幾何匹配濾波器及其對間歇采樣轉發干擾的響應特性

梁 璞,汪 敏,蔣彥雯,范紅旗,付 強

(1. 中國人民解放軍96747部隊, 青海 西寧 810007; 2. 國防科技大學 電子科學學院, 湖南 長沙 410073)

0 引 言

間歇采樣轉發干擾[1-2](ISRJ)是一種基于數字射頻存儲[3](DRFM)技術的干擾方式,它通過對截獲到的雷達回波進行間歇轉發,可形成相干的密集假信號,目前已廣泛應用于各類干擾機[4]中,對大時寬信號的脈沖壓縮雷達取得了較好的干擾效果[5]。

主瓣干擾對抗一直以來是雷達領域的難題之一[6-7],間歇采樣轉發干擾就是一種有效的主瓣干擾形式。由于間歇采樣轉發干擾表現出良好的欺騙和壓制特性,為提高雷達自身防護能力,相應的抗干擾技術也同步發展。針對間歇采樣轉發的對抗技術研究取得了一定進展[7],文獻[8-11]采用波形設計的方法來對抗干擾,文獻[12]針對線性調頻(LFM)信號間歇采樣干擾存在多普勒頻移的特點,設計了一種脈內正交的線性調頻-相位編碼波形,該方法能夠在無干擾條件下進行正常檢測目標,并對間歇采樣轉發干擾進行干擾檢測識別與剔除。文獻[13]則通過對回波信號的擴展處理和時頻分析設計自適應帶通濾波器來剔除干擾。但上述方法過于依賴對回波信號的參數估計或時頻分析,實現難度較大且精度難以保證。

幾何代數(GA)[14-15]是結合了代數與幾何優勢的一種數學工具,它將傳統的實空間拓展到幾何代數空間,并給矢量的代數操作賦予了豐富的幾何意義。利用GA工具重新審視矢量的代數操作,有利于根據幾何直觀構造新的信息處理算子,近年來逐漸應用于信號處理[16]、雷達[17-19]、圖像處理[20]和機器人[21]等領域。文獻[18]將幾何代數運用到雷達信號檢測中,構造了以角度為輸出的幾何檢測器,文獻[19]首次提出了利用幾何代數構造匹配濾波器,但是理論分析尚不完善。

本文針對脈沖壓縮雷達對抗切片轉發干擾問題,基于GA視角重新認識匹配濾波[18,22-23]過程,進而設計出以角度為輸出的匹配濾波器(下文稱作幾何匹配濾波器),并從理論上分析了幾何匹配濾波器對ISRJ的響應特性,通過典型參數下的仿真驗證了其對干擾的抑制能力及其對目標檢測性能帶來的提升。

1 復矢量內積的幾何解釋

1.1 GA空間

考慮RN空間中的兩個不相關的矢量{u,v},在GA中,二者的外積定義為

u∧v=|u||v|sinθuve1∧e2

(1)

式中:θuv是u與v之間的夾角;e1、e2為u與v所在平面內的單位正交基,外積的大小為|u||v|sinθuv,方向由u旋向v。e1∧e2表示u與v所在平面內的單位2-矢量或2-Blade,即有方向的單位面元。同理,也可定義三個甚至多個不相關矢量的外積,稱作k-矢量或k-Blade。

在GA中,用零矢量(標量)、矢量、2-矢量和3-矢量分別表示點、有向的線段、平面和空間體。當維數k大于3時,表示k-矢量。因此,GA空間GN內的元素可表示為

(2)

式中:〈M〉k表示GN中的k-矢量;M稱之為多重矢量(Multivector)。顯然,〈GN〉0空間等價于空間RN。

1.2 GA空間下的復矢量內積的幾何解釋

首先定義CN空間與〈G2N〉0空間同構映射T∶CN→〈G2N〉0,用來在二者之間建立等價對應關系。

一般地,對于CN中的復矢量x與單位復矢量e,可構造下述映射T。

x=[Re(x)+iIm(x)]

(3)

e=[Re(e)+iIm(e)]

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

各個數學量的幾何含義如圖1所示。

圖1 各個數學量幾何含義Fig.1 The geometric meanings of various mathematical quantities

基于上述定義,給出如下定理。

(10)

該定理的代數證明如下:

由式(3)、式(4)及內積的定義可得

〈x,e〉=eHx=

[Re(e)-iIm(e)]T[Re(x)+iIm(x)]=

[Re(e)TRe(x)+Im(e)TIm(x)]+

i[Re(e)TIm(x)-Im(e)TRe(x)]

(11)

(12)

2 幾何匹配濾波器

2.1 匹配濾波器的內積形式

為了獲得距離高分辨能力,必須對接收的寬脈沖回波進行匹配濾波處理,使其變成窄脈沖。根據匹配濾波的理論,匹配濾波器的輸出可表示為如下矩陣形式。

y=Xh

(13)

其中,X定義為

(14)

以及

(15)

式中:x[n]為雷達接收信號;h[n]為匹配濾波器脈沖響應(在這里h[n]等于發射信號);y[n]為匹配濾波器輸出;N與M分別為接收信號長度與匹配濾波器脈沖響應長度。由式(14)可知,匹配濾波器的輸出可看作由X的行矢量Xi與h的內積得到,即

y=[〈X0,h〉,〈X1,h〉,…,〈XN+M-1,h〉]T

(16)

2.2 幾何匹配濾波器的構造

根據第一節中的定理X,式(16)中N+M-1次內積操作等價于GA空間內N+M-1次投影操作,并且由式(9),可構造以投影角余角為輸出的新的匹配濾波器,本文稱為幾何匹配濾波器,其輸出為

z=[ψ0,ψ1,…,ψN+M-1]T=

(17)

式中:ψi為行矢量Xi與由h決定的超平面之間的夾角。幾何匹配濾波器的處理流程如圖2所示。

圖2 幾何匹配濾波器流程Fig.2 The process of geometric matched filter

圖3 幾何匹配濾波器幾何含義Fig.3 The geometric meaning of geometric matched filter

3 幾何匹配濾波器對ISRJ的輸出

3.1 間歇采樣轉發干擾

對脈沖壓縮雷達,不失一般性,考慮距離單元數為P的距離波門區間[p1,pP]。則波門內的雷達接收信號sr[n]可表示為

(18)

式中:ap信號回波復幅度;st[n]為發射信號,通常為LFM信號或相位編碼信號等形式。

間歇采樣信號u[n]是一個矩形脈沖串,其離散表達式為

(19)

式中:Ts為離散采樣周期;τJ為轉發時長;TJ為間歇周期;τJ與TJ的比值為占空比,間歇頻率fJ=1/TJ。

當間歇頻率低于信號帶寬時,距離單元pJ處的干擾信號sJ[n]輸出為

sJ[n]=G·sr[n]·δ[n-pJ]u[n]=

sa[kπfJτJ]cos[2πkfJnTs]sr[n-pJ]

(20)

式中:G為干擾機的增益。

3.2 匹配濾波器輸出

假設目標矢量Xr=[sr[0],sr[1],…,sr[M-1]],假定目標回波幅度apr=A,其經匹配濾波器后的輸出可表示為

〈Xr,h〉=MA

(21)

同理,令干擾矢量XJ=[sJ[0],sJ[1],…,sJ[M-1]],干擾信號經匹配濾波器后輸出的主假目標[1]為

(22)

3.3 幾何匹配濾波器輸出

考慮實際情況,當觀測信號含有噪聲w[n]時,假設噪聲為獨立同分布的復高斯白噪聲,方差為2σ2。此時,目標矢量與干擾矢量分別為

Xr=[sr[0]+w[0],sr[1]+w[1],…,

sr[M-1]+w[M-1]]

XJ=[sJ[0]+w[0],sJ[1]+w[1],…,

sJ[M-1]+w[M-1]]

定義脈壓后的信噪比(SNR)ρ1、干噪比(JNR)ρ2分別為

(23)

根據式(17),目標與干擾經幾何匹配濾波器輸出分別為

(24)

(25)

式中:ψJ為主假目標對應角度。下面考慮sinψr的統計特性,由于sinψr是目標矢量Xr的復雜非線性變換,其概率密度的精確解析式難以求得,但當M較大時可得到近似表達式。

由概率論的知識易得,〈Xr,h〉服從復高斯分布,其均值和方差分別為MA、2Mσ2,因此|〈Xr,h〉|服從萊斯分布[24-25],萊斯因子為ρ1,當ρ1很大時,|〈Xr,h〉|近似服從均值為MA,方差為Mσ2的高斯分布。

(26)

因此,其均值與方差分別為

(27)

可見,隨著SNR的增大,sinψr的均值接近于1,方差接近于0,故sinψr依概率收斂于1,ψr趨于π/2。同理,當M很大時,sinψJ同樣近似服從高斯分布,其均值與方差分別為

(28)

通過上述分析并結合圖3可以看出,幾何匹配濾波器的角度輸出是觀測矢量與由發射信號決定的超平面之間的投影余角,因此取值區間恒為0-π/2,且隨著信號能量的增大,觀測矢量與超平面之間的投影余角越大,說明觀測信號越“接近于”發射信號。

通過判斷主假目標輸出角度的大小,可以估計間歇轉發干擾的重要參數占空比。同時,上述分析還可以得出另一個結論:sinψr與文獻[19]中幾何檢測器的檢驗統計量的統計特性是一致的,因此后續的信號檢測可直接利用幾何檢測器實現。

高齡患者的介入手術治療風險及圍手術期的藥物(如雙聯抗血小板)治療風險顯著高于年輕人。本研究的主要目的是探討高齡急性冠狀動脈綜合征(ACS)患者治療策略的選擇依據。

若目標矢量Xr與干擾矢量XJ在時域上有重疊,假設二者在時域上的重疊比例為α,當α≠0時,式(24)中|Xr|因混有干擾信號的能量而變大,因而使ψr減小。為了減小目標與干擾重疊帶來的影響,可采用限制|Xr|幅度的方法來增大ψr的輸出。借鑒恒虛警檢測中門限的求取方法,限幅門限由式(29)給出。

(29)

式中:Th為限幅門限;P為純噪聲條件下|Xr|超過Th的概率。限幅過程的幾何含義如圖4所示。

圖4 目標矢量的限幅Fig.4 The limiting for the target vector

4 仿真實驗

4.1 仿真參數設置

本節以間歇直接轉發干擾為例,利用幾何匹配濾波器的輸出對干擾的采樣占空比進行了估計;同時討論了不同條件下目標及干擾經過幾何匹配濾波器后的輸出特性,并與傳統匹配濾波器進行了對比。假設發射信號為LFM信號。發射信號與干擾信號仿真參數設置如表1、2所示。

表1 LFM信號參數設置Tab.1 The settings of parameter for LFM signal

表2 間歇采樣直接轉發干擾參數設置Tab.2The settings of parameter for ISRJ

4.2 采樣占空比的估計

通過3.3節的分析,可通過對主假目標輸出角度反向求取其正弦值的平方來對間歇采樣轉發干擾的占空比τJ/TJ進行估計,圖5給出了不同JNR下,利用幾何匹配濾波器估計占空比的均方誤差,蒙特卡洛次數為100次。

圖5 JNR與估計均方誤差的關系Fig.5 The relationship between JNR and estimated mean square error

從圖5可以看出,隨著JNR的增大,占空比的估計誤差減小,當JNR達到26 dB時,均方誤差接近于0。因此,利用幾何匹配濾波器可以對采樣占空比進行有效估計,且隨著干擾能量的增大,估計誤差越來越小。占空比參數的估計可用于抗干擾雷達波形及匹配濾波器優化[8],為抑制間歇采樣轉發干擾提供重要的先驗知識。

4.3 干擾與目標的輸出特性對比

文獻[20]給出了當目標與干擾在時域上不重疊時,即目標與干擾相距大于1.5 km(本文參數下)時匹配濾波器與幾何匹配濾波器對目標與干擾的輸出結果。因此,本節重點討論目標與干擾在時域上重疊的情況。

圖6 目標與干擾相距0.15 km時匹配濾波器及限幅前后幾何匹配濾波器輸出Fig.6 The output of matched filter and geometric matched filter before and after the limiting process when the distance between the target and interference is 0.15 kilometers

定義主假目標與目標的輸出幅度比改善因子為Q,即

(30)

由圖6可以看出,若對幾何匹配濾波器的輸出不進行限幅,改善因子幾乎為0,而限幅操作后,改善因子約為5 dB。可見,限幅操作可改善由干擾帶來的目標輸出角度減小的情況。

表3給出了目標與干擾相距0.15 km時,不同占空比與間歇頻率下幾何匹配濾波器(限幅后)的改善因子。

表3 不同占空比與間歇頻率下的改善因子Tab.3 The improvement factors under different duty cycles and intermittent frequencies

表3表明,在不同的占空比以及轉發頻率下,幾何匹配濾波器的輸出均壓縮了目標與假目標之間的相對大小,這對后續的目標檢測將帶來一定的增益。為了探究幾何匹配濾波器對目標檢測過程的影響,圖7給出了不同SNR及JNR下,分別對匹配濾波器及幾何匹配濾波器的目標輸出進行檢測后的結果。假設目標與干擾相距0.15 km,參數設置同表1、2。其中,幾何匹配濾波器輸出由幾何檢測器[19]來進行檢測,匹配濾波器輸出由單元平均恒虛警(CA-CFAR)檢測器進行檢測,虛警概率設為10-5。表4給出了當檢測概率為0.9時,不同的JNR下幾何檢測器帶來的檢測性能的提升。

圖7 不同SNR及JNR下幾何檢測器與CA-CFAR檢測概率Fig.7 The probability of detection for geometric detector and CA-CFAR detector under different SNR and JNR

表4 不同JNR下幾何檢測器檢測增益Tab.4 The gain of detection for geometric detector under different JNR

從圖7以及表4的結果可以看出,由于干擾產生的假目標落在CFAR檢測器的參考單元內,CFAR檢測器的檢測性能會大幅下降[19],幾何匹配濾波器由于壓縮了干擾與目標的相對大小,因此在大動態變化的背景下可更好地對目標進行檢測,且隨著干擾能量的增強,幾何檢測器帶來的檢測增益越來越大。

5 結束語

本文針對脈沖壓縮雷達應用,基于GA的視角重新認識匹配濾波過程,并設計出幾何匹配濾波器。實驗結果表明,利用幾何匹配濾波器可以對間歇采樣轉發干擾的采樣占空比進行有效的估計,估計誤差隨JNR的增大而減小;同時,幾何匹配濾波器由于對數據進行了歸一化及反正弦變換,壓縮了假目標與真實目標之間的相對大小,改善了大動態背景下的目標檢測性能。

在幾何匹配濾波器濾波處理的基礎上,利用估計的干擾先驗優化波形與濾波過程,實現有效干擾對抗,將是下一步的研究重點。