基于有限元分析的橡膠回彈性模擬

雍占福，王茂輝，黃兆閣

（青島科技大學 高分子科學與工程學院，山東 青島 266042）

橡膠制品受到外力作用而發生高彈性形變時，橡膠分子的分子鏈構象和構象熵也會發生很大變化。 而小分子材料受力改變的是晶胞的尺寸（鍵長和鍵角），故其形變量很小，材料彈性變形很小［1-3］。 所以橡膠制品在外力作用下發生形變時，由于其分子鏈的變化，會導致分子鏈之間發生摩擦，造成能量的損失。 高分子材料回彈性的測定按照GB/T 1681—2009 （ISO 4662）硫化橡膠回彈性標準進行， 實驗過程需要經歷橡膠混煉、橡膠硫化及制作標準試樣，最后才進行回彈性測試［4］。 本工作則提出了一種分析高分子材料回彈性以及回彈過程中能量變化的新方法，借助有限元分析軟件ABAQUS 對橡膠的回彈性測試實驗進行仿真模擬，探究橡膠在實驗中理想狀態（無摩擦、阻力等因素影響）下的能量損耗，并與實際回彈實驗進行對比以確認方法的準確性［5］，借此獲得橡膠真正的黏性損耗以及因為黏彈性造成的能量損失率。

機械式橡膠彈性測試儀回彈性的求法主要有2 種，一種是基于回彈高度的測定，另一種是基于回彈角度（α）的測定，其回彈性（R）的計算分別如式（1）和式（2）所示：

式中：hr為回彈高度；h0為擺錘下落高度。

1 有限元模型的建立

1.1 建立模型

對擺錘式橡膠機械回彈儀進行模型簡化，忽略其試樣夾持裝置及機座等結構，建立簡化后的仿真模型。 仿真模型主要由3 部分組成，分別是擺錘、沖頭及試樣。 將各部件按照正確位置裝配到一起， 模型尺寸按照GB/T 1681—2009 規定執行，三維有限元模型如圖1 所示。

Fig 1 Diagram of three dimensional finite element model of rebound instrument

1.2 超彈性本構模型

選取合適的材料本構模型是保證有限元仿真分析準確性的關鍵因素之一，目前常用的表征橡膠材料的本構模型主要基于熱力學統計方法和連續介質力學理論提出［5-6］。 在ABAQUS 軟件中， 常用的橡膠復合材料本構模型有Mooney-Rivlin 模 型、Neo-Hookean 模型 和Yeoh 模型［7-9］。本研究在前人工作基礎上，通過循環拉伸的方式消除了啞鈴形試樣的Mullins 效應， 選用單軸拉伸的測試方法得到了材料的應力應變曲線，將其導入ABAQUS 的property 模塊進行超彈性材料參數的擬合，擬合曲線如圖2 所示。 由圖2 可以看出，Yeoh 模型擬合度最高， 所以本研究選用Yeoh 模型作為仿真所用材料屬性。 實驗采用GB/T 1681—2009 規定的啞鈴形試樣Ⅱ型，長20mm、厚2 mm，拉伸速率為500 mm/min。

Fig 2 Stress-strain curves of vulcanized rubber under different models

1.3 黏彈性模型

橡膠高彈性來源于構象熵的變化，構象熵變化是由于高分子鏈鏈段的運動引起，鏈段的運動會造成分子鏈間及分子鏈與填料間的摩擦，導致滯后現象產生，引起能量變化。 因此，仿真中的黏彈性材料屬性對動態分析結果至關重要［10-11］。 橡膠的黏彈性采用廣義Maxwell 模型表示， 通過應力松弛實驗確定參數，對應力松弛實驗數據進行歸一化處理，基于最小二乘法擬合出Prony 參數，以其作為材料黏彈性參數（見表1）［12-13］。 其中，G（i）為剪切模量，τ（i）為松弛時間。模型的應力松弛方程可用式（3）表示：

式中：σ（t）表示t 時刻的應力；σ0i和τ（i）分別為第i 個Maxwell 模型的初始應力和松弛時間。 由于其應變一定，則應力與模量正相關，即G（i）與初始應力σ0i正相關。

Table 1 Rubber material Prony parameters

黏彈性材料的損耗往往與溫度、振動頻率和應變幅度有關［14］，因此仿真過程中溫度設定為實驗室測試溫度20 ℃，擬合材料屬性選用的是接近仿真應變過程的100%應變條件下的應力松弛曲線。 圖3 所示為實驗與黏彈性模型擬合結果，由圖3 可以發現， 天然橡膠試樣的應力隨時間減小，由于其應變一定，即剪切模量（G0）隨時間的增加而逐漸減小，最終趨于穩定值。 此外，基于時間的上述應力松弛方程也可用剪切松弛函數方程g（t）表示：

式中：GR（t）為松弛時間t 時刻的剪切松弛模量；G∞為長時間下的剪切模量。 將剪切模量的Prony級數由時域轉換為頻域，式（4）可轉換為關于階數N 的式（5）：

Fig 3 Stress relaxation curve under 100%strain condition

1.4 材料屬性驗證

合適的材料屬性是影響仿真結果準確性的重要因素之一［15-17］。 為了驗證擬合材料屬性的準確程度，保證仿真數據的科學性和精確度，使用擬合后的材料屬性進行橡膠單軸拉伸實驗的仿真模擬，然后與實際拉伸實驗對比，對應力進行平均處理，默認平均閾值是75%，結果見圖4。 不同應變條件下試樣的仿真結果與實際拉伸實驗結果對比發現， 啞鈴形試樣仿真得到的應力-應變曲線與材料參數擬合得到的曲線基本重合，與實驗測得的數據相近，證明以上討論獲取的材料參數能準確模擬回彈橡膠塊的力學特性，可以用于回彈實驗有限元模型的建立。 其保證了實驗中材料屬性的準確性，同時也可為之后的能量分析提供佐證。

Fig 4 Simulation and actual comparison of rebound sample under different strains

2 結果與討論

通過實際測試和本方法模擬可知，實驗測試的橡膠回彈角度為64°09′時，仿真模擬為66°54′，誤差為3.8%； 實驗測試的橡膠回彈率為59.4%時，仿真模擬為60.8%，誤差為2.4%。由于有限元分析是在理想條件下進行的，所以忽略了實際測試時的空氣阻力和摩擦造成的能量損失，導致仿真模擬結果從數據上要略微高于實驗測試結果。回彈率的精確程度較高也可以證明回彈過程中能量變化的準確性。

2.1 能量變化

在回彈實驗中，從擺錘釋放開始，其重力勢能轉化為動能且逐漸增大，當擺錘降落到最低點時的動能最大；擺錘撞擊到高分子試樣，高分子鏈變為伸展狀態，無序性和構象熵減少。 此后伸展狀態的分子鏈變為無規卷曲狀態， 構象熵增加，反作用于擺錘，使擺錘回彈，根據回彈高度或回彈角度確定材料的回彈率［4］。 實驗過程中最直觀的表現是擺錘無法回彈至初始位置，其沖擊試樣的過程中存在能量損耗，這部分損耗是高分子材料的黏彈性引起［18］。 本方法測定的回彈率與實際結果相符，因此對實驗過程中用有限元方法分析能量的變化也應是準確的。 圖5 為試樣回彈過程中能量的變化曲線，可以看出，擺錘大約在釋放后0.27 s 能量達到最大值， 沖擊試樣后能量迅速降低，然后迅速達到回彈的最高值，但是顯然該值無法達到沖擊前的能量大小；模擬的能量是試樣中儲存的能量和擺錘動能之和，因為試樣在擺錘離開后會迅速回彈至原來的形狀并圍繞該形狀周期振動，因此試樣中儲存的能量呈現上下波動并逐漸降低。

Fig 5 Energy change curves of sample during rebound

圖6 為回彈過程中試樣中儲存的擺錘動能與應變能的關系曲線， 可以看出， 擺錘大約在0.27 s 時沖擊試樣，將擺錘的動能傳遞給試樣，試樣在0.27 s 時儲存的擺錘動量最大； 當擺錘回彈時，試樣將一部分能量返還給擺錘成為擺錘的動能，另一部分能量成為試樣的應變能。 從圖中可以發現兩種能量的變化相同，都呈現周期性上下波動并逐漸遞減的規律； 不同的是二者峰值相反，即試樣中儲存的擺錘動能處于最大時，試樣的應變能處于最小，二者彼此交替循環，試樣中儲存的部分擺錘動能先變化，試樣應變能的變化相對滯后，其特點正反映出高分子材料的滯后現象，而試樣中能量的損耗也正是因為這種滯后現象的存在［19］。

Fig 6 Relationship change curves of kinetic energy and strain energy of sample during rebound

綜合圖5 和圖6 可以發現，擺錘沖擊后的動能大部分通過接觸傳遞給試樣，試樣形變到最大后又反作用于擺錘使其回彈，同時一部分能量變成試樣的應變能。 擺錘離開試樣后，試樣殘余的能量與應變能相互交替，微觀上表現為分子鏈在無規則卷曲和伸展狀態之間不斷變化，鏈段之間彼此摩擦，能量逐漸被消耗并最終趨于穩定。

2.2 溫度變化

高分子材料中分子鏈被迫由無規卷曲狀態變為伸展狀態，無序性和構象熵減少，然后自發地從伸展狀態變成另一種無規狀態［19］。 在轉化過程中，分子鏈間必然伴有鏈段間及分子鏈與填料間的摩擦，導致機械能轉化為熱能，使溫度升高。圖7 為試樣在不同沖擊時間的溫度變化（環境溫度20 ℃），從中可以發現，初始沖擊時試樣溫度最高，撞擊的瞬間0.27 s 時試樣最高溫度達到46.34℃，溫度范圍很小，這是因為沖擊時應變最大，外力作用快，分子鏈之間的摩擦更強烈。 隨著時間的延長，最高溫度趨近于環境溫度20 ℃，熱量從試樣中間位置向周圍傳遞，高于環境溫度的范圍越來越廣，最終以熱能形式散失到環境中。

Fig 7 Simulated temperature distribution of rebound sample at different impact time

試樣溫度場的變化除了高分子材料滯后現象的原因外，還因為撞擊過程中擺錘與試樣相對運動而產生的摩擦［3］。 因為擺錘沖擊試樣時存在接觸，接觸后試樣發生形變，在動摩擦系數為0.2的條件下會發生摩擦。 圖8 為擺錘作用時試樣的摩擦力分布情況， 將輸出的應力與試樣直徑作圖， 更直觀地分析試樣在撞擊過程中的受力情況。 從圖8 可以發現，中心點處由于沖頭沿垂直方向沖擊試樣表面，此處幾乎沒有摩擦力，而中心點周圍接觸應力更大， 在距離中心點5 mm 左右處產生的相對滑移更大，因此摩擦力最大。 從圖9 可以看出， 由摩擦力引起的能量耗散（ALLFD）也是回彈過程中能量損耗的一部分，只是這部分占比很小。

Fig 8 Simulated friction distribution of rebound sample during pendulum action

Fig 9 Energy dissipation curve of rebound sample

3 結 論

提出了基于有限元分析的橡膠回彈性模擬新方法，實驗測定結果顯示該方法模擬計算結果與其相符，對于橡膠材料回彈角度和回彈率的模擬精確度達到96%以上，這與黏彈性模擬計算考慮了WLF 方程的影響有關， 可以更好地模擬高分子材料的生熱現象。