NSD 隨機陣列最大加權和的矩收斂性及應用

何其慧

由于統計模型中很多估計量都是隨機變量加權和的形式，因此越來越多的學者開始重視隨機變量加權和的研究.近年來很多學者都對加權和的收斂性展開了研究，且取得了一系列的成果.如文獻［1?3］在獨立同分布的假設下建立了的一些強收斂性.文獻［4］在負相協的假設下建立了加權和的漸近性質.文獻［5］在獨立假設下建立了加權和的弱收斂性并應用于EV 回歸模型的漸近性質的研究中.文獻［6］利用AANA 隨機變量的矩不等式得到了AANA 序列加權和的矩收斂性，即

式中：{ani(zj)，1 ≤i，j≤n，n≥1} 需滿足

此外，文獻［6］對AANA 序列控制系數的限制較為嚴格且難以驗證.本文基于NSD 的假設，在更弱的條件下得到較文獻［6］更強的結果.另外，基于所建立的矩收斂性的結果，進一步研究了此誤差下非參數回歸模型中估計量的矩相合性和弱相合性.

本文引用如下一些記號：C>0 為一與n無關的常數，a+=aI(a≥0)且a?=?aI(a<0).

1 預備工作

回顧一些基本概念.首先是由文獻［7］提出的關于NA 隨機變量的概念.

定義1 如果對{ 1，2，…，n}的任意非空不交子集A與B都有

式中：f1與f2同時對各變元單調非降或非增，則稱隨機序列{Xi，1 ≤i≤n} 是NA.此外，如果對?n≥2，X1，X2，…，Xn都是NA，則稱隨機序列{Xn，n≥1} 是NA.

基于超可加函數的概念，文獻［8］提出了NSD 隨機變量的概念且證明了NA 隨機變量都是NSD.

定義2 隨機向量(X1，X2，…，Xn) 稱 為NSD，如果

式中：X1*，X2*，…，Xn*是相互獨立的隨機變量，且對任意的1 ≤i≤n，Xi*都與Xi有相同的分布，?是使得上式期望存在的超可加函數.

關于NSD 隨機變量的一些最新結果，可參見文獻［9?12］.為證明本文的主要結果，需要引入如下引理.

引理1［8］設隨機陣列{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}為NSD.若{fni(?)，1 ≤i≤n，n≥1} 為單調非降（或非增）函數陣列，那么{fni(Xni)，1 ≤i≤n，n≥1}仍為NSD.

引理2［8］令{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}是均值為0 的NSD 隨機陣列.假設存在q≥2，使得對所有的1 ≤i≤n，n≥1 都有E|Xni|q<∞，則

由引理2 和文獻［13］中定理2.1 的方法，可得如下關于NSD 隨機陣列的矩不等式.

引理3 假設{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}是均值為0 的NSD 隨機陣列且存在1

2 主要結果

定理1 令10，{Xni，1 ≤i≤n，n≥1} 是一均值為 0 的 NSD 隨機陣列且假設{ani(zj)，1 ≤i，j≤n，n≥1}是一定義在緊集A上的函數陣列，且滿足

證明 由于ani(zj)=(ani(zj))+?(ani(zj))?，不失一般性，假設對一切1 ≤i，j≤n，n≥1，都有ani(zj)≥0 和對任意的t>0，定義

由ε>0 的任意性，為證明式（5）成立，只需證明In1→0 和In2→0 成立.由的定義可知故由Cr不等式和式（3）可得

下面證明In1→0.

取q滿足p

由In2→0 的證明可知In12→0.最后，對于In11，同樣由式（3）和In2→0 的證明可得

定理2 令p≥2，α>0，{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}是一均值為0的NSD隨機陣列且∞.假設{ani(zj)，1 ≤i，j≤n，n≥1} 是一定義在緊集A上的函數陣列，且滿足

則依然有式（4）成立.

證明 由式（7）易知

由定理1 的證明可知，為證明定理2，只需在p≥2 的條件下證明In1→0 即可.

取q滿足q>p，由引理2 可得

對比文獻［6］的結果，定理1 和定理2 有如下改進：①隨機控制的假設在本文中不再需要.②式（2）被減弱到式（3）和式（7）.③式（1）中關于隨機序列加權部分和的結果被改進到式（4）中隨機陣列的最大值加權和的結果.因此，定理1 和定理2 改進并推廣了文獻［6］中相應的結果.

下面給出主要結果在回歸模型中的一個應用.考慮如下非參數回歸模型：

式中：xni∈A是固定點列，回歸函數g定義在A上但未知，εni，1 ≤i≤n，n≥1 為隨機誤差.

考慮如下關于g的加權估計：

式中：權函數Wni(x)滿足以下三個條件：

上述加權估計最早由文獻［14］提出，隨后許多學者對其進行了研究.具體可參考文獻［15?18］.基于前面的主要結果，進一步建立了估計量gn(x)的矩相合性和弱相合性.

定理3 假設條件①～③成立.令{εni，1 ≤i≤n，n≥1}是均值為0 的NSD 隨機陣列，滿足，其中p>1.如果o(1)，則對g(x)的所有連續點x都有

類似文獻［11］中式（3.7）的證明，可以由條件①～③推出

對任意1 ≤j≤n，取ani(zj)=Wni(x)，由條件②可得，當1

從而式（3）和式（7）成立.故在定理1 和定理2中取Xni=εni，式（8）得證.

3 結語

本文利用適當的截尾方法，結合NSD 隨機陣列的Rosenthal 型不等式，得到隨機陣列加權和的矩收斂性，推廣并且改進了相關文獻的結果.作為主要結果的應用，本文進一步研究了非參數回歸模型加權估計量的矩相合性和弱相合性.