基于壓縮感知的被動雷達導引頭信源數估計方法

王 資,李檳檳,時滿紅,趙宏濤,江 平

(空軍預警學院, 湖北 武漢 430019)

0 引 言

被動雷達導引頭搭載于反輻射導彈或反輻射無人機上,以雷達輻射的電磁波為制導信息,導引載體命中目標雷達。隨著雷達反摧毀技術的發展,在雷達附近設置有源誘餌,利用傳統被動雷達導引頭采用比幅法或相位干涉儀法只能對單個目標進行測向和跟蹤,且分辨角較大的缺陷,誘偏反輻射武器,使其失效[1]。因此,被動雷達導引頭需要對多個目標進行分辨與測向,可采用陣列超分辨測向技術——空間譜估計測向[2]。但經典的空間譜超分辨算法,需要多快拍采樣積累數據量使協方差矩陣滿足統計特性,而被動雷達導引頭所處的高機動平臺,對測向實時性要求高,多快拍累積不現實[3]。另一方面,為更好地保護雷達,誘餌和雷達信號采用相參技術,但時序設置不一致且不規律,形成了不完全重合信號[4],若多快拍采樣極易導致采樣區間內信號非平穩,致使測向困難。因此,單快拍測向很有必要。

目前,單快拍測向方法的研究主要集中在空間平滑類算法[5]、偽協方差矩陣重構算法[6]、壓縮感知算法[7]等。這些算法均假設信源數已知,而實際中,信源數往往未知,若信源數估計不準,測向算法會失效。

因此,準確估計信源數是測向的前提。關于信源數的估計,早期的方法是求出接收數據協方差矩陣的特征值,通過假設檢驗估算出信號子空間對應的較大特征值的個數,但“較大”的判斷帶有很強的主觀性。經典的方法是基于信息論準則,如AIC準則[8]、最小描述長度(MDL)準則[9]等估計特征值個數,避免了假設檢驗的弊端;蓋氏圓(GDE)方法[10]則依據蓋氏圓盤定理將信號蓋氏圓和噪聲蓋氏圓分離開,無需知道具體特征值數值就能估計信源數,可適用于色噪聲環境。但這些方法都是基于子空間,需要多快拍采樣,在單快拍的情況下估計性能大幅下降甚至失效。

針對單快拍估計的技術難題,可以借鑒近年來在圖像處理領域提出的壓縮感知理論[11],其能利用少量的壓縮測量數據進行信號的重構,具備單快拍采樣的潛力。文獻[12]中,建立了壓縮感知與陣列信號處理的聯系。基于此,一些學者研究了在壓縮感知理論框架下的信源數估計問題。文獻[13]基于壓縮感知稀疏重構的正交匹配跟蹤算法,提出了一種變步長搜索的信源數估計方法,運算量較小,實時性較高,但在單快拍下性能欠佳。文獻[14]基于壓縮感知稀疏重構的基追蹤算法,提出了l1稀疏正則化的估計算法,能在少快拍下精確估計信源數,但采用凸優化求解,運算量較大,實時性難以保證。文獻[15]基于壓縮感知稀疏重構的稀疏度自適應匹配追蹤算法進行改進,設置迭代終止條件,但殘差閾值的設定存在主觀性。

為解決上述問題,本文結合被動雷達導引頭的測向任務及對抗場景,研究基于壓縮感知的單快拍信源數估計方法。將子空間類算法與壓縮感知算法相結合,提出了一種改進的正交匹配跟蹤算法,推導殘差的變化規律,并構造目標函數估計信源數。本文方法在單快拍、少陣元、相干信號的條件下具有良好的性能。

1 陣列測向模型

考慮到被動雷達導引頭對目標雷達進行定位,需要方位、俯仰二維測向,可采用圖1所示的十字型陣列天線。該陣列位于X-Y平面,由分別位于X軸和Y軸的均勻線陣垂直交叉構成。位于X軸的陣元個數為M1+M2+1,位于Y軸的陣元個數為N1+N2+1。第j個信源Sj入射到天線陣的方位角為θj、俯仰角為φj。其中,方位角表示入射信號在X-Z平面的投影與X軸的夾角,俯仰角表示入射信號與X-Z平面的夾角。

圖1 陣列天線測向模型Fig.1 Spatial direction finding model for array antennas

按照先X軸陣元接收信號后Y軸陣元接收信號排列,則整個陣列接收信號可以表示為

r(t)=[X-M2(t),…,X0(t),…,XM1(t),

Y-N2(t),…,Y0(t),…,YN1(t)]T=

AS(t)+N(t)

(1)

式中:S(t)=[s1(t),s2(t),…,sp(t)]T,為p個入射信號向量;N(t)為噪聲向量;A為陣列流型矩陣,可表示為

A=[α(θ1φ1),α(θ2,φ2),…,α(θp,φp)]

(2)

式中:α(θj,φj)為導向矢量,可表示為

α(θj,φj)=[Xα-M2(θj,φj),…,XαM1(θj,φj),

Yα-N2(θj,φj),…,YαN1(θj,φj)]T

(3)

以0號陣元為參考,X軸和Y軸上第i個陣元的坐標分別為(xi,0,0)和(0,yi,0),它們與參考陣元的波程差分別為

(4)

式中:c為電磁波傳播速度。因此,式(3)中各元素可表示為

(5)

式中:ω為入射信號的角頻率。由此,建立起了X軸和Y軸各陣元接收信號與各陣元位置坐標以及各信源入射的方位角、俯仰角之間的關系。

2 基于壓縮感知的信源數估計方法

2.1 壓縮感知基本理論

壓縮感知理論表明:當原始信號具有可壓縮性或稀疏性時,通過少量采樣數據就可以精確重構出原始信號[11]。若原始信號本身不具有稀疏性,可通過變換具備稀疏性。設原始信號x=[x1,x2,…,xn]T可用n×n維稀疏基矩陣ψ=[ψ1,ψ2,…,ψn]進行線性表示,即x=ψs,其中s是一個具有稀疏度為k(k<

y=φx=φψs=Φs

(6)

式中:Φ=φψ為m×p維感知矩陣。如果Φ滿足有限等距性質[11]等稀疏重構條件,就可以由采樣信號y和感知矩陣Φ以極高的概率重構出稀疏信號s。s的稀疏重構即求解l0范數約束優化問題。

(7)

再由x=ψs即可恢復出原始信號x,實現了低維的采樣信號重構出高維的原始信號。

2.2 陣列測向模型的稀疏表示

壓縮感知理論可以應用于陣列測向[12],需要對陣列測向模型進行改寫。將待測空域網格化,劃分成一系列離散的角度,如空域的方位角劃分成Ns1個網格,空域的俯仰角劃分成Ns2個網格。當這些網格點足夠密集時,能包含大量來波信號,而真實的來波信號只會出現在極少數的網格點上,因此在空域中信號本身就具備稀疏性。若將方位角和俯仰角聯合網格化進行二維測向,無論采用貪婪算法還是凸優化算法重構,計算量正比于總網格數甚至是總網格數的三次方[16],運算量大,難以實時處理。為解決問題,可以不直接劃分空域的方位角、俯仰角,而將式(4)中的cosθjcosφj和sinθjcosφj轉化成空間角βj和γj,有

(8)

(9)

于是X軸陣列測向模型的稀疏表示為

rX(t)=[X-M2(t),…,X0(t),…,XM1(t)]T=

(10)

2.3 降階及解相干處理

借鑒子空間算法中矩陣重構類方法,提取多快拍數據協方差矩陣最大特征值對應的特征向量作為待重構信號。在式(10)的基礎上,先不進行稀疏表示,則X軸陣元接收信號的協方差矩陣RX為

(11)

式中:AX=[α(β1),α(β2),…,α(βp)]為非稀疏表示時X軸陣列導向矢量;RS=E[S(t)SH(t)]為信號協方差矩陣;Rn為噪聲協方差矩陣。對RX進行特征分解,可得

(12)

式中:λi、ei為信號子空間特征值和特征向量;λj、ej為噪聲子空間特征值和特征向量。當噪聲協方差矩陣為理想白噪聲時,有[18]

(13)

式中:K為信號協方差的秩;bn為en的線性組合因子。K的確定需要知道信源個數p以及信源之間的相關性,但兩者均未知,所以K無法確定。考慮最極端的情況,當各信源完全相關,即K=1時,en只能取e1,則有

(14)

(15)

式中:V(t)為將e1進行稀疏表示后的系統誤差。至此,將e1作為處理對象,既能實現降階又能解相干。

2.4 改進的正交匹配追蹤算法估計信源數

圖2 OMP算法基本流程圖Fig.2 Basic flowchart of OMP algorithm

其基本思想是每一次迭代,從過完備字典中選出一個與原始信號最匹配的原子形成支撐集F,通過該支撐集重構信號并計算出與原始信號的殘差r,通過該殘差選擇更匹配的原子并更新支撐集,經過反復迭代重構出原始信號。這種每次只選出一個原子的做法在被動雷達導引頭測向場景中是可行的,因為先要對接收信號進行雷達庫比對,匹配成功后才開始測向,所以符合要求的信源數不會太多。若每次迭代選擇多個原子,則最終累加后很可能超過信源數導致重構失敗。但另一方面,迭代的次數直接和信源個數相關,當信源數未知時,需要設計合適的迭代終止條件。可采用稀疏度自適應匹配追蹤(SAMP)算法[20],將殘差能量減小到一個閾值設置為迭代終止條件,重構信號的同時估計出信源數。SAMP算法與本節算法及其他算法的性能將在第3節對比分析。

本節提出的算法在OMP基礎上改進,記為OMP-Number,研究殘差能量的變化規律,為信源數估計提供依據。根據圖2迭代算法,可得第k次迭代殘差rk和第k+1次迭代殘差rk+1的關系為

(16)

(17)

(18)

式中:sup表示上確界。由式(17),可將式(16)改寫為

(19)

(20)

令Γ(η)=infη(rk)>0,inf表示下確界,代入式(19),可得

(21)

(22)

本方法的迭代次數是能估計的最大信源數,為X軸陣元數減1,即M1+M2,這對于導引頭小型天線陣而言是可行的,不會增加過多運算負擔。另一方面,在噪聲的影響下,若迭代次數過多,殘差的能量可能不降反增,這時由式(22)估計出的信源數會明顯偏大,為預防這一問題,提高算法穩健性,一經發現殘差能量變大,應立即退出迭代。

2.5 方法步驟

綜上所述,本文提出的OMP-Number方法流程如圖3所示。

圖3 OMP-Number方法流程圖Fig.3 Flowchart of OMP-number algorithm

OMP算法需要信源數已知作為前提條件,本方法在OMP算法的基礎上,做出了三點改進,以實現信源數估計。一是以接收數據協方差矩陣的最大特征值對應的特征向量為處理對象,實現降階和解相干。二是推導出式(22)作為目標函數估計信源數。三是將子空間算法和壓縮感知算法相結合,可實現少快拍甚至單快拍下的信源數估計。

3 仿真結果分析

將本文改進的算法OMP-Number與已有算法:稀疏度自適應匹配追蹤(SAMP)、最小描述長度(MDL)、蓋氏圓(GDE)進行信源數估計性能比較。SAMP基于壓縮感知,對相干信號不敏感。MDL和GDE基于子空間,需要專門的解相干處理,故在估計信源數之前進行前后向空間平滑(FBSS)處理,綜合后分別為MDL-FBSS和GDE-FBSS算法。

仿真條件:p=2個遠場窄帶相干信號入射,載頻均為3 GHz,分別為雷達信源和誘餌信源;兩個信源的方位角、俯仰角分別為θ1=31°,φ1=61°和θ1=41°,φ1=71°;導引頭天線陣軸相鄰陣元間距為信號波長的一半。若非專門說明,采樣均為單快拍,信源功率相同,噪聲為高斯白噪聲,信號與噪聲獨立。信源數估計成功率定義為μ=m/N×100%,其中,N為蒙特卡洛實驗次數,設為500次,m為信源數估計成功次數。即相同條件下的信源數估計實驗重復500次,統計估計成功次數。

SAMP算法,由于本場景為被動雷達導引頭測向,能同時匹配雷達庫的信源數不會太多,可將迭代步長設為1。但迭代終止時殘差能量的閾值設定取決于噪聲,在理想無噪情況下一般設為10-6,有噪情況下需測試設定。基于上述仿真條件,測試可得殘差能量閾值、估計成功率、信噪比(SNR)三者的數值關系如表1所示。

表1 SAMP算法殘差能量閾值設定在不同信噪比下的估計成功率Tab.1 The estimation sucess rate of SAMP algorithm in residual energy threshold setting under different SNR %

因此,將SAMP算法殘差能量閾值設定為10-1。

3.1 實驗一:不同陣元數下,各算法性能對比

設置信噪比均為SNR=20 dB,單快拍下各算法的信源數估計成功率隨陣元數的變化如圖4所示。

圖4 不同陣元數下各算法性能對比Fig.4 Performance of various algorithm under different number of array elements

現象:除MDL-FBSS外,各算法的估計成功率均隨陣元數的增多而升高。OMP-Number在陣元數為6時就能接近100%地估計準確,SAMP和GDE-FBSS需要大量的陣元數才能估計準確,MDL-FBSS則不能適應單快拍條件。因此,采用OMP-Number算法估計信源數更能滿足被動雷達導引頭空間尺寸受限的應用場景。

原因分析:對于單快拍采樣,樣本就是各陣元接收信號的單次采樣。陣元數越多,樣本數就越多,參數估計就會更準確。因此各算法的估計成功率均隨陣元數的增多而升高。OMP-Number和SAMP同屬壓縮感知稀疏重構類算法,要實現信號的精確重構,有最小采樣數要求。但本文算法的目標不在于精確重構原始信號(精確重構也沒必要采用貪婪算法,可采用凸優化等算法),而是通過處理少量的壓縮采樣數據實現信源數的準確估計,所以陣元數可突破最小采樣數的限制。但SAMP仍需大量陣元數是因為其迭代終止條件對噪聲很敏感,本次實驗是在SNR=20 dB條件下,對于SAMP而言還是偏低了,接下來會有成功率隨信噪比變化的實驗。而基于子空間的MDL-FBSS和GDE-FBSS需要子空間分解后進行數理統計,單快拍下難以保證數據量的有效積累,所以性能較差。

3.2 實驗二:不同信噪比下,各算法性能對比

設置陣元數為6,單快拍下各算法的信源數估計成功率隨信噪比的變化如圖5所示。

圖5 不同信噪比下各算法性能對比Fig.5 Performance of various algorithms under different SNR

現象:OMP-Number和SAMP的估計成功率均隨信噪比的提升而升高。OMP-Number在SNR=10 dB時,成功率超過90%;SAMP在SNR=50 dB時,成功率仍未達到80%。GDE-FBSS在低信噪比時估計成功率高于高信噪比,出現反常。

原因分析:當信源數較少時,GDE-FBSS有可能誤估計成功,但其在低信噪比時成功率不足70%、高信噪比時成功率為0,說明該算法并不可靠,在本文研究的場景(少量陣元、單快拍)下失效。OMP-Number和SAMP有效,但需要較高的信噪比。SAMP明顯對噪聲更敏感,其在噪聲環境下無法收斂,從而引入錯誤的原子導致算法失效。OMP-Number所需信噪比遠小于SAMP,且無需人為設定殘差能量的閾值,但在SNR=0 dB甚至更低時性能不佳,這是少陣元和單快拍的極端條件所致。

3.3 實驗三:不同快拍數下,各算法性能對比

陣元數為6,信噪比SNR=10 dB時,各算法的信源數估計成功率隨快拍數的變化如圖6所示。

圖6 不同快拍數下各算法性能對比Fig.6 Performance of various algorithms under different number of snapshots

現象:隨著快拍數的增加,各算法的估計成功率均有提高。特別是GDE-FBSS和MDL-FBSS,成功率隨快拍數增多而大幅提升。OMP-Number在單快拍時成功率已較高,多快拍時性能更佳。SAMP成功率也能隨快拍數增多而提高,但到60%出現瓶頸。

原因分析:GDE-FBSS和MDL-FBSS基于子空間,需要多快拍保證數據有足夠的積累才能獲得較好估計性能。SAMP還是對噪聲太敏感,在陣元數一定的情況下,需要較高的信噪比甚至無噪環境才能估計準確,若信噪比達不到要求,只提高快拍數,則無法突破估計成功率瓶頸。

3.4 實驗四:信源不同角度間隔下,各算法性能對比

陣元數為6,信噪比SNR=20 dB,單快拍,設置雷達的方位角、俯仰角分別為θ1=31°,φ1=61°,誘餌的方位角、俯仰角為θ2=31°+δ,φ2=61°+δ,δ為兩信源角度間隔。各算法的信源數估計成功率隨信源角度間隔的變化如圖7所示。

圖7 信源不同角度間隔下各算法性能對比Fig.7 Performance of various algorithms under different angle interval

現象:在本次實驗條件下,GDE-FBSS和MDL-FBSS已完全失效。OMP0Number和SAMP的估計成功率隨信源角度間隔增大而提高,且OMP-Number估計成功率明顯高于SAMP。OMP-Number在信源間隔2°時估計成功率超過90%,在信源間隔7°時估計成功率接近100%。

原因分析:理論上陣元個數越多,測向分辨率越高。但本文提出的算法是基于壓縮感知理論估計信源數,所需采樣數相對較少,因此能在較少陣元數、單快拍、較小角度間隔時具備較高的分辨率。

3.5 實驗五:信源功率不同下,各算法性能對比

在實驗二的基礎上,將各信源的功率設為隨機,得到信源數估計成功率隨信源功率的變化如圖8所示。

圖8 信源不同功率下各算法性能對比Fig.8 Performance of various algorithms under different source power

現象:相比實驗二,OMP-Number和SAMP的性能均有下降,均需要更高的信噪比才能保證估計成功率。

原因分析:信源功率相同時,在一定信噪比下,各信號功率和噪聲功率有確定的關系。而當各信源功率隨機時,雖然各自信噪比確定,但某信源功率可能與另外信源的噪聲接近甚至更小,導致難以檢出。另外,GDE-FBSS的反常現象已在實驗二中分析。

4 結束語

本文提出了一種基于壓縮感知的被動雷達導引頭估計信源數方法,并通過仿真實驗得到驗證。該方法的特點和優勢在于以下四點:

(1)基于壓縮感知稀疏重構理論,破解傳統子空間類算法在單快拍下信源數估計性能不佳的難題。

(2)改進正交匹配追蹤算法,研究殘差的變化規律,并構造目標函數估計信源數,能適應單快拍、少陣元、相干信號的場景。

(3)通過數據協方差矩陣最大特征值對應的特征向量實現降階和解相干處理,子空間算法和壓縮感知算法相結合,可靈活設置單快拍或多快拍采樣,兼容性較好。

(4)該方法雖然在單快拍、陣元數少、信號相干的極端情況時估計成功率較高,但需要較高的信噪比,待后續研究進一步優化。