擬常曲率黎曼流形中的2-調和子流形

李明圖，裴瑞昌

按EELLS 等在文獻［1］中的觀點，黎曼流形間2?調和的等距浸入是極小浸入的推廣.設f：Mn→Nn+p是等距浸入，若f是一個2?調和映照，則稱Mn是Nn+p的2?調和子流形.文獻［2］對2?調和映照作了深入的研究，給出2?調和子流形所滿足的條件，并證明對于n+p維單位球面Sn+p(1)中具有平行平均曲率的n維2?調和子流形Mn，當Mn的第二基本形式模長的平方σ滿足σ

近年來，對于2?調和子流形的研究已有很多結果［3?9］.現用記號Γ(TM)表示Mn上的全體光滑切向量場作成的集合，本文在ξ∈Γ(TM)的假設下，考慮擬常曲率黎曼流形中的2?調和子流形，證明這類子流形是極小子流形的一個拼擠定理，推廣了文獻［2］中的結論.另外，當余維數p=1 時，進一步考慮這類2?調和超曲面是極小超曲面的情形，得到更為精細的結果.

1 準備工作

文中約定指標的變化范圍如下：

設Nn+p是n+p維完備單連通的黎曼流形，Mn是其n維子流形.

定義1［10］若n+p維完備黎曼流形Nn+p的黎曼曲率張量的分量為如下形式：

則稱Nn+p為擬常曲率黎曼流形.

式 中：g表 示Nn+p上的黎曼度量，a，b為Nn+p上的C∞?函數，ξ={ξA}是一個單位向量函數.

特別地，當a=1 且b=0 時，Nn+p是n+p維單位球面Sn+p(1).

在Nn+p上選取標準正交標架場{e1，e2，…，en+p}，使得限制在Mn上時，{e1，e2，…，en}與Mn相 切，{en+1，en+2，…，en+p}是Mn的法向量.于是，擬常曲率黎曼流形Nn+p的黎曼曲率張量的分量可以取如下形式：

于是，由文獻［11］可知，單位向量ξ可以分解為：

設{ω1，ω2，…，ωn+p}是{e1，e2，…，en+p}的對偶標架場，則Mn的結構方程為：

式中：Rijkl和Rαβkl分別表示Mn的黎曼曲率張量分量和法曲率張量分量.

若Mn極小，則有H=0，從而有

由文獻［2］可知，極小子流形一定是2?調和子流形，2?調和子流形卻不一定是極小子流形.設Mn是Nn+p中的2?調和子流形，則有如下引理1 成立.

引理1［2］Mn是Nn+p中的2?調和子流形的充要條件為：

2 主要結果

定理1 設Mn是擬常曲率黎曼流形Nn+p中具有平行平均曲率的n維2?調和子流形，ξ∈Γ(TM)，若σ

證明 由Mn具有平行平均曲率可知，平均曲率H必為常數［12］.從而?α，k，有

代入式（5）中的第二式，有

進而利用柯西不等式，有

由式（6）、式（7）和式（9）得到

若σ

定理2 設Mn是擬常曲率黎曼流形Nn+1中具有平行平均曲率的n維2?調和超曲面，ξ∈Γ(TM)，若σ≠an+b，則Mn必 為Nn+1中的極小超曲面.

證明 當余維數p=1 時，引理1 中的指標α與β都只能取n+1.省略上標n+1，由式（5）得到

由于Mn具有平行平均曲率，易知H為常數，從而

代入式（10），利用式（10）中的第二式，可得

由于σ≠an+b，因此只能是H=0，故Mn為Nn+1中的極小超曲面.

3 結語

當外圍空間Nn+p的切向量叢限制在子流形Mn上時，可以將其理解為Mn的切向量叢與法向量叢的直和.本文利用Nn+p上的標準正交標架場對單位向量ξ作了分解，在ξ與Mn相切時，利用引理1 得到了定理1 和定理2.