地月歷表誤差對共線平動點周期軌道的誤差影響分析

2024-04-02 06:05:24任紅飛吳富梅

大地測量與地球動力學 2024年4期

方柳任紅飛吳富梅

1 地理信息工程國家重點實驗室,西安市雁塔路中段1號,710054

2 西安測繪研究所,西安市雁塔路中段1號,710054

地月空間平動點是圓形限制性三體問題的5個特解,包括3個共線平動點L1、L2和L3以及2個三角平動點L4和L5。由于特殊的位置特性和動力學特性,在平動點附近存在大量的周期、擬周期軌道,對中繼通信、空間中轉站、星際低能轉移等具有獨特的優勢。共線平動點附近的軌道類型主要有Halo軌道、Lissajous軌道和Lyapunov軌道3類。

眾多學者對共線平動點附近周期軌道進行過研究[1-5],但由于圓形限制性三體問題在理論模型、參數設置、數值計算等方面均存在誤差,因此獲得的解析軌道均為近似值。例如在圓形限制性三體問題中將地月質心距離作為固定參數處理,但實際上受地月質量分布、太陽攝動等因素的影響,地月質心相對位置是不斷變化的。相應的變化信息主要依賴于美國DE系列、法國INPOP系列和俄羅斯EPM系列數值星歷表,這3種星歷表代表了目前世界上數值星歷表的領先水平。張文昭等[6]對比以上3種歷表中大行星(包含月球)相對地球和相對太陽系質心的位置坐標差最大值及均方根。結果表明,相對于地心的位置偏差,月球歷表的精度在dm～m級,3個歷表之間的差別可從側面反映當前行星位置的測量精度。李萌萌等[7]對比不同版本的JPL歷表對地球及其他天體天球坐標轉換及月固坐標系與月心天球坐標系的影響。劉婉逸等[8]基于DE405、DE421、DE430、DE440星歷計算各大行星在地球質心及太陽系質心慣性系中的位置,比較其他星歷相對于DE440星歷的位置精度。地月歷表是地月空間軌道的時空基準,分析其誤差對研究地月空間軌道誤差至關重要,但目前尚無學者針對此問題進行深入、系統的研究。

根據誤差傳播定律,地月歷表的誤差會引起平動點的位置誤差,而共線平動點具有弱穩定性,其附近的軌道對初值和擾動非常敏感。故分析地月歷表誤差對平動點,尤其是共線平動點附近軌道不同空間位置的影響特性,對于航天器入軌點選擇、入軌速度確定、測控支持等具有一定的參考意義。本文首先研究圓形限制性三體問題的建模與求解,分析不同初值條件下的軌道演化特性,再研究地月歷表誤差對地月共線平動點周期軌道在不同初值及初值誤差時的影響。

1 圓形限制性三體問題

圓形限制性三體問題是深空探測中考察探測器運動狀態時常用的基本力學模型之一,其描述一個質量可忽略的小天體(如探測器)在2個作相互圓周運動的大天體(主天體)的引力作用下的運動狀態[9]。求解圓形限制性三體問題通常用到質心慣性坐標系和質心旋轉坐標系(也稱會合坐標系)[10]。質心慣性坐標系的定義為:坐標原點位于2個主天體質心,X軸指向慣性空間某固定方向,Z軸指向主天體軌道運動的角動量方向,Y軸與X、Z軸構成右手系。會合坐標系的定義是:坐標原點位于2個主天體質心,x軸由大天體指向小天體,z軸指向主天體軌道運動的角動量方向,y軸與x、z軸構成右手系(圖1)。會合坐標系繞質心慣性坐標系作勻速圓周運動,其周期與2個主天體繞質心運動的周期相同。在會合坐標系中,設i、j、k分別為x軸、y軸和z軸方向的單位矢量,3個質點P1、P2和P3的位置矢量分別為(x1,0,0)、(x2,0,0)和(x,y,z)。

圖1 會合坐標系

在會合坐標系中,圓形限制性三體問題的標量形式為[10]:

(1)

為簡化動力學方程的表達形式,對式(1)進行無量綱化處理,得到無量綱化的動力學方程[9]:

(2)

式中,Ω為等效勢能函數,且[9]

(3)

(4)

方程(4)有以下2種情況[10]:

(5)

y≠0,

(6)

求解方程(5)和(6)可得到拉格朗日點的位置,如圖2所示,L1、L2、L3為共線平動點,L4、L5為三角平動點。

圖2 平動點位置圖

2 共線平動點附近的周期軌道

2.1 不同初值條件下周期軌道

利用文獻[11]給出的3階解析解分析共線平動點附近的周期軌道:

(8)

(9)

此外,為了消除軌道解析解中的非周期項,初始條件中還需滿足[11]:

(10)

需要說明的是,式(10)均為無量綱形式。圖3～5給出不同初始條件(表1)的三維軌道圖及在xy、xz和yz平面的投影。

表1 不同初始條件

圖3 共線平動點周期軌道T1

當z方向初始位置和初始速度均為0時,軌道為水平Lyapunov軌道(圖3),其在xy平面投影為橢圓,在xz和yz平面投影為一條直線;當z方向初始位置不為0、初始速為0時,軌道為Halo軌道(圖4),其在xy平面和yz平面投影為橢圓,在xz平面投影為一條直線;當z方向初始位置為0、初始速度不為0時,軌道為垂直Lyapunov軌道(圖5)。

圖4 共線平動點周期軌道T2

圖5 共線平動點周期軌道T3

2.2 地月歷表誤差對平動點周期軌道的影響

式(7)中,x(τ)、y(τ)、z(τ)分別對x0、z0求偏導,可得:

由文獻[7]可知,對于月球在地心天球坐標系中的位置,DE405與DE430的位置差異最大值約為18.73 m,均方根為1.363 m;DE421、DE423、DE418與DE430的位置差異最大值約為0.56 m、1.61 m、1.76 m,均方根為1.12 m、0.82 m、0.88 m。文獻[8]以DE440為參考,分析其他不同歷表(DE405、DE421、DE430)的誤差。其中,DE405、DE421、DE430的月球地心位置精度分別約為7 m、1.5 m、1.3 m,用于月球探測器從月慣性系轉換為月固系產生的坐標誤差分別為30 m、1.3 m、1 m。以上分析表明,歷表對于月球坐標系轉換的影響為m級,并表現出一定的周期性和隨機性。

假設地月歷表誤差均為隨機噪聲,分析T1、T2、T3三種軌道分別在以下4種誤差條件下的軌道誤差:1) [dx0dz0]T均值為[10 m 10 m]T,標準差為[1 m 1 m]T;2) [dx0dz0]T均值為[20 m 20 m]T,標準差為[1 m 1 m]T;3) [dx0dz0]T均值為[10 m 10 m]T,標準差為[2 m 2 m]T;4) [dx0dz0]T均值為[0 0]T,標準差為[1 m 1 m]T。

圖6～11給出T1、T2、T3軌道在不同地月歷表誤差條件下不同位置的軌道誤差及軌道誤差隨時間的變化,圖中圓圈直徑表示誤差的大小。綜合分析圖6～11可知:1)同一條軌道不同位置的軌道誤差有較大差別,平面Lyapunov軌道誤差的峰值點位于或接近X向最大值與最小值處,在x=0處最小;Halo軌道誤差的峰值點位于或接近軌道Z向最大值與最小值處,在z=0處誤差值最小;垂直Lyapunov軌道誤差的峰值點位于或接近z=0處,在Z向最大值與最小值處誤差最小。2)地月歷表誤差對于軌道誤差的影響表現為隨時間周期性變化,其無量綱的周期約為π,為軌道周期的0.5倍(無量綱軌道周期為2π)。3)軌道誤差的值與地月歷表誤差的值在同一個量級,當地月歷表誤差的均值不為0時,軌道誤差的峰值約為地月歷表誤差均值的2.5倍。