模型意識視域下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐與思考

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》提出核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同的表現(xiàn)，而“模型意識”是中小學(xué)階段新增的核心關(guān)鍵詞[1]，凸顯了其在基礎(chǔ)教育中的重要地位。文章嘗試以“鴿巢問題”一課為例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的思考學(xué)習(xí)過程，通過感悟模型意識、建構(gòu)模型意識、完善模型意識、應(yīng)用模型意識，將知識間內(nèi)在邏輯聯(lián)系結(jié)構(gòu)化、可視化地呈現(xiàn)出來，為解答各種同類變型難題提供思路，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，發(fā)展應(yīng)用意識，提升學(xué)科核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)課堂教學(xué)? 鴿巢問題? 模型意識

【中圖分類號】G623.5 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2024）02-0136-03

數(shù)學(xué)模型是指通過對問題情境進(jìn)行抽象、概括，運用形式化的語言或符號，直觀表達(dá)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，而模型意識主要是指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟，是形成模型觀念的經(jīng)驗基礎(chǔ)。培養(yǎng)模型意識是能夠利用模型解決類似問題的策略及意識，其本質(zhì)上是對知識、方法的遷移應(yīng)用。模型意識的培育是使學(xué)生深刻體會并了解到數(shù)學(xué)和客觀世界之間存在著密切聯(lián)系的根本途徑，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有進(jìn)一步深入到“建模”意義上，才是一種真正實際意義上的學(xué)習(xí)。文章結(jié)合人教版六年級下冊“鴿巢問題”一課為例，思考如何組織引導(dǎo)學(xué)生的思維活動，建立鴿巢問題模型，應(yīng)用模型意識，靈活解決各類同型變式題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯分析能力。

一、精讀情境，鋪墊孕伏，感悟模型意識

孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者。”興趣，是學(xué)習(xí)的強大動力。只有當(dāng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感興趣、產(chǎn)生迫切需要的時候，才會產(chǎn)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，積極主動地投入到學(xué)習(xí)活動中。[2]通過創(chuàng)設(shè)合適的特定的情境，能引起學(xué)生強烈的興趣，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。教學(xué)的本質(zhì)不是手把手教會學(xué)生知識，而在于喚醒學(xué)生的興趣，自主學(xué)習(xí)。為了讓學(xué)生對課堂知識感興趣，教師可以根據(jù)學(xué)生的年齡及心理特征，結(jié)合他們已有的認(rèn)知經(jīng)驗，設(shè)計各種各樣的、適宜的、有趣的導(dǎo)入情境，以情境導(dǎo)入使學(xué)生更早、更快、更愿意進(jìn)入課堂，激發(fā)學(xué)習(xí)愿望，使他們能夠盡快有效地借助周圍熟悉的事物，進(jìn)入最佳的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的狀態(tài)。

在本課教學(xué)過程中，教師設(shè)計了以下情境來導(dǎo)入新課：請三位學(xué)生和教師一起互動玩“老鷹捉小雞”游戲，游戲規(guī)則是：三位學(xué)生當(dāng)“小雞”，老師當(dāng)“老鷹”，只有兩把椅子，規(guī)定2秒的時間內(nèi)，如果每只小雞都能坐在椅子上，這樣老鷹就捉不到他們，算學(xué)生們贏；如果沒有椅子坐，就要被老鷹捉到，算教師贏。先讓學(xué)生猜一猜誰會贏。創(chuàng)設(shè)這個情境，并沒有讓學(xué)生馬上得出結(jié)論，而是分三個層次引導(dǎo)學(xué)生來解讀情境，理解題意。

（一）了解信息，主觀猜測

讓學(xué)生閱讀信息，根據(jù)游戲規(guī)則，結(jié)合生活經(jīng)驗，先猜一猜有可能哪一方會贏，然后說一說：“你是怎么想的？”大部分的學(xué)生都是憑借經(jīng)驗理解，“不管怎么坐，總不可能有人站在那邊不坐等著輸！”所以，大部分學(xué)生的猜想都是學(xué)生會贏。

（二）游戲互動，認(rèn)知沖突

通過和教師互動玩游戲，請出三位學(xué)生當(dāng)“小雞”，老師當(dāng)“老鷹”，給足小雞充足的2秒時間，讓他們先繞著椅子走一圈，然后坐下來，很自然地出現(xiàn)了有兩位動作比較快的“小雞”最先各自坐到了一把椅子上，眼看椅子坐滿了，最后一只“小雞”先是左右觀望，然后急中生智，直接跑上前與其中一只“小雞”擠著各坐一半的位置。這時，全班都笑了。

（三）觀察發(fā)現(xiàn)，說理揭謎

教師直接請一位學(xué)生來說說：“你為什么笑了？”這位學(xué)生回答道：“我們贏了呀！”教師接著問：“那你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生根據(jù)剛才的游戲互動過程解讀分析，得出從最不利的情況考慮，最后這一只“小雞”不可能站著不動等著輸，那么就一定會出現(xiàn)至少有兩只“小雞”得坐在同一把椅子上，“小雞”才能夠贏。在游戲互動的過程中，通過模擬實踐，與學(xué)生的直觀經(jīng)驗“3位同學(xué)，椅子2把怎么夠”相沖突。在“猜測—實踐—思考”的過程中逐步理解了“總有”“至少”的含義，借助游戲，立足教學(xué)的起點，喚起學(xué)生的求知欲，讓課堂教學(xué)變得更加有效。采用“讀”游戲引入，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲和探究欲。通過游戲，讓學(xué)生親身經(jīng)歷什么是“最不利”。從“最不利”的角度來思考問題，體會到無論最后一位學(xué)生往哪坐，總有一把椅子得坐兩人，從而理解了“總有”的意思，為后面利用“假設(shè)法”進(jìn)行證明作鋪墊。

二、動手實踐，化抽為直，建構(gòu)模型意識

著名心理學(xué)家皮亞杰曾經(jīng)這樣指出：“思維從動作開始，切斷了動作與思維之間的聯(lián)系，思維就得不到發(fā)展。”由此可見，動手探究不僅為學(xué)生提供生動形象的教學(xué)情境和感性素材，還能培養(yǎng)學(xué)生的自主探究、動手操作能力，學(xué)會用實踐探究的方法去解決實際問題，化抽象為直觀。讓學(xué)生在活動中體驗，在體驗中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中實踐，在實踐中創(chuàng)新。任何知識與技能，要讓學(xué)生認(rèn)同、理解和掌握，都需要通過學(xué)生自身的內(nèi)化來實現(xiàn)。

在本節(jié)課中，通過設(shè)計小組分工合作：

（1）擺一擺：把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒里，有哪幾種情況？

（2）記一記：用畫圖、分解數(shù)或填表格來正確記錄各種情況。

（3）比一比：橫向?qū)Ρ让恳环N擺法，你能得出肯定的結(jié)論是什么？縱向?qū)Ρ雀鞣N擺法，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（4）把發(fā)現(xiàn)的結(jié)論記錄下來，小組內(nèi)交流。

匯報反饋方法：

匯報反饋發(fā)現(xiàn)：

橫向?qū)Ρ劝l(fā)現(xiàn)：生1：3個筆筒里一定有一個筆筒里的筆是最多的，有的是4支，有的是3支，有的是2支。生2：一定有一個筆筒里的筆是最少的，是0支筆。（最少的都是0支，研究沒有意義。）縱向?qū)Ρ劝l(fā)現(xiàn)：最多的筆筒里最少可以放2支筆。

請用一句話概括你的結(jié)論：3個筆筒里一定有一個筆筒里的筆是最多的，最多的這個筆筒里最少可以放2支筆。

以上列舉的幾種方法其實都是用枚舉法，只是枚舉的形式不一樣而已。其中方法四用數(shù)字表示更簡單、直觀，便于比較，讓人看了一目了然。對于這幾種方法，學(xué)生匯報完成之后，教師通過追問：“它們的異同點與優(yōu)缺點是什么？”接著課件演示呈現(xiàn)直觀的操作與記錄方法，根據(jù)學(xué)生的匯報著重圈出筆最多的筆筒，讓學(xué)生嘗試正確表述結(jié)論。再接著質(zhì)疑：“誰能說說最多的這個筆筒里筆最少的情況，該怎么分？”學(xué)生根據(jù)數(shù)形結(jié)合，在說的過程中構(gòu)建最不利情況分法的模型，即假設(shè)平均分法，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維。通過學(xué)生的動手實踐，親歷分的過程，通過觀察對比，感知結(jié)論的生成過程，積累對“鴿巢原理”的活動經(jīng)驗。這既可有效突破學(xué)習(xí)的難點，又可直觀地建立“鴿”和“巢”之間關(guān)系的表象，為“假設(shè)法”的引入和理解打下基礎(chǔ)。

三、抽絲剝繭，歸納概況，完善模型

《新課標(biāo)》中明確指出：“要讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并對其進(jìn)行感悟和應(yīng)用的過程。數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、實驗、猜測、驗證、推理和交流。”[3]這一理念說明了學(xué)生的探究經(jīng)歷和對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的體驗是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑。學(xué)起于思，思源于疑。在教學(xué)中，教師要提供素材啟發(fā)學(xué)生多思考，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難，提出自己的獨立見解，在逐步分析概括中，靈活構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，完善數(shù)學(xué)模型。

片斷一：概括規(guī)律，初步建模。

在這節(jié)課中，以學(xué)生熟知的4支筆、3個筆筒作為操作素材，讓學(xué)生在自主探索中理解“鴿巢原理”，構(gòu)筑直觀空間，學(xué)生經(jīng)歷了一個初步的推理驗證過程，培養(yǎng)了邏輯思維能力。那么，在枚舉法的基礎(chǔ)上，學(xué)生經(jīng)過說理，從大量的感性認(rèn)識中逐步抽象出數(shù)學(xué)概念，能夠熟練掌握如何盡快找到最不利情況，也就是假設(shè)法。此時，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考：在假設(shè)法的情況下，用算式又該怎么表示？誰能邊說邊用算式表達(dá)呢？重點說清楚商和余數(shù)分別表示什么？之后延伸問題：如果是5支筆放進(jìn)4個筆筒呢？6支筆放進(jìn)5個筆筒呢？7支筆放進(jìn)6個筆筒？……那么100支筆放進(jìn)99個筆筒呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？初步構(gòu)建鴿巢問題模型。

片斷二：變化情境，完善模型。

如果把5只鴿子放進(jìn)3個籠子里，總有一個籠子里至少有2只鴿子，為什么呢？如果有6只鴿子呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？通過直觀的操作及課件演示，引導(dǎo)學(xué)生理解按最不利的情況，余下兩只鴿子也要平均分。

把7本書放進(jìn)3個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放3本書？為什么？如果是10本書呢？11本呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？能用一個算式概括這么多種情況嗎？通過關(guān)鍵處的追問質(zhì)疑，引發(fā)學(xué)生的思考，由于有操作的經(jīng)驗，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)余數(shù)還要再次平均分，也就是至少數(shù)等于商加1，而不是商加余數(shù)，有效突破本節(jié)課的難點，讓學(xué)生親歷逐步構(gòu)建完善鴿巢問題的模型。

四、慧達(dá)應(yīng)用，舉一反三，遷移模型

遷移、應(yīng)用、表達(dá)等都是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的重要環(huán)節(jié)，也是學(xué)生理解知識、形成技能、發(fā)展素養(yǎng)的必經(jīng)之路。“鴿巢問題”變式靈活多樣，在具體的問題情境中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會將問題和模型建立聯(lián)系，區(qū)分什么是“鴿”，什么是“巢”。這個過程實質(zhì)是學(xué)生經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程，是從復(fù)雜的現(xiàn)實情境中應(yīng)用最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型的過程。這樣的過程，可有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，尤其增強學(xué)生的模型意識，學(xué)會運用已獲得的模型去分析解答的能力。

例如設(shè)計如下練習(xí)：

1.13位老師，他們中至少有2個人屬相相同，為什么？

設(shè)計此題的本意是讓學(xué)生學(xué)會分析時突出與“鴿巢問題”的聯(lián)系，找出“巢”是什么？“鴿”是什么？當(dāng)“巢”隱藏時，需要進(jìn)行聯(lián)想、尋找。這樣的練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對知識的遷移和建模的能力。

2.書社準(zhǔn)備給六年級一班的40位同學(xué)分書，要求每位同學(xué)都要分到書，至少有1位同學(xué)分得兩本書，那么應(yīng)該準(zhǔn)備幾本書？

通過分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)40位同學(xué)可以看成“巢”，書本可以看成“鴿”，那么物體不知道的情況下該怎么辦？逆向推理，假設(shè)每個同學(xué)先分得1本書，再選擇其中1位同學(xué)再分一本書，這樣就滿足至少有1位同學(xué)分得兩本書，也就是40×1+1=41。

精心設(shè)計練習(xí)，層層遞推。從簡單應(yīng)用到逆向推理，既鞏固所學(xué)知識技能，又實現(xiàn)對學(xué)生思維的延伸，讓學(xué)生學(xué)會熟練應(yīng)用模型進(jìn)行分析，培養(yǎng)模型意識。整節(jié)課讓學(xué)生始終處于精讀、激思、深悟、慧達(dá)之中，深化滲透模型意識的教學(xué)，明暗雙線有效融合，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

顯然，數(shù)學(xué)模型意識是數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。在課堂教學(xué)中，通過運用模型進(jìn)行思考，增強發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力，在模型構(gòu)建和應(yīng)用模型解決問題的過程中，讓學(xué)生獲得全面的發(fā)展，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。因此，加強模型意識滲透和培養(yǎng)的教學(xué)是非常重要且有意義的。

參考文獻(xiàn)：

[1]尹志偉.善用模型思想，巧解數(shù)學(xué)問題[J].江蘇教育（中學(xué)教學(xué)版），2013（5）：56-58.

[2]韓鈺.對學(xué)習(xí)興趣的研究與思考[J].哈爾濱職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2014（6）：72-73.

[3]麥秀英.樹立新理念 構(gòu)建新模式[J].山西教育（教育教學(xué)版），2005（6）：26-26.

作者簡介：

陳碧欽（1989年10月—），女，福建省泉州市人，本科學(xué)歷，一級教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。