基于快速平穩(wěn)冪次趨近律AGV滑模軌跡跟蹤控制研究

龍琴, 袁森,2*, 李魏魏

(1.貴州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 貴陽 550025; 2.貴州理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院, 貴陽 550003)

隨著人工智能、智慧城市和機(jī)器人等技術(shù)的發(fā)展和國家政策大力支持的背景下,自動導(dǎo)引車 (automated guided vehicle,AGV)廣泛應(yīng)用在各個行業(yè)[1],它也將迎來新的發(fā)展機(jī)遇—AGV泊車機(jī)器人。

AGV泊車機(jī)器人能否勝任泊車任務(wù),關(guān)鍵在于AGV軌跡跟蹤的響應(yīng)性、穩(wěn)定性和精確性。文獻(xiàn)[2]針對單舵輪AGV軌跡跟蹤問題,提出一種基于雙冪次趨近律的雙閉環(huán)軌跡跟蹤滑?？刂撇呗?可以實現(xiàn)AGV軌跡跟蹤快速穩(wěn)定的響應(yīng)。文獻(xiàn)[3]針對工廠運送物料的差速驅(qū)動AGV,提出了一種自適應(yīng)模糊滑膜軌跡跟蹤控制律,協(xié)調(diào)控制外界因子對AGV的影響,提高軌跡跟蹤精度。文獻(xiàn)[4]針對AGV軌跡跟蹤控制器中參數(shù)較多問題,提出一種基于自適應(yīng)反演法的軌跡跟蹤策略,可以提高AGV在不同工況下的軌跡跟蹤響應(yīng)性和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[5]以舵輪中線布置雙舵輪AGV為研究對象,通過模型預(yù)測控制器實現(xiàn)AGV軌跡跟蹤控制,具有較高的實時性和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[6]在比例積分微分(proportion integration differentiation,PID)算法中引入模糊控制算法,實現(xiàn)PID參數(shù)實時自適應(yīng)調(diào)參,可以提高AGV軌跡跟蹤的穩(wěn)定性和精確性。文獻(xiàn)[7]通過模糊控制與滑膜控制相結(jié)合,實現(xiàn)對對角式舵輪分布AGV路徑糾偏控制,可提高AGV軌跡跟蹤的穩(wěn)定性和精確性。

對于非線性系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制是相當(dāng)復(fù)雜的,需要考慮到跟蹤控制的響應(yīng)性、精確性和穩(wěn)定性,還需考慮到外界的干擾[8]。據(jù)此,采用Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計非線性軌跡跟蹤控制器,可以幫助系統(tǒng)穩(wěn)定性收斂。同時,對于非線性系統(tǒng)參數(shù)耦合和外界干擾的問題,滑膜控制是較為常用的控制算法,具有響應(yīng)快、計算簡單和魯棒性的特點,但其存在控制率變換而產(chǎn)生抖振,如何消除抖振是滑?？刂频囊淮箅y題[9]。文獻(xiàn)[10]針對模型預(yù)測控制中存在的穩(wěn)定性問題,提出一種基于Lyapunov函數(shù)輸入約束的模型預(yù)測控制器,改善輪式移動機(jī)器人的軌跡跟蹤穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[11]基于反步法與分層滑?？刂撇呗?提出一種輪式機(jī)器人軌跡跟蹤算法,可以提高系統(tǒng)的魯棒性和跟蹤精度,但系統(tǒng)還存在響應(yīng)性問題。由于輪式移動機(jī)器人在運動過程中還存在著模型的不確定性和外部的隨機(jī)干擾,因此文獻(xiàn)[12-14]結(jié)合自適應(yīng)控制律與其他控制算法處理軌跡跟蹤中穩(wěn)定性、精確性和響應(yīng)性問題,并通過Lyapunov穩(wěn)定性理論驗證所提算法的魯棒性。

基于以上研究,為實現(xiàn)AGV泊車機(jī)器人可以快速平穩(wěn)的跟蹤預(yù)定軌跡,考慮到Lyapunov穩(wěn)定性理論和滑?？刂频奶攸c,設(shè)計一種基于快速平穩(wěn)冪次趨近律的AGV滑模軌跡跟蹤控制策略。首先,對AGV非線性系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述,建立AGV運動學(xué)控制模型。其次依據(jù)動力學(xué)模型,采用Lyapunov函數(shù)設(shè)計AGV泊車機(jī)器人的滑模切換函數(shù),處理非線性AGV系統(tǒng)穩(wěn)定性收斂問題;然后在冪次趨近律的基礎(chǔ)上添加一指數(shù)項,并用連續(xù)函數(shù)替換符號函數(shù),可削弱外界不確定性干擾的影響,保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速響應(yīng)性,減弱輸出抖振,并保證了AGV泊車機(jī)器人可以快速穩(wěn)定精確的跟蹤參考軌跡。最后,通過仿真驗證文中所述控制策略的有效性。研究成果為AGV泊車機(jī)器人未來的發(fā)展與研究提供一定參考依據(jù)。

1 AGV泊車機(jī)器人結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)模型

AGV泊車機(jī)器人的結(jié)構(gòu)與運動存在著密切的關(guān)系,機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計是否合理直接決定著AGV泊車機(jī)器人是否能夠正常運動,進(jìn)一步影響泊車機(jī)器人的軌跡跟蹤精度。在建立運動學(xué)模型之前很有必要了解AGV泊車機(jī)器人的機(jī)械結(jié)構(gòu)。

1.1 六輪式AGV泊車機(jī)器人結(jié)構(gòu)

AGV輪式泊車機(jī)器人的整體結(jié)構(gòu)如圖1所示,主要由上盤和下盤組成。下盤是泊車機(jī)器人的核心部分,直接影響著泊車機(jī)器人能否正常完成泊車任務(wù)。針對其運輸對象的質(zhì)量和體積均較大,其運輸環(huán)境的特殊情況,AGV輪式泊車機(jī)器人采用六輪式的配置方案。

圖1 AGV泊車機(jī)器人整體結(jié)構(gòu)圖

1.2 AGV泊車機(jī)器人的運動學(xué)模型

在建立泊車機(jī)器人車輪運動與AGV機(jī)器人本體中心運動之間的關(guān)系前,做出如下假設(shè)：①AGV泊車機(jī)器人的所有車輪與地面之間的接觸運動只有滾動而無滑動;②把AGV泊車機(jī)器人看作剛體;③AGV泊車機(jī)器人質(zhì)心與結(jié)構(gòu)幾何中心重合;④AGV泊車機(jī)器人在水平地面上運動。

AGV輪式泊車機(jī)器人采用六輪式行駛方案。即是位于車體中心線的兩個驅(qū)動輪和位于車體前后方向的4個萬向支承輪。當(dāng)驅(qū)動輪受到電機(jī)驅(qū)動運動時,萬向支承輪也跟著運動。AGV泊車機(jī)器人的結(jié)構(gòu)尺寸及相關(guān)運動參數(shù)如圖2所示。

XHY為泊車機(jī)器人坐標(biāo)系(以下稱為B坐標(biāo)系);H為車體結(jié)構(gòu)的幾何中心;O1、O2分別為前驅(qū)動輪、后驅(qū)動輪的中心;O3～O6分別為4個萬向支承輪的中心;ω1～ω6為各車輪繞自身輪軸的旋轉(zhuǎn)角速度;vp3、vp4、vp5、vp6分別為4個萬向支承輪的橫向移動速度;d1為幾何中心H到車輪中心的距離;d2為幾何中心H到車軸的距離;車體中心H的速度u=[vX;vY;ωH];ωH為幾何中心H轉(zhuǎn)動角速度

1.2.1 驅(qū)動輪的運動分析

驅(qū)動輪受到驅(qū)動電機(jī)的驅(qū)動后只能進(jìn)行前后運動,其運動學(xué)方程為

v1=ω1R

(1)

v2=ω2R

(2)

式中：v1、v2分別為前后兩個驅(qū)動輪沿著X方向移動的速度;R為車輪半徑;ω1、ω2為各車輪繞自身輪軸的旋轉(zhuǎn)角速度。

由于兩個驅(qū)動輪是布置在AGV泊車機(jī)器人的車體中心線上,可得

v1=v2=vX

(3)

式(3)中：vX為幾何中心H沿X方向速度。

綜合以上各式可得兩個前后驅(qū)動輪的旋轉(zhuǎn)角速度與車體中心H的速度之間的關(guān)系為

(4)

式(4)中：vY為幾何中心H沿Y方向速度。

1.2.2 萬向支承輪的運動分析

萬向支承輪有兩種運動狀態(tài)：一是繞自身車軸的旋轉(zhuǎn)運動;二是橫向移動。在AGV泊車機(jī)器人坐標(biāo)系XHY下,以萬向支承輪3為研究對象,由幾何關(guān)系和運動關(guān)系可得

v3X=ω3R

(5)

v3Y=vp3

(6)

v3X=vX-ωHd1

(7)

v3Y=vY+ωHd2

(8)

式中：v3X、v3Y分別為萬向輪3沿X、Y方向速度。

由式(5)～式(8)可得萬向支承輪3的旋轉(zhuǎn)角速度ω3、橫向移動速度vp3分別為

(9)

(10)

同理,分析其余3個全向支承輪的旋轉(zhuǎn)角速度和橫向移動速度,可得4個萬向支承輪的速度與車體中心速度之間的關(guān)系為

(11)

(12)

1.2.3 AGV泊車機(jī)器人整體運動分析

綜合式(4)、式(11)、式(12)可得AGV泊車機(jī)器人的整體運動關(guān)系為

(13)

(14)

由式(13)可知,前后方向?qū)?yīng)的車輪旋轉(zhuǎn)角速度是相等的,且車體中心線方向的兩驅(qū)動輪的速度均等于車體中心的速度,故可將六輪式的AGV泊車機(jī)器人簡化為兩輪式的AGV泊車機(jī)器人,以便研究AGV泊車機(jī)器人的軌跡跟蹤問題。軌跡跟蹤運動模型如圖3所示。

xoy為全局坐標(biāo)系(以下簡稱A坐標(biāo)系);XHY為泊車機(jī)器人坐標(biāo)系(以下簡稱B坐標(biāo)系);θ為車體中心線與全局坐標(biāo)系中x軸之間的夾角(航向角);(x,y,θ)為AGV泊車機(jī)器人在全局坐標(biāo)系下的實際位姿;(xr,yr,θr)為AGV泊車機(jī)器人的理想位姿;(Xe,Ye,θe)為泊車機(jī)器人坐標(biāo)系下的軌跡跟蹤偏差;v、ω分別為車體中心線速度和角速度

假設(shè)汽車無側(cè)滑運動,則有

(15)

由于假設(shè)所有車輪無縱向打滑,故AGV泊車機(jī)器人在全局坐標(biāo)系下的運動學(xué)模型為

(16)

令L=Cq,其中,C為變換矩陣,q=(v,ω)T為AGV泊車機(jī)器人的實際速度向量。

1.3 AGV泊車機(jī)器人軌跡跟蹤的數(shù)學(xué)模型

在圖3中,對于任意一點p在A坐標(biāo)系與B坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換關(guān)系為

(17)

(18)

ApBo=(x,y,θ)T

(19)

結(jié)合式(17)～式(19),將理想位姿(xr,yr,θr)代入式(17)中可得

(20)

由式(20)可得,AGV泊車機(jī)器人的軌跡跟蹤偏差的數(shù)學(xué)模型為

(21)

對式(21)求導(dǎo)可得AGV泊車機(jī)器人軌跡跟蹤的狀態(tài)方程為

(22)

2 基于Lyapunov函數(shù)的快速平穩(wěn)趨近律的滑模軌跡跟蹤控制器設(shè)計

根據(jù)Lyapunov函數(shù)直接法判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件,構(gòu)造Lyapunov函數(shù)使其為正定函數(shù)(PD),對構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)求導(dǎo),選取合適的θe使所構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)是負(fù)定函數(shù)(ND),則能使系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定,即據(jù)此原理設(shè)計滑模切換函數(shù)。在傳統(tǒng)的冪次趨近律的基礎(chǔ)上增加一指數(shù)項,構(gòu)成快速趨近律,同時將快速趨近律中的符號函數(shù)替換為連續(xù)函數(shù),得到快速平穩(wěn)的滑模趨近過程,使AGV泊車機(jī)器人運動時能快速穩(wěn)定地從任意偏差位姿狀態(tài)到達(dá)滑模面。

2.1 基于Lyapunov函數(shù)的滑模切換面設(shè)計

尋找合適的速度控制律q=(v,ω)T使位姿偏差均趨近于零是AGV泊車機(jī)器人軌跡跟蹤的本質(zhì)。式(16)的運動學(xué)模型表達(dá)的是一個多輸入多輸出的非線性系統(tǒng),在利用滑模變結(jié)構(gòu)控制多輸入多輸出系統(tǒng)時,難點在于滑模切換面的設(shè)計,故此采用Lyapunov函數(shù)直接法設(shè)計滑模切換面,可以解決多輸入多輸出非線性系統(tǒng)滑模切換面設(shè)計困難的難題。

引理[15]：若?x∈R且x有界,則f(x)=xsin(arctanx)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時,f(x)=0成立。在該引理的基礎(chǔ)上,采用Lyapunov函數(shù)設(shè)計滑模切換面。

當(dāng)AGV泊車機(jī)器人在運動過程中X軸方向的位置偏差為零時(即Xe=0時),令θe=-arctan(vrYe),選擇Lyapunov函數(shù)可表示為

(23)

對式(23)求導(dǎo),有

(24)

(25)

根據(jù)式(25)設(shè)計滑模控制器使s1→0,且s2→0,以實現(xiàn)AGV泊車機(jī)器人在運動過程中X軸方向的位移誤差收斂到零(即Xe→0),且航向角偏差θe收斂到-arctanvrYe,最終達(dá)到Y(jié)軸方向的位移偏差Ye和方向偏差θe均收斂到零的目標(biāo),從而實現(xiàn)AGV泊車機(jī)器人較為精確地跟蹤給定參考軌跡(期望軌跡)。

2.2 基于改進(jìn)的冪次趨近律的速度控制律設(shè)計

滑模運動主要包括正常運動,滑動模態(tài),穩(wěn)態(tài)誤差3個過程,正常運動指的是系統(tǒng)在有限的時間內(nèi),從任意初始狀態(tài)到達(dá)滑模面這一過程;滑動模態(tài)指的是滑模面內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)的運動;穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)趨于穩(wěn)態(tài)后出現(xiàn)的等幅振動現(xiàn)象。為削弱振蕩,常采用趨近律的方法。一般趨近律的表達(dá)式為

(26)

(1)當(dāng)f(si)=0時,得到等速趨近律為

(27)

(2)當(dāng)f(si)=η2si時,得到指數(shù)趨近律為

(28)

式(28)中：η1、η2均為正數(shù)。

(3)當(dāng)η=η3|si|n,得到冪次趨近律為

(29)

式(29)中：η3>0;0

以上趨近律各有特點。等速趨近律的性能取決于趨近系數(shù)η,η越大趨近速率越大,但系統(tǒng)產(chǎn)生的抖振也就越劇烈,η越小趨近速率越慢。指數(shù)趨近律相對等速趨近律趨近時間更短,運動點能夠較為快速地到達(dá)切換面si=0,但由于等速項仍然存在,故抖振現(xiàn)象減弱效果不明顯。冪次趨近律相對等速、指數(shù)趨近律抖振現(xiàn)象明顯減弱,能夠平滑地過度到滑模切換面,但趨近時間增加,趨近過程變得緩慢。

在滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)中,既希望系統(tǒng)快速到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài),又希望系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)后出現(xiàn)的等幅振蕩小?；诖?在冪次趨近律的基礎(chǔ)上增加一指數(shù)項并用連續(xù)函數(shù)代替符號函數(shù)得到改進(jìn)的快速平穩(wěn)冪次趨近律。

(30)

證明如下。

(31)

(32)

由式(32)可得AGV泊車機(jī)器人從任意初始位置s=s0>0趨近到s=0的時間t為

(33)

由式(33)可知,系統(tǒng)運動點能在有限的時間內(nèi)趨近到滑模面s=0。令β=arctan(vrYe),對式(25)求導(dǎo)可得

(34)

式(34)中：β為關(guān)于vr、Ye的函數(shù)。

聯(lián)立式(30)、(34)可解得AGV泊車機(jī)器人軌跡跟蹤的速度控制律u為

(35)

3 仿真分析

為了驗證提出的基于Lyapunov直接法的快速平穩(wěn)冪次趨近律AGV滑模軌跡跟蹤控制算法的準(zhǔn)確性、快速性和平穩(wěn)性,分別以直線和圓弧軌跡為跟蹤對象,采用MATLAB進(jìn)行仿真試驗。

3.1 直線軌跡跟蹤仿真

圖4 直線軌跡跟蹤曲線

圖4為直線軌跡跟蹤曲線,由于參考軌跡與實際軌跡設(shè)定不同的初始位姿,導(dǎo)致AGV泊車機(jī)器人運行初期,實際軌跡與理想軌跡存在較大偏差,但很快便能高精度地跟蹤參考軌跡,由此驗證了AGV泊車機(jī)器人運動學(xué)模型的正確性。圖5為AGV泊車機(jī)器人運行過程中,位姿偏差隨時間的變化情況。從圖5中可以看出,在0～1 s,縱坐標(biāo)Y方向的位移偏差Ye的振蕩最大,橫坐標(biāo)X方向的位移偏差Xe的振蕩和AGV泊車機(jī)器人航向角偏差θe相對較小,三者中振蕩最小的是Xe,主要原因在于設(shè)計滑模切換面時首先使Xe=0,據(jù)此構(gòu)造關(guān)于Ye的合適Lyapunov函數(shù),根據(jù)Lyapunov直接法穩(wěn)定性的判定條件,選擇了關(guān)于Xe、θe的滑模切換函數(shù),通過控制滑模切換面s趨于s=0,控制Xe→0,θe→0,再間接控制Ye→0。在這個過程中存在誤差累積,故Ye振蕩最大、θe次之、Xe的振蕩最小。1 s后,位姿誤差均趨于0,且?guī)缀醪淮嬖诙墩瘳F(xiàn)象。由此驗證了提出的基于快速平穩(wěn)趨近律的滑模軌跡跟蹤控制算法的先進(jìn)性、準(zhǔn)確性、快速性。

圖5 位姿誤差隨時間的變化曲線

圖6、圖7分別為AGV泊車機(jī)器人的線速度、角速度隨時間的變化關(guān)系。由圖6、圖7可知,仿真線速度和仿真角速度由于初始值設(shè)置的不同,在1 s之前波動較大,這是在快速趨于期望值的表現(xiàn),屬于正常情況。AGV泊車機(jī)器人在追蹤初始期望位姿的過程中,初始角速度的大小需要從正值開始減小,直到無限趨近于零,這個過程中慣性作用較大,且方向角也時刻在變化,故角速度存在的振蕩現(xiàn)象較線速度嚴(yán)重,但在1 s后均與參考值重合,且無振蕩,穩(wěn)定性能好。圖4～圖7驗證了本文設(shè)計的軌跡跟蹤控制器能快速平穩(wěn)地跟蹤直線參考軌跡。

圖6 速度隨時間的變化曲線

圖7 角速度隨時間的變化曲線

3.2 圓弧軌跡跟蹤

圖8 圓形軌跡跟蹤曲線

圖8為AGV泊車機(jī)器人跟蹤圓形軌跡時的跟蹤曲線,可以看出,圓形跟蹤效果良好,實際初始位姿和參考初始位姿的不同導(dǎo)致了較大的初始偏差。圖9直觀地反映了AGV泊車機(jī)器人的位置與姿態(tài)在跟蹤過程中存在的偏差,從圖中可以看出航向角偏差θe振蕩現(xiàn)象最明顯,而Xe、Ye幾乎不存在振蕩現(xiàn)象;同時Xe、Ye在3 s后穩(wěn)定于零,θe的收斂速度相對于Xe、Ye顯得較為緩慢,主要原因在于AGV泊車機(jī)器人在圓形軌跡跟蹤過程中,航向角θ時刻都在變化,且參考初始航向角和實際初始航向角設(shè)置的偏差較大,但θe在4 s后也能穩(wěn)定地收斂于零。

圖9 位姿誤差隨時間的變化曲線

圖10、圖11分別反映了AGV泊車機(jī)器人在圓形軌跡跟蹤過程中的速度、角速度隨時間的變化關(guān)系。可以看出,實際線速度和實際角速度均能快速平穩(wěn)地收斂到參考速度和參考角速度。圖8～圖11表明,所提出的基于快速平穩(wěn)冪次趨近律的滑模軌跡跟蹤控制算法在圓形軌跡跟蹤過程中的準(zhǔn)確性、快速性、平穩(wěn)性與先進(jìn)性。

圖10 速度隨時間的變化曲線

圖11 角速度隨時間的變化曲線

4 結(jié)論

為使AGV輪式泊車機(jī)器人能快速平穩(wěn)地跟蹤期望軌跡,提出基于快速平穩(wěn)冪次趨近律的滑模軌跡跟蹤控制策略。首先建立AGV泊車機(jī)器人的三維模型,根據(jù)三維模型進(jìn)行運動分析,得到簡化模型的依據(jù),推導(dǎo)出簡化后的運動學(xué)模型,在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)軌跡跟蹤偏差的狀態(tài)空間方程。然后選取合適的Lyapunov函數(shù),在驗證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性后設(shè)計滑模切換面,并使滑模切換面s→0,以實現(xiàn)X軸方向的位置偏差Xe和航向角偏差θe在AGV泊車機(jī)器人的運行過程中均收斂到零,從而間接實現(xiàn)Ye在AGV運行過程中能夠在有限的時間內(nèi)收斂到零。針對傳統(tǒng)趨近律難以同時滿足滑模控制趨近過程中的快速性與系統(tǒng)抖振弱的問題,在冪次趨近律的基礎(chǔ)上添加了指數(shù)項,并將冪次項的符號函數(shù)替換為連續(xù)函數(shù),得到快速平穩(wěn)的冪指函數(shù)趨近律,根據(jù)該滑模趨近律設(shè)計了AGV泊車機(jī)器人軌跡跟蹤的速度控制律,實現(xiàn)AGV泊車機(jī)器人既能快速地跟蹤給定的參考軌跡,又能使系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象得到較大的減弱。最后,通過MATLAB分別對直線和圓形兩種參考軌跡進(jìn)行仿真試驗。仿真結(jié)果驗證了所提算法的準(zhǔn)確性、快速性和平穩(wěn)性及先進(jìn)性。該算法為AGV軌跡跟蹤控制策略的進(jìn)一步研究提供一定的參考與借鑒。