成人計算整數除法的試商策略探查

鞏子坤 余麗麗

【摘? ?要】試商是整數除法的重點和難點。當前教材對試商策略的編排較為繁瑣，未能關注到通性通法，導致學生頻繁出現試商錯誤，而成人在計算整數除法時，總能表現得游刃有余。為探究易于學生掌握且長久有效的試商策略，研究調查了成人計算不同類型的整數除法時采用的試商策略，并與教材編排的試商策略進行比較。結果發現：成人在采用教材中的四條試商策略之余，還生成了教材之外的“五舍試商法”與“直接試商法”；無論“五入”試商是否需要調商，成人均主要采用“五舍試商法”；“四舍”或“五入”試商均需調商時，部分成人一貫采用“直接試商法”。最后，對教材編寫與教師教學提出建議。

【關鍵詞】成人；整數除法；試商；策略

一、研究緣起

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出了在運算教學中要注重運算能力的培養。加、減、乘、除運算是小學數學“數與運算”中最重要的知識與技能，其中，除法雖然是四則運算中最后學習的運算，但從學習的邏輯順序和內容比重上看，它的重要性和難度都不容小覷［1］。現行不同版本教材都以螺旋上升的方式編排有關整數除法的內容，而“除數是兩位數的除法”單元是小學階段整數除法最后安排的教學內容，在此單元中解決整數除法的算法問題，可以促進算法的遷移［2］。除此之外，相較于其他整數除法內容，“除數是兩位數的除法”無法直接利用口訣試商，且需要多次調商，計算過程復雜，學生容易出現算法錯誤。

因此，研究“除數是兩位數的除法”的算法問題具有典型性，其中試商更是學生運算過程中的“重災區”。學生在計算除數是兩位數的除法時，存在試商速度較慢、試商的除數選擇不恰當等問題，使得計算結果容易出現偏差［3］14。原因可能是教材在“除數是兩位數的除法”單元中，過于強調用“四舍五入法”進行試商［4］，且針對不同類型的算式還呈現了“湊五試商法”“同頭無除試商8、9”“除數折半估商5”等多種試商策略，使得認知水平較低的學生掌握的試商策略過于繁雜，無法形成試商技能［5］，最終導致學生在計算整數除法時困難重重。

與之相反，成人在計算整數除法時往往游刃有余。作為整數除法的關鍵運算技能，試商是否被成人完全掌握？成人是否會生成教材之外的試商策略？本研究通過問卷調查，梳理成人計算除數是兩位數和除數是三位數的除法時的試商策略，并與教材呈現的試商策略進行比較，進而為教材編寫與教師教學提出建議。

二、研究設計

（一）研究對象

本研究的調查對象為浙江省某師范大學數學與應用數學專業的在校大學生，也就是本文所說的成人。其中，男生26人，女生37人。

（二）研究方法

1. 問卷法

為探查成人計算整數除法的試商策略，設計了四道計算題。發放問卷63份，回收有效問卷63份。

2. 訪談法

為深入了解成人的試商策略，問卷測試完成之后，挑選若干名被試，針對問卷內容進行一對一訪談，并用錄音筆記錄訪談內容。

（三）問卷設計

問卷共有四個問題，均為整數除法計算題，但類型有所不同，包括“四舍、無調商”“四舍、需調商”“五入、無調商”和“五入、需調商”四種類型，具體內容如下。

考慮到成人心算的能力已經十分成熟，試商的過程可能隱含在成人心算的過程中。因此，要求被試在問卷中不僅要保留筆算過程，還要借助文字或橫式表達出計算的全過程，從而完整地展示被試的試商策略。例如在計算7942÷47時，可以分兩步來表達心算過程：第一步，每一次試商時，腦海里最先想到商幾，是如何想到這個數的？第二步，想到商幾后，通過什么方法驗證試商的結果是合適的？

（四）數據處理

問卷回收后，對問卷內容進行賦分［6］：計算結果錯誤，記0分；計算結果正確，記1分。此外，由兩名評分者對被試計算整數除法的試商策略分別編碼（具體策略見下文），結果顯示編碼的一致性信度為0.943，說明編碼的信度較高，并針對不一致的編碼結果進行討論，形成一致意見。

三、研究結果與分析

（一）成人計算整數除法的試商策略

1.策略類型

通過對問卷進行統計分析，發現被試主要采取以下五種策略進行試商。

策略一：“四舍試商法”。當除數的個位介于0～4之間時，通過“四舍”將除數看成與它接近的整十數，利用乘法口訣試除被除數［3］15。例如，在計算238÷32時，使用“四舍試商法”，無需調商。由于除數是兩位數，故與被除數前兩位進行比較，23＜32，則商在個位且被除數向后多看一位；將32“四舍”為30，計算238÷30，聯想3的乘法口訣，幾×3（十）最接近且小于238，得到個位試商7（如圖1）。

策略二：“五入試商法”。當除數的個位介于5～9之間時，通過“五入”將除數看成與它接近的整十數，利用乘法口訣試除被除數［3］15。例如，在計算7942÷47時，使用“五入試商法”，無需調商。由于除數是兩位數，故與7942的前兩位進行比較，79>47，則商在百位；將47“五入”為50，計算79÷50，聯想5的乘法口訣，幾×5（十）最接近且小于等于79，得到百位試商1。同理，由于余數32<47，故商在十位且被除數向后多看一位，仍將47“五入”為50，計算324÷50，聯想5的乘法口訣，幾×5（十）最接近且小于等于324，得到十位試商6。以此類推，得到個位試商8（如圖2）。

策略三：“五舍試商法”。當除數的個位介于5～9之間時，將除數“五舍”為整十數后，再利用乘法口訣試除被除數。例如，在計算7942÷47時，使用“五舍試商法”，需要調商。由于除數是兩位數，故與7942的前兩位進行比較，79>47，則商在百位；將47“五舍”為40，計算79÷40，聯想4的乘法口訣，幾×4（十）最接近且小于等于79，得到百位試商1。同理，由于余數32<47，故商在十位且被除數向后多看一位，仍將47“五舍”為40，計算324÷40，聯想4的乘法口訣，幾×4（十）最接近且小于等于324，得到十位試商8。以此類推，再在個位試商9（如圖3）。

策略四：“湊五試商法”。當除數的個位為4、5、6時，將除數看作□5（幾十五），通過口算找到幾×□5最接近被除數，進行試商。例如，在計算682÷24時，使用“湊五試商法”，無需調商。由于除數是兩位數，故與682的前兩位進行比較，68>25，則商在十位；將24“湊五”成25，計算68÷25，易得3×25>68>2×25，所以十位試商2。同理，由于余數20<24，故商在個位且被除數向后多看一位，仍將24“湊五”成25，計算202÷25，易得25×4=100，所以個位試商8（如圖4）。

策略五：“直接試商法”。直接利用做除法想乘法，口算（ ）×除數最接近被除數，跳躍加商進而調商［7］。例如，在計算7942÷47時，使用“直接試商法”，需要調商。由于除數是兩位數，故與7942的前兩位進行比較，79>47，則商在百位，且47×2>79>47×1，因此在百位上商1；又由于余數32<47，故商在十位且被除數向后多看一位，計算324÷47，口算幾×47最接近324，易知1×47和2×47遠小于324，故跳著試商，發現5×47和6×47依然小于324，但7×47>324，所以十位商6；最后，由于余數42<47，故被除數再向后多看一位，計算422÷47，口算10×47接近但大于422，所以嘗試商9和8，發現9×47>422，8×47<422，因此在個位商8（如圖5）。

此外，在成人計算過程中，極少部分出現了“除數折半估商5”和“同頭無除試商8、9”的試商策略，但這是成人在特殊情形下所采用的試商策略，不屬于本研究調查的四種除法類型下成人所采用的試商策略，故下文不作統計。

2.策略統計

通過統計，得到不同試商策略在不同類型除法算式中的使用率及正確率，如表1所示。

從表1中可以發現：

（1）當除法算式滿足“四舍、無調商”時，95.24%的被試采用“四舍試商法”試商，且正確率達到98.33%；還有4.76%的被試選擇“直接試商法”，且正確率達到100.00%。

（2）滿足“四舍、需調商”時，有58.73%的被試仍采用“四舍試商法”試商，且正確率達到94.59％；有12.70%的被試選擇“湊五試商法”，且正確率達到100.00%；還有28.57%的被試選擇“直接試商法”，且正確率達到94.44%。

（3）滿足“五入、無調商”時，有17.46%的被試選擇“五入試商法”試商，且正確率達到90.91%；有20.64%的被試選擇“直接試商法”，且正確率達到92.31%；還有61.90%的被試選擇“五舍試商法”，且正確率達到94.87%。

（4）滿足“五入、需調商”時，8.57%的被試仍選擇“五入試商法”試商，且正確率達到100.00%；還有2.86%的被試選擇“湊五試商法”，且正確率達到100.00%；然而有34.29%的被試選擇“直接試商法”，且正確率達到91.67%；甚至有54.28%的被試選擇“五舍試商法”，且正確率達到94.74%。

綜上所述，成人在計算不同類型的整數除法時主要選擇“四舍試商法”或“五舍試商法”，即把除數看作與它最高位的數字所對應的整十或整百數進行試商，并且正確率較高。

（二）教材中關于整數除法計算的試商策略

通過梳理人教版教材中“除數是兩位數的除法”單元中的例題與課后習題，得到教材中關于整數除法的試商策略，如表2所示。

同樣，通過統計教材中對于不同類型的除數是兩位數的除法所采用的策略，得到不同策略在不同類型除法算式中的使用率，如表3所示。

（三）成人與教材的試商策略比較分析

1. 一致性

（1）除法算式滿足“四舍、無調商”時，成人的計算策略與教材的策略均為“四舍試商法”

通過上述調查統計發現，對于滿足“四舍、無調商”的除法算式，教材采用“四舍試商法”，即把除數看作和它接近的整十數去試除被除數。在此類除法中，95.24%的被試采用的策略與教材策略一致。

（2）除法算式滿足“四舍、需調商”時，成人的主要計算策略與教材的主要策略均為“四舍試商法”

對于滿足“四舍、需調商”的除法算式，教材主要采用“四舍試商法”，僅在少部分習題中選擇“湊五試商法”。在此類除法中，有58.73%的被試采用“四舍試商法”，12.70%的被試采用“湊五試商法”。因此，超七成的被試采用的策略與教材策略一致。

2. 差異性

（1）除法算式滿足“五入、無調商”時，教材使用“五入試商法”，成人主要采用“五舍試商法”

對于滿足“五入、無調商”的除法算式，教材僅介紹“五入試商法”。在調查中，僅有17.46%的被試采用與教材一致的試商策略。另有61.90%的被試選擇“五舍試商法”、20.64%的被試選擇“直接試商法”試商，這與教材中的策略產生了差異。通過訪談得知，成人認為，“五舍試商法”將除數“五舍”后，保持除數的最高位不變，可以直接觀察最高位快速試商，無需人為賦予一個新的除數，盡管調商次數可能會增加，但只需重復調小余數直至小于除數即可；“直接試商法”可以直接通過口算乘法試商并通過跳躍加或減商進行調整，直至余數小于除數。兩種策略的產生均源于成人追求直觀且熟練口算乘法。

（2）除法算式滿足“五入、需調商”時，教材主要使用“五入試商法”，成人主要采用“五舍試商法”以及“直接試商法”

對于滿足“五入、需調商”的除法算式，教材主要采用“五入試商法”，僅在少部分習題中使用“湊五試商法”。在調查中，僅有11.43%的被試采用的策略與教材策略一致。另有54.28%的被試采用“五舍試商法”試商，34.29%的被試采用“直接試商法”試商，這與教材中的策略產生了差異。這同樣也是因為成人對直觀的追求以及對口算乘法的熟練掌握。此外，只有當除數為25或26時，成人才會考慮使用“湊五試商法”，一方面是因為25易于構建整百數，另一方面是由于成人經過長期的練習，對25的幾倍數已形成長時記憶，可直接將25的幾倍數與被除數進行比較，提高了試商效率。

四、研究結論與建議

（一）結論

1. 成人仍繼續使用教材中的四種試商策略，并生成了“五舍試商法”與“直接試商法”

成人在整數除法的運算過程中依然繼續使用教材中的“四舍試商法”“五入試商法”“湊五試商法”“同頭無除試商8、9”四種試商策略，但也使用了教材之外的“五舍試商法”與“直接試商法”。但是，針對不同類型的整數除法，成人采用的主要試商策略與教材并不完全一致，并且成人已不常用“五入試商法”與“湊五試商法”。

2. 無論“五入”試商是否需要調商，成人均主要采用“五舍試商法”

在各種類型的整數除法中，成人主要考慮使用“舍”的策略進行試商。其中，在計算“四舍、無調商”和“四舍、需調商”類型的除法算式時，成人與教材采用的策略一致，均主要采用“四舍試商法”。然而，在計算“五入、無調商”和“五入、需調商”類型的除法算式時，為了提高試商的效率，成人使用的策略不同于教材，主要采用“五舍試商法”。

3. “四舍”或“五入”試商均需調商時，部分成人一貫采用“直接試商法”

在各種類型的整數除法中，均有成人使用“直接試商法”試商。其中，在計算“四舍、需調商”和“五舍、需調商”類型的除法算式時，更多的成人采用“直接試商法”試商。這恰恰說明大部分成人在計算復雜的除法時，會拋棄生硬的技巧，回歸最直接的乘除法的關系進行找商。

（二）建議

1. 適當補充“五舍試商法”，幫助學生養成靈活試商的意識

眾所周知，教材只是一個教學工具，教師應該“用教材”，而不是“教教材”。在“除數是兩位數的除法”單元中補充“五舍試商法”內容作為思考環節，有助于教師引導學生比較“五入試商法”和“五舍試商法”二者的優缺點，感受“五舍試商法”與“五入試商法”并無本質區別，僅在找商的效率上有所不同，進而幫助學生選擇試商策略，養成靈活試商的意識。

2. 貫徹“直接試商法”，促進學生掌握除法運算的通性通法

運算過程中對通性通法的追求可以使個體的思維更加靈活，運算更加優化［8］。“直接試商法”作為個體除法運算的自然狀態，應該是除法運算的通性通法，能夠帶領學生經歷試錯和比較的過程，從而解決除法運算問題。因此，教材在“表內除法”“有余數的除法”“除數是一位數的除法”以及“除數是兩位數的除法”單元應貫徹 “直接試商法”的策略。

3. 重視口算乘法的訓練教學，提升學生的運算能力

成人之所以偏向于使用“五舍試商法”和“直接試商法”進行試商，是因為他們具有很好的口算能力。口算是學生計算的基本能力，教師在教學整數除法的過程中仍需重視學生口算乘法的訓練，以推動學生運算能力的逐步提升。在學生熟練掌握基本試商方法之余，教師可以適當傳授“同頭無除試商8、9”“湊五試商”“除數折半估商5”等策略，在有效提升他們運算能力的同時，培養他們的數感，提升他們數學學習的興趣。

參考文獻：

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（1.杭州師范大學經亨頤教育學院?2.杭州師范大學中國教育現代化研究院）