變形監測灰色預測模型對比及替代方法研究

陳鵬宇 秦 嶺

1 內江師范學院地理與資源科學學院,四川省內江市紅橋街1號,641100

對變形監測數據進行及時分析,并對其未來變化趨勢作出準確預測,可為工程建設的安全評估以及地質災害的預測預報提供科學依據。用于變形監測的預測模型和方法很多,其中以GM(1,1)模型為代表的灰色預測模型經過不斷改進和完善,取得了較好的預測效果。從目前的研究來看,用于變形監測的灰色預測模型主要可以分為以下3類。

1)傳統GM(1,1)模型及其改進模型[1-3]。由傳統GM(1,1)模型的建模原理可知,其僅適用于近似齊次指數序列的建模分析,本質上可等效為齊次指數函數模型。由于傳統GM(1,1)模型在建模原理上存在固有缺陷,即白化方程與灰微分方程的不匹配問題[4],研究人員往往會將其改進后再用于變形監測,如對背景值進行重構[2]或者采用無偏GM(1,1)模型[3]。盡管改進后的GM(1,1)模型能夠提高傳統GM(1,1)模型的精度,但仍未能改變其模擬序列為齊次指數序列的本質。當用于滑坡臨滑預測或變形體加速變形階段預測時,GM(1,1)模型可以得到較高的預測精度,但對于具有收斂特征的變形數據,如地基沉降數據,GM(1,1)模型便不再適用[5]。

2)非齊次灰色模型。非齊次灰色模型是指擬合函數為非齊次指數函數、擬合序列為非齊次指數序列的一類灰色預測模型。其擬合函數滿足沉降的收斂特性,被廣泛應用于沉降預測中。這類模型主要包括灰色線性組合模型[6]、無偏NGM(1,1,k)模型[3,5]和非等間隔GM(1,1)模型[7]。除灰色線性組合模型以外,其余2種灰色模型都具備白指數率預測無偏性,可直接使用。其中,非等間隔GM(1,1)模型解決了非等時距變形數據的建模問題[7]。非齊次灰色模型也可用于滑坡變形預測[3,5],其預測精度往往高于GM(1,1)模型。這是因為邊坡臨滑前的位移并不都完全服從近似齊次指數規律,許多數據具有非齊次指數規律[8]。

3)GM(1,1)冪模型及其改進模型。GM(1,1)冪模型是一類非線性灰色預測模型,本質上可等效為生長曲線模型。當α=2時,GM(1,1)冪模型即為灰色Verhulst模型[9]。當沉降趨于穩定或具有“S”型變化趨勢時,可采用GM(1,1)冪模型進行分析預測[9]。與GM(1,1)模型類似,GM(1,1)冪模型也存在背景值構造缺陷,需要將其改進后再用于變形預測[9-10]。在非等間隔GM(1,1)模型的基礎上,通過冪函數變換可建立非等間隔GM(1,1)冪模型[9],以解決非等時距變形數據的建模問題。GM(1,1)冪模型(主要是灰色Verhulst模型)也常用于邊坡變形預測[11]。有學者[12-13]認為,采用Verhulst模型的反函數和GM(1,1)冪模型的反函數來描述和擬合邊坡變形特征更為合理。

此外,在變形監測中還有一些對數據處理進行改進的灰色預測模型,如殘差修正GM(1,1)模型[14-16]、灰色馬爾科夫組合模型[17]、動態新陳代謝灰色模型[18]和卡爾曼濾波灰色模型[19]。但這些方法仍是以上述3類灰色預測模型為基礎,只是在數據處理上進行改進,并未改變灰色預測模型的擬合函數。

綜上所述,若不考慮數據處理方面的改進,僅從擬合函數的角度,變形監測灰色預測模型可分為3類:傳統GM(1,1)模型及其改進模型、非齊次灰色模型、GM(1,1)冪模型及其改進模型。這3類模型的計算原理不同,特別是在擬合函數、是否適用于非等時距變形數據建模以及是否存在極限值等方面存在差異,這些差異對于選擇變形監測預測模型非常重要,而現有研究缺少這方面的系統性探討和總結。3類灰色預測模型本質上可等效為函數模型或曲線模型,但與一般的曲線擬合在參數計算上又存在差異,兩者之間有何異同、曲線擬合函數是否可代替灰色預測模型用于變形監測也值得探討。為此,本文以3類灰色預測模型為研究對象,以Origin擬合函數作為3類灰色預測模型的替代方法,基于理論分析和工程實例對比分析3類灰色預測模型及其替代方法,驗證替代方法的可行性,并提出各類模型和方法的應用建議,為灰色預測模型在變形監測中的合理應用提供參考。

1 3類灰色預測模型的建模原理及替代方法

雖然本文從擬合函數的角度將變形監測灰色預測模型分為3類,但由于改進方法繁多,每一類灰色預測模型都包含多種改進模型,所以本文僅選擇其中有代表性的改進模型作為研究對象。具體按等時距和非等時距2種情況進行選擇:等時距灰色預測模型適用于變形數據為等時距的情況,非等時距灰色預測模型適用于變形數據為非等時距的情況。

1)等時距灰色預測模型的選擇。文獻[4]總結了GM(1,1)模型的改進現狀,認為白化方程參數重構的GM(1,1)模型,即無偏GM(1,1)模型建模相對簡單、精度較高,故本文選用其作為第1類灰色預測模型的代表性模型。同樣,選擇改進原理相似的無偏NGM(1,1,k)模型[3,5]和無偏GM(1,1)冪模型[9]作為第2類和第3類灰色預測模型的代表性模型。

2)非等時距灰色預測模型的選擇。傳統非等間隔GM(1,1)模型以時間間隔作為權重,對原始數據進行加權累加,其模擬序列并非齊次指數序列,而是不規則序列,并不適用于具有近似齊次指數趨勢的變形數據[7]。因此,傳統非等間隔GM(1,1)模型與GM(1,1)模型并不屬于同一類模型。目前并未出現模擬序列為齊次指數序列的非等間隔GM(1,1)模型,所以對于第1類灰色預測模型本文不考慮非等時距的情況。文獻[7]提出一種非等間隔GM(1,1)模型,其模擬序列為非齊次指數序列,可用于沉降的分析預測,本文將其作為第2類灰色預測模型的代表性模型。由冪函數變換結合非等間隔GM(1,1)模型可建立非等間隔GM(1,1)冪模型[9],本文將其作為第3類灰色預測模型的代表性模型。

1.1 等時距灰色預測模型

1.1.1 無偏GM(1,1)模型

記變形監測序列為X(0),其一次累加值為X(1)。無偏GM(1,1)模型的灰微分方程為:

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(1)

式中,a為發展系數,b為灰作用量,z(1)(k)=0.5[x(1)(k)+x(1)(k-1)]。以最小二乘法估計參數a、b。

其白化方程為:

(2)

時間響應式為:

(3)

還原值為:

(4)

1.1.2 無偏NGM(1,1,k)模型

無偏NGM(1,1,k)模型的建模原理與無偏GM(1,1)模型相似,都是采用累加建模法。其灰微分方程為:

x(0)(k)+az(1)(k)=kb+c

(5)

式中,a為發展系數,kb+c為灰作用量。同樣以最小二乘法估計參數a、b、c。

其白化方程為:

(6)

時間響應式為:

(7)

還原值為:

(8)

1.1.3 無偏GM(1,1)冪模型

對無偏GM(1,1)模型進行冪函數變換可建立無偏GM(1,1)冪模型,但需將累加建模法改為直接建模法,其建模原理如下[9]。

(9)

本文采用文獻[9]的尋優算法,通過編制無偏GM(1,1)冪模型的MATLAB程序,以擬合結果的平均相對誤差最小作為優化目標,采用MATLAB直接搜索工具箱確定最優參數α。無偏GM(1,1)冪模型滿足白冪指數率預測無偏性[9]。由式(9)可見,無偏GM(1,1)冪模型的擬合函數為生長曲線函數,可用于趨于穩定或具有“S”型變化趨勢序列的分析和預測。

1.2 非等時距灰色預測模型

1.2.1 非等間隔GM(1,1)模型

非等間隔GM(1,1)模型采用直接建模法,其建模原理如下[7]。

記變形監測序列為X(1),對應的時間序列為T(1),一次累減值為X(0)和T(0)。非等間隔GM(1,1)模型的白化方程為:

(10)

時間響應式為:

(11)

白化方程對應的灰微分方程為:

(12)

式中,z(1)(k)為背景值,計算公式為:

z(1)(k)=px(1)(k)+(1-p)x(1)(k-1)

(13)

參數β同樣可采用文獻[9]的尋優算法確定。非等間隔GM(1,1)模型滿足白指數率預測無偏性[7]。由式(11)可見,非等間隔GM(1,1)模型的擬合函數為非齊次指數函數,可用于近似非齊次指數序列的分析和預測。

1.2.2 非等間隔GM(1,1)冪模型

由冪函數變換結合非等間隔GM(1,1)模型可建立非等間隔GM(1,1)冪模型[9]。

(14)

除參數β以外,還需確定冪函數變換參數α。同樣可采用文獻[9]的尋優算法確定這2個參數。非等間隔GM(1,1)冪模型滿足白冪指數率預測無偏性[9]。由式(14)可見,非等間隔GM(1,1)冪模型的擬合函數為生長曲線函數,可用于趨于穩定或具有“S”型變化趨勢序列的分析和預測。

1.3 替代方法

現有研究主要是在灰色建模法的基礎上對灰色預測模型進行改進以提高模型的精度,少有研究避開灰色建模原理,直接求解擬合函數。鑒于灰色建模法求解參數的復雜性,筆者曾建議采用曲線擬合的方法直接求解灰色預測模型的擬合函數,即采用Origin軟件提供的非線性擬合函數代替灰色預測模型,亦可實現其建模目標[3,9]。可代替3類灰色預測模型的Origin擬合函數分別為:

Exp2PModl:y=aebt

(15)

Exponential:y=y0+aebt

(16)

(17)

上述3種擬合函數分別為齊次指數函數、非齊次指數函數和生長曲線函數,與3類灰色預測模型的擬合函數相對應,可作為3類灰色預測模型的替代方法。下面從計算原理、建模數據和擬合效果3個方面對比分析灰色預測模型與Origin擬合函數。

1)計算原理。灰色預測模型以最小二乘法為基礎計算參數,對于無偏GM(1,1)冪模型、非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型,還需采用尋優算法求解冪函數變換參數和背景值構造參數,而且尋優算法和最小二乘法屬于嵌套計算,這就要求借助MATLAB等軟件編制程序實現參數求解。Origin非線性擬合一般采用Levenberg-Marquardt優化算法,研究人員只要學會擬合操作即可,復雜的迭代過程交由Origin軟件處理,在參數求解上更為簡便[3,9]。

2)建模數據。灰色預測模型一般適用于小樣本、少數據的建模[20],對數據量的要求較低,但數據量較大時會增加參數求解的難度。Origin擬合函數對數據量沒有特殊要求,只要能實現參數計算即可。變形數據往往為非等時間間隔,而大部分灰色預測模型僅適用于等時距變形數據建模,適用于非等時距變形數據建模的非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型在參數求解上又存在一定難度。Origin擬合函數對變形數據的時間間隔沒有要求,Origin軟件可直接對非等時距變形數據進行非線性擬合。可見,當變形數據量較大或變形數據具有非等時距時,采用Origin擬合函數更具優勢。

3)擬合效果。灰色預測模型(不包括未改進的模型)和Origin擬合函數的擬合效果相當,在建模數據較多時,灰色預測模型的擬合效果可能不及Origin擬合函數[3,9]。當采用尋優算法求解無偏GM(1,1)冪模型等灰色預測模型的參數時,其優化目標可以根據實際情況進行調整,比如以平均相對誤差最小作為優化目標[9],或者采用考慮數據新舊程度的目標誤差函數[21]。Origin擬合函數一般不能實現這種特殊優化目標。

2 3類灰色預測模型的對比分析

灰色預測模型的擬合函數屬于何種類型、能否實現極限值的預測、是否適用于非等時距變形數據建模,這些性質對于變形監測都非常重要。因此,本文根據3類灰色預測模型的建模原理,從擬合函數、有無極限值、適合等時距或非等時距建模、替代方法和適用范圍等5個方面進行對比分析,如表1所示。

表1 3類灰色預測模型的對比

1)無偏GM(1,1)模型的擬合函數為齊次指數函數y=aebx,b<0時,極限值為0。對于變形數據,一般不存在極限值為0的情況,所以無偏GM(1,1)模型不適合趨于穩定的沉降預測。b>0時,無極限值,且呈指數增長趨勢,一般適用于滑坡臨滑預測或變形體加速變形階段的變形預測[9]。受建模原理的限制,無偏GM(1,1)模型僅適合于等時距變形數據序列建模,若變形數據為非等時距,需要進行等時距的變換處理[3]。若采用Exp2PModl函數,則沒有等時距的要求,且參數求解更簡便。

2)無偏NGM(1,1,k)模型和非等間隔GM(1,1)模型的擬合函數為非齊次指數函數y=aebx+m,b<0時,極限值為m,適用于趨于穩定的沉降預測[7];b>0時,無極限值,且呈指數增長趨勢,適用于滑坡臨滑預測或變形體加速變形階段的變形預測[3,5]。受建模原理的限制,無偏NGM(1,1,k)模型僅適合于等時距變形數據建模,若變形數據為非等時距,則需采用非等間隔GM(1,1)模型。若采用Exponential函數,則無需考慮變形數據的時間間隔,且參數求解更簡便。

3 工程實例分析

3.1 模型對比

文獻[3,9]對比分析了除非等間隔GM(1,1)模型以外的代表性灰色預測模型與相應替代方法的擬合和預測精度。本文也采用文獻[3,9]中的3個實例。

1)向家坡滑坡。以其位移監測資料為例[22],監測位移為等時距數據,可采用無偏GM(1,1)模型和無偏NGM(1,1,k)模型。以第1～7周位移數據分別建立上述2種灰色預測模型和Exp2PModl、Exponential函數,預測第8～9周位移,以對比各方法的擬合和預測精度。

2)邵陽-懷化高速公路。以某軟土路基斷面12期總體沉降實測值為例[23],沉降實測值為等時距數據,可采用無偏NGM(1,1,k)模型和無偏GM(1,1)冪模型。分別建立上述2種灰色預測模型和Exponential、SRichards2函數,對比各方法的擬合精度。

3)成綿樂鐵路客運專線。以DK171+600測點的沉降觀測結果為例[24],沉降實測值為非等時距數據,可采用非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型。分別建立上述2種灰色預測模型和Exponential、SRichards2函數,對比各方法的擬合精度。

若采用累加建模法建立灰色預測模型,會導致還原函數對初始值不具有擬合效果[25]。為進行合理對比,對于采用累加建模法的無偏GM(1,1)模型、無偏NGM(1,1,k)模型和無偏GM(1,1)冪模型,在比較這些灰色預測模型和相應Origin擬合函數的擬合精度時,不考慮第1組數據,同時在求解Origin擬合函數時,也不考慮第1組數據。對于采用直接建模法的非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型,其擬合函數對初始值具有擬合效果,所以在進行擬合精度比較以及求解Origin擬合函數時,考慮第1組數據。

對于實例1,直接采用文獻[3]中無偏GM(1,1)模型、無偏NGM(1,1,k)模型和Exponential函數的擬合結果。只需計算Exp2PModl函數的擬合結果。對于實例2,直接采用文獻[9]中無偏GM(1,1)冪模型的擬合結果,需去除第1組數據重新求解Exponential函數,同時還需計算無偏NGM(1,1,k)模型和Exponential函數的擬合結果。對于實例3,直接采用文獻[9]中非等間隔GM(1,1)冪模型和SRichards2函數的擬合結果,需計算非等間隔GM(1,1)模型和Exponential函數的擬合結果。其中,非等間隔GM(1,1)模型的背景值構造參數采用文獻[9]的尋優算法確定,在搜索參數β的最優值時,初值為0.1,參數范圍為[-10,10]。各模型的擬合預測結果如圖1所示,擬合公式和擬合(預測)精度如表2所示,以均方差和平均相對誤差衡量精度。

圖1 各模型的擬合(預測)結果與監測結果的對比

表2 各模型的擬合公式和擬合(預測)精度

根據圖1和表2可以得出:

1)對于實例1,與無偏GM(1,1)模型相比,無偏NGM(1,1,k)模型的擬合結果更接近于監測結果,其擬合預測精度更高,這說明向家坡滑坡的位移發展趨勢更接近非齊次指數趨勢。無偏GM(1,1)模型與Exp2PModl函數的擬合預測效果相當,Exp2PModl函數擬合預測精度更高。無偏NGM(1,1,k)模型與Exponential函數的擬合預測精度非常接近,兩者的擬合預測效果幾乎相同。

2)對于實例2,與無偏NGM(1,1,k)模型相比,無偏GM(1,1)冪模型的擬合結果更接近于監測結果,其擬合精度更高,這說明沉降發展趨勢更接近于“S”型變化。無偏NGM(1,1,k)模型與Exponential函數的擬合精度非常接近,兩者擬合效果相當。無偏GM(1,1)冪模型與SRichards2函數的擬合精度較為接近,兩者的擬合效果相差不大,SRichards2函數擬合的均方差更小,但其平均相對誤差2.955%稍大于無偏GM(1,1)冪模型的2.671%。

3)對于實例3,非等間隔GM(1,1)模型的均方差為0.109 mm2,平均相對誤差為2.877%,擬合精度較高,說明沉降發展趨勢比較接近于非齊次指數趨勢。非等間隔GM(1,1)冪模型的擬合精度更高,均方差為0.072 mm2,平均相對誤差為

2.146%。非等間隔GM(1,1)模型和Exponential函數的擬合精度很接近,兩者的擬合效果相差不大,Exponential函數擬合精度更高。非等間隔GM(1,1)冪模型和SRichards2函數的擬合精度較為接近,兩者擬合效果相差不大,SRichards2函數擬合精度更高。

3.2 討論和建議

3.2.1 灰色預測模型的適用性

從上述實例分析中可以看出,對于不同類型的監測數據,3類灰色預測模型的表現存在顯著差異。3類灰色預測模型的擬合函數決定了它們分別適用于具有近似齊次指數、非齊次指數和“S”型變化趨勢的變形數據。

第1類灰色預測模型的擬合函數為齊次指數函數,無法較好地擬合近似非齊次指數序列以及趨于穩定或具有“S”型變化趨勢的序列,其適用性在3類灰色預測模型中最差。只有在邊坡臨滑或變形體加速變形階段具有齊次指數發展趨勢時,可采用第1類灰色預測模型。

第2類灰色預測模型屬于非齊次灰色模型,不僅可用于具有非齊次指數增長趨勢的滑坡位移建模,也可用于趨于穩定的沉降數據建模。當沉降發展趨勢接近于非齊次指數趨勢時,第2類灰色預測模型可以得到較好的擬合效果,比如本文實例3。

第3類灰色預測模型屬于生長曲線模型,適用于趨于穩定或具有“S”型變化趨勢的沉降預測。其模型結構比非齊次灰色模型更為復雜,但適用性更強,即使對于近似非齊次指數序列,也可以得到比非齊次灰色模型更高的擬合精度,比如本文實例3。

因此,建議在滑坡臨滑預測或變形體加速變形階段時,對第1類和第2類灰色預測模型的擬合效果進行對比,選擇更能反映當前變形發展趨勢的模型;在趨于穩定的沉降預測時,可直接采用第3類灰色預測模型。受地質條件和環境因素的影響,許多變形數據都具有波動性或者階躍性[14,16,19,26]。這種情況下,3類灰色預測模型可作為趨勢分析模型,但需要根據變形的整體趨勢特征選擇合適的灰色預測模型。至于變形中的殘余波動特征或者階躍特征,可采用時間序列分析模型、BP神經網絡等方法進行分析。

3.2.2 Origin擬合函數的替代性

從本文實例來看,與3類灰色預測模型相比,Origin擬合函數可以得到相當甚至更高的擬合或預測精度。除實例2中SRichards2函數的平均相對誤差稍大于無偏GM(1,1)冪模型以外,其余實例中Origin擬合函數的均方差和平均相對誤差都小于相應的灰色預測模型。無偏GM(1,1)模型沒有相應的非等時距模型,不能直接用于非等時距變形數據建模,其余2類灰色預測模型需要根據變形數據的時距特征選擇相應的等時距或非等時距模型。相比之下,Origin擬合函數對變形數據的時間間隔沒有要求,使用更為方便。

3類灰色預測模型采用最小二乘法計算參數a、b或a、b、c,需要進行矩陣運算,在參數辨識過程中可能出現病態性問題[27],影響模型的可靠性。無偏GM(1,1)冪模型、非等間隔GM(1,1)模型和非等間隔GM(1,1)冪模型在采用尋優算法確定參數α或α、β時,需要合理選擇待求參數的初始值和取值范圍以及尋優算法的計算參數,以避免陷入局部最優解,影響計算結果。其中,非等間隔GM(1,1)冪模型有2個尋優算法待求參數,計算難度相對較大,計算效率相對較低。相比之下,3種替代方法為Origin軟件內置擬合函數,無需專門編制程序進行參數的優化求解,計算效率和可靠性相對更高。

綜上,Origin擬合函數完全可以代替灰色預測模型用于變形監測。如果研究人員比較熟悉灰色預測模型的建模原理,也可根據數據特征選擇合適的灰色預測模型進行預測分析。對于需要參數優化求解的非等間隔GM(1,1)模型、無偏GM(1,1)冪模型和非等間隔GM(1,1)冪模型,可選擇以平均相對誤差最小作為優化目標或者采用考慮數據新舊程度的目標誤差函數[21]等特殊優化目標,有時可以得到比Origin擬合函數更低的平均相對誤差,比如本文實例2中的無偏GM(1,1)冪模型。

4 結 語

將變形監測灰色預測模型分為傳統GM(1,1)模型及其改進模型、非齊次灰色模型、GM(1,1)冪模型及其改進模型3種類型,從擬合函數、有無極限值、適合等時距或非等時距建模和適用范圍等方面對比3類灰色預測模型的代表性模型,給出3類灰色預測模型的應用建議,可為根據變形數據特征選擇合適的灰色預測模型提供指導。

以Origin擬合函數Exp2PModl、Exponential和SRichards2作為3類灰色預測模型的替代方法。與3類灰色預測模型相比,Origin擬合函數在參數求解和建模數據要求上更具優勢,而且可以得到相當甚至更高的擬合或預測精度,除需要編程實現的特殊優化目標外,可作為3類灰色預測模型的替代方法應用于變形監測。