完之后,更改題目中的條件,拓寬對題目的理解.

“多題歸一”是指將以往與此題相類似的題目進行對比歸納,尋求不同題目相同的解決方案,是在更高的視角上去審視此題.

2 教學實踐

下面以高一一次階段性測試題的壓軸題講評為例說明以上方法的應用.

圖1 題目示意圖

(1)傳送帶的長度L1;

(2)木板的長度L2以及物件從A到D所需的時間T;

(3)假如機械手未能在D點及時將物件取走,導致物件重新下滑,則此后它第二次向上返回木板時離C點的最大距離.

說明:考慮到高一學生對于通項歸納掌握得還不是很好,在第(3)問設置時將初稿中的“第四次”改為“第二次”以降低難度,在講評時可以就通項歸納再做進一步補充.

解答:(1)、(2)略.第(3)問筆者準備了兩種解法,分別從動力學角度和能量角度進行求解.

2.1 “一題多解”

解法1:動力學角度

從D點向下運動,受力分析如圖2所示.

圖2 解法1受力分析圖

由牛頓第二定律有

mgsinθ-μ2mgcosθ=ma1

過C點時速度為v1,有

設過C點后向下滑行L′后物件速度減為零,下滑過程中加速度大小為a2,則有

μ1mgcosθ-mgsinθ=ma2

再次返回C點時加速度大小為a′2,則

μ1mgcosθ-mgsinθ=ma′2

可得a′2=a2,所以返回C點時速度大小仍為v1.

設物件滑過C點后向上運動x1后停止,向上減速過程中加速度大小為a3,則

mgsinθ+μ2mgcosθ=ma3

解得

同理得第二次上滑過C后還能再上滑

即

解法2:能量角度

設第一次下滑經(jīng)過C點再下滑L′后速度減為零,下滑過程由動能定理得

mgL2sinθ-μ2mgL2cosθ+

mgL′sinθ-μ1mgL′cosθ=0

設第一次上滑過C點后還能再上滑x1,上滑過程由動能定理得

μ1mgL′cosθ-mgL′sinθ-

μ2mgx1cosθ-mgx1sinθ=0

解得

同理得第二次上滑過C后還能再上滑

即

解法3：學生甲補充的

學生甲:我們可以判斷物件下滑過C點后減速至零再返回C點的過程中加速度大小和方向都沒有變化,所以再返回C點時速度大小不變,于是可以“略去”過C點后的下滑過程,可以直接對從D點下滑至第一次到上滑返回木板最高點的過程進行分析.

由動能定理得

mg(L2-x1)sinθ-μ2mg(L2+x1)cosθ=0

得

解法4:學生乙補充的

學生乙:受學生甲的啟發(fā),直接對從D點下滑至第一次到上滑返回木板最高點的過程進行分析,不用分析加速度因素,直接由動能定理,也可列出

mg(L2-x1)sinθ-μ2mg(L2+x1)cosθ=0

因為物件下滑過C點后減速至零再返回C點的過程中重力不做功,滑動摩擦力一次負功一次正功可以抵消,這一段滑動摩擦力做功為零,與學生甲的思路相比,可以不用分析加速度的因素,思路更簡潔.

解法5:學生丙補充的

學生丙:物件無論第幾次從傳送帶加速上滑過C點后在木板上減速至零的過程中,物件的受力情況沒有發(fā)生任何變化,于是加速和減速的距離的比值一定相同.比值為

k=L1∶L2=12∶5

所以由

mgL2sinθ-μ2mgL2cosθ+

mgL′sinθ-μ1mgL′cosθ=0

解得L′后得

L′∶x1=12∶5

可得

同理,可解得第二次下滑距離L″,即L″∶x2= 12∶5,可解得

解法6:學生丁補充的

學生丁:受學生甲的啟發(fā),傳送帶上的過程可以“略去”,于是只分析物件在木板上的下滑和上滑過程,容易求得下滑和上滑加速度比值為

a1∶a2=2∶3

由v2=2ax可得

L2∶x1=3∶2

同理x1∶x2=3∶2,即

2.2 “多解歸一”

對以上解答對比分析可得,解法1和解法6均是從動力學角度分析,但解法6的思路更簡潔,將中間“無效”過程“略去”,快速得到正確答案.

解法2和解法4均是從能量角度處理,但解法4所研究的過程更“宏觀”,沒有分上下段處理,更好地體現(xiàn)了動能定理的全過程使用的優(yōu)點.

解法3利用了動力學知識分析了物件在傳送帶的運動過程,得到了“無效過程可以略去”這個思路,為其他更簡潔的思路提供了分析基礎.

解法5用到了比例法,思路上簡潔明了,但計算量偏大,不容易計算出多次返回時的最大距離.

綜合比較,推薦解法4和解法6,其相同點都是“略去無效過程”快速得到比例關系從而求解.

2.3 “多題歸一”

學生戊:受學生甲啟發(fā),想到了之前的一道練習題.

練習題:如圖3所示,已知斜面傾角為θ,物件與斜面間動摩擦因數(shù)為μ(μ

圖3 練習題示意圖

解:全過程由動能定理可得

mgh-μmgscosθ=0

得

學生戊:考試題中的傳送帶相當于此題中的擋板,提供“原速率返回”的作用,練習題目是讓求物件滑行的總距離,練習題也可以用以上方法求第2次彈回時距離擋板的最大距離.

學生己:那么考試題中我們也可以求物件在傳送帶上運動的總距離,都是用到了全過程的分析.

2.4 “一題多變”

此時對學生說明,為了降低考試難度將初稿中的“第四次上滑”改為了“第二次上滑”.

有了上述的討論,學生容易得到原稿中第四次上滑的距離為

2.5 “一題多問”

課下學生們對此題再做進一步的梳理,在原題(1)～(3)問的基礎上繼續(xù)總結完成下面4問.

(4)假如機械手未能在D點及時將物件取走,導致物件重新下滑,則此后它第四次向上返回木板時距離C點的最大距離?

(5)假如機械手未能在D點及時將物件取走,導致物件重新下滑,則此后它第四次向下經(jīng)過傳送帶時離C點的最大距離?

(6)假如機械手未能在D點及時將物件取走,導致物件重新下滑,則此后它在木板上運動的總路程?

(7)假如機械手未能在D點及時將物件取走,導致物件重新下滑,則此后它在傳送帶上運動的總路程?

在教學實踐中,教師適當時候進行“一題多解”“一題多變”等操作,可以讓學生更好地對已學知識進行對比歸納,從而加深對知識的理解.但如果將每一題都嘗試“一題多解”等操作,教師和學生的時間、精力可能達不到.一個可行的方案是,當學生獨立完成后解答學習小組內不同成員之間可以對比各自的解題方案,在交流中完成“一題多解”等操作,進而相互促進和提升.