基于自適應超螺旋觀測器的空間機械臂魯棒故障診斷

高 升, 張海龍, 張 偉,*, 孔維國

(1. 中國科學院沈陽自動化研究所機器人學國家重點實驗室, 遼寧 沈陽 110016; 2. 中國科學院機器人與智能制造創新研究院, 遼寧 沈陽 110169; 3. 航天器在軌故障診斷與維修重點實驗室, 陜西 西安 710043)

0 引 言

隨著在軌操作任務越來越復雜,對空間機械臂的需求也日益增多,其不僅可以協作或代替航天員完成艙外的操作任務,還可以完成在軌航天器或太空垃圾的捕獲、空間載荷轉移及在軌裝配等任務[1]。然而,由于空間機械臂需要工作在太空環境中,所處環境復雜且惡劣,極易導致機械臂關節發生故障,影響機械臂在軌工作效率甚至出現機械臂徹底失去工作能力的情況。當機械臂關節發生故障后,應該及時給出警報,即及時檢測出系統故障,以提高空間機械臂在軌操作的安全性與可靠性。因此,深入探究空間機械臂故障診斷方法顯得尤為重要。自20世紀70年代以來,故障診斷技術得到了快速且深入的發展,已經成為一個熱門且重要的研究領域[2-3]。

故障診斷方法隨著現代控制理論的發展而逐漸壯大,目前故障診斷方法主要包括基于知識的方法、基于信號處理的方法、基于解析模型的方法及混合方法[4]。其中,基于解析模型的故障診斷方法研究最早也最成熟,與此同時,也是研究成果最多的方法。其起源于Beard的博士論文,即應用解析冗余代替硬件冗余。此外,基于觀測器的故障診斷方法是基于解析模型方法最重要的分支,該方法基于系統的數學模型,可以發掘更多且更深層次的故障信息,因此也可以得到更準確的故障診斷結果。基于觀測器的故障診斷方法主要包含殘差生成和診斷策略兩個過程,其基本思想是將系統的實際測量輸出與觀測器產生的估計輸出進行比較,產生用于故障診斷的殘差信息。理想情況下,當系統未出現故障時,殘差信息為零或接近零值,但當系統出現故障時,殘差遠遠偏于零值。然后,再結合設計的診斷策略完成系統故障診斷任務。本文也基于該思想設計可用于空間機械臂系統的故障診斷觀測器。

考慮到空間機械臂較之地面機械臂的特殊性,需要開展針對性的研究工作。首先,空間機械臂工作于微重力環境中,即處于空間漂浮狀態,因此在動力學模型與觀測器設計方面不需要考慮重力項。其次,空間機械臂所處環境復雜,易受高層大氣、太空中高能粒子及航天器振動等不確定因素的影響。因此,在處理系統故障診斷問題時,外部干擾對其影響更甚,有必要研究行之有效的魯棒故障診斷方法,降低診斷的誤報甚至錯報率。常用的解決方案包括特征結構配置方法[5]、未知輸入觀測器方法[6-7]、H∞觀測器方法[8]和滑模觀測器方法[9]等。最后,由于空間機械臂的成本與重量限制,其一般不配備關節速度傳感器,因此需要解決無角速度信息情況下的狀態估計與故障診斷問題。常用的解決方案是設計滑模觀測器,如終端滑模觀測器[10]等。

由于滑模觀測器對外部干擾的魯棒性以及在狀態估計方面良好的實用性,本文基于此技術開展研究工作。與此同時,超螺旋形式的觀測器屬于二階滑模算法,其實是為了改善滑模觀測器抖振現象而被提出的。其最早起源于文獻[11],學者Levent基于相平面分析法給出了其穩定性證明方法,但該方法過于復雜且不利于理解。隨著一類Moreno-Lyapunov函數[12]的發現,超螺旋觀測器穩定性的證明得到了大大簡化,并由此帶動了一波研究熱潮。在早期的研究中[13],雖然超螺旋觀測器可以實現系統狀態的有限時間估計,但基于等效輸出獲得的估計值是不連續的,需要額外引入低通濾波器以獲得相應的連續結果,但低通濾波器的引入會導致時延現象,從而影響狀態估計的效率。因此,學者們針對其平滑性進行了廣泛研究[14-15]。另一方面,為了解決干擾噪聲放大與估計項過估計問題,學者在經典超螺旋觀測器的基礎上引入參數自適應調整方法,提升了觀測器的性能[16-18]。最后,為了進一步提升觀測器性能,有學者將上述二者進行結合,提出了性能更為優異的自適應平滑超螺旋觀測器[19]。

基于滑模觀測器的故障診斷策略最早由學者Edwards提出并進行了深入研究[20],其主要原理是在估計誤差到達滑模面后基于破壞滑動模態產生的殘差信息進行故障診斷或基于等效輸出注入項進行故障估計,本文基于前者進行研究。相比于其他有限時間觀測器,如:齊次觀測器、齊次反推觀測器、終端滑模觀測器,超螺旋觀測器更符合工程實際,此外其還具有連續、易實現、理論分析嚴謹等優點。因此,自其提出之日起,便被廣泛應用于干擾觀測器設計[21-22]與自抗擾技術中的擴張狀態觀測器設計[23]。雖然文獻[24-25]將其推廣到了故障診斷領域,但觀測器的性能有待進一步提升。同時,關于其應用于空間機械臂系統故障診斷的研究內容鮮有報道。因此,本文基于超螺旋觀測器設計空間機械臂系統魯棒故障診斷方法。

綜上所述,針對空間機械臂系統,本文提出一種基于改進的自適應超螺旋觀測器與自適應閾值的魯棒故障診斷方法。與現有的超螺旋觀測器相比,本文通過引入小于1的分數冪保證觀測器的連續性與平滑性,避免了使用低通濾波器引起的時延對故障診斷結果的影響。與此同時,設計雙層自適應律(參數自適應項)與快速趨近律(線性比例項),以進一步提升觀測器的性能。雙層自適應律的引入可以解決過估計與噪聲放大問題,而快速趨近律的引入可以加快估計誤差的收斂速度,改善故障診斷效果。本文基于Moreno-Lyapunov函數算法給出了有限時間穩定性的詳盡分析及觀測器的設計條件。最后,將本文方法應用于小行星采樣空間三連桿機械臂算例,實現了復雜系統的魯棒故障診斷,驗證了該方法的有效性。

現將符號表示說明如下:Rn代表n維歐式空間。In代表n維單位矩陣,0代表常數零或適維零矩陣。‖·‖表示歐式空間范數。對于任意矩陣A,A>0表示矩陣A為正定矩陣。λmax(A),AT,A-1分別表示矩陣A的最大特征值、轉置及逆。對稱矩陣中,符號*表示通過對稱得到的元素。最后,定義sig(x)a=[sign(x1)|x1|a,…,sign(xn)|xn|a]T,其中,sign(·)為符號函數,a為任意正實數。

1 系統介紹與問題描述

1.1 空間機械臂動力學模型

通用的n個關節空間機械臂動力學模型為

(1)

同時,動力學模型,即式(1),具有如下性質[10]。

性質 1M0(q)是對稱正定矩陣且滿足:

λ1‖x‖2≤xTM0(q)x≤λ2‖x‖2

(2)

式中:λ1和λ2為已知正實數。

(3)

式中:hΔ和ρd為未知上界值。

C0(x,y+z)=C0(x,y)+C0(x,z)

(4)

C0(x,y)z=C0(x,z)y

(5)

‖C0(x,y)‖≤cmax‖y‖

(6)

式中:cmax為可以確定的正實數。

關于性質3的詳細推導過程可見文獻[10]和文獻[26]的相關研究內容。

1.2 執行器故障的數學模型

對于空間機械臂的操控而言,每個關節都由一個執行器驅動該關節繞軸旋轉。關節通常由伺服電機、驅動器與減速器等組成,如圖1所示。其中,第i個關節執行器的輸入信號定義為uc_i(i=1, 2,…,n)表示關節驅動器的輸出信號。與此同時,第i個關節執行器的輸出扭矩定義為ui。

圖1 空間機械臂各關節執行器通用示意圖Fig.1 Generalized schematic diagram of actuator in each joint of space robot manipulator

在實際工作中,由于電機、減速器齒輪、連接線纜和驅動器的電子元件的損壞,空間機械臂執行器可能會發生故障/失效。這一問題大致可描述為:由于電機定子和轉子之間摩擦的增加、軸承的邊際故障、電機扭矩和電流驅動的減少以及齒輪間隙或驅動器故障等現象的發生,一個執行器可能出現偏置扭矩增加的故障,即扭矩偏差故障,以及部分效力喪失的故障。這兩種類型的故障[27]可以表示如下:

ui=(1-δi)uc_i+Δui,i=1,2,…,n

(7)

式中:0%≤δi<100%表示第i個關節執行器部分效力喪失故障的失效因子;Δui表示扭矩偏差。值得說明的是,如果執行器i工作正常,則δi=0%,Δui=0;如果δi=30%,則表示執行器i失去30%的控制力矩。

基于式(7),空間機械臂關節驅動器的指令扭矩和關節執行器的輸出扭矩之間的數學關系可以建立為

u=(In-E)uc+Δu

(8)

式中:

本文只考慮執行器扭矩偏差故障和部分失效故障。執行器的全失效故障(即δi=100%)和卡死故障(即ui輸出一個恒定的值)不在本文的研究范圍內。這是因為空間操作臂通常為串行連接的機械臂,對其關節驅動器一般不進行冗余設計。因此,當關節執行器出現上述兩種形式的故障后,機械臂的動力學特性將被削弱并處于欠驅動狀態,而機械臂的欠驅動控制不屬于本文的研究范圍。

1.3 問題描述

(9)

本文的目的是根據空間機械臂動力學模型式(9)設計魯棒故障診斷方法,包括設計有限時間觀測器與故障診斷策略,從而完成空間機械臂執行器的魯棒故障診斷。

2 觀測器設計

本文給出改進自適應超螺旋觀測器如下:

(10)

(11)

式中:k>0表示常值控制參數,用于改善觀測器的收斂性能(可以看成用特殊的快速終端滑模型趨近律代替原來的冪次趨近律);p為正常數,滿足p∈(0.5,1)。此外,自適應增益項α(t)>0和β(t)>0的定義分別為

(12)

式中:α0和β0為正常數;j(e1,L(t))為時變項,可定義為

(13)

與文獻[13]應用的經典形式的超螺旋觀測器相比,本文提出的觀測器在φ1(e1)和φ2(e1)中引入sig(e1)p與sig(e1)2p-1,以保證觀測器的估計結果的連續性與平滑性,提升觀測器估計的準確性。此外,與文獻[16]和文獻[18]提出的自適應超螺旋觀測器相比,本文提出的觀測器在其基礎上設計了快速趨近律,即在φ1(e1)中引入額外的線性比例項ke1,以加快滑模面的收斂速度,在提高觀測器性能的同時改善故障診斷效果。最后,j(e1,L(t))的引入可以簡化觀測器穩定性的證明過程。

當控制參數k=0時,即線性比例項ke1=0時,有限時間觀測器式(10)退化為文獻[28]提出的有限時間觀測器。此外,當參數k=0及p=1時,有限時間觀測器式(10)進一步退化為文獻[29]提出的類Luenberger型觀測器,即一種漸進收斂(指數收斂)觀測器。

如果系統未出現故障,結合式(9)和式(10)可得到:

(14)

為了便于分析觀測器的有限時間穩定性,定義狀態向量如下:

(15)

(16)

又因為

(17)

成立,因此式(16)變為

(18)

與此同時,狀態s2的導數為

(19)

根據α(t)和β(t)的定義,式(18)和式(19)可重寫為如下更緊湊的形式:

(20)

為了進一步證明觀測器的有限時間穩定性,給出如下定理。

定理 1針對式(9)系統設計自適應超螺旋觀測器式(10),給定正常數ε,如果存在合適的增益參數α0,β0和對稱正定矩陣P,使得

ATP+PA<-εP

(21)

成立,則系統估計誤差滿足有限時間一致最終有界,即觀測器的估計誤差會在有限時間T內收斂至包含原點的集合D內。其中,D={s:V≤Δ},Δ=(h1g3u-1)2p/(2p-1),u∈(0,1);有限時間T為

(22)

式中:符號h1和g3的定義將在后文給出。

證明定義Lyapunov函數為

(23)

進一步可得到:

(24)

(25)

因此有:

(26)

根據式(21)可得到

(27)

應用性質3與文獻[10]與文獻[26]中的結果可知

(28)

進一步可得到:

‖ΔC0‖≤‖C0(x1,x2)‖‖e2‖+‖C0(x1,e2)‖‖e2‖+
‖C0(x1,e2)‖‖x2‖≤2cmax‖x2‖‖e2‖+cmax‖e2‖2≤
2cmaxk1‖e2‖+cmax‖e2‖2

(29)

結合式(3)和式(29)可知

(30)

式中:s=2(2cmax‖x2‖‖e2‖+cmax‖e2‖2)+2(hΔ+rd)

(31)

將式(31)簡寫為

(32)

(33)

將式(33)代入式(32),可得

(34)

定義J=g2V(s0)(1-p)/2p及一個吸引域:

Ω={s:g2V(1-p)/2p

(35)

系統的初始狀態需要在吸引域Ω內,否則系統會不穩定。因此,可以得到0

(36)

式中:h1=g1-J>0。

進一步可得到:

(37)

(38)

因為p∈(0.5,1),則有(3p-1)/2p∈(0.5,1)。因此式(38)的形式表征系統的估計誤差是有限時間一致最終有界的。這意味著,如果系統的估計誤差初值在吸引域Ω內,則其會在有限時間T收斂至集合D,其中收斂時間T和集合D的定義已在文獻[27]中給出。

證畢

3 故障診斷策略

如果在時刻tf系統出現執行器故障,則式(14)所表示的狀態估計誤差變為

(39)

由式(39)可知,當執行器故障為0時,系統進入理想的滑動模態后,觀測器的估計誤差對干擾是魯棒的且會收斂到包含原點的鄰域內。當出現執行器故障后,這種理想的滑動模態被打破。因此,估計誤差e2敏感于系統的執行器故障,所以本文選擇e2作為診斷執行器故障的殘差信號。提出故障診斷策略如下:

(40)

式中:‖e2‖RMS表示估計誤差e2的均方根值;Jth表示故障診斷閾值。值得說明的是,該閾值是一種自適應診斷閾值,其是根據系統未發生執行器故障時估計誤差e2的均方根值進行設計,可以有效提高故障診斷的準確性,降低故障診斷的誤報率。

本文提出的自適應超螺旋觀測器是基于超螺旋理論設計的觀測器,超螺旋理論通常用于設計狀態觀測器或干擾觀測器。在系統不存在干擾時,可以通過故障估計的形式實現故障診斷,但當系統存在干擾時,基于該理論設計的觀測器便不再適用了。因此,本研究提出了基于殘差信息的魯棒故障診斷方案。值得說明的是,由于本文提出的觀測器使用了自適應增益算法,所以當觀測器的滑模運動被破壞后,系統的估計誤差會在自適應算法的驅使下再次回到包含原點的鄰域內,即生成的殘差信息會再次被強制減小。因此,為了準確診斷出執行器故障,本文進一步提出了基于自適應閾值的故障診斷策略。

4 仿真校驗

本文以小行星采樣空間三連桿機械臂模型進行仿真校驗分析。通過仿真模型驗證本文所提出的故障診斷方法的有效性。

空間機械臂動力學模型及相關參數為

(41)

(42)

應用定理1求得的觀測器控制參數與采用的自適應參數[16]如表1所示。小行星采樣空間三連桿機械臂的實際物理參數如表2所示。與此同時,機械臂3個關節的初值為q(0)=[0.2,0.1,-0.1]Trad,觀測器的初始值都設置為0。

表1 觀測器參數取值Table 1 Parameter values of the observer

表2 小行星采樣空間三連桿機械臂物理參數Table 2 Physical parameters of the asteroid sampling space three-link robot manipulator

雙層自適應算法的穩定性證明詳見文獻[16],這里不再贅述。此外,仿真中涉及的觀測器自適應參數均取自其研究結果。

為了驗證故障診斷算法的有效性,機械臂關節執行器的故障設置為:關節2:已知存在Δu1=0 N·m且δ1=0%,t<3 s,Δu1=-2.5 N·m且δ1=60%,t≥3 s。

首先,對本文所設計的觀測器的有限時間估計性能進行仿真驗證及性能分析。自適應超螺旋觀測器的狀態估計誤差曲線如圖2所示。從圖2可以看出,觀測器的估計誤差可以在有限時間內收斂至包含0的鄰域內,即穩態時間T約為0.2 s。因此,觀測器的有限時間穩定性得到了證明。

圖2 自適應超螺旋觀測器狀態估計誤差Fig.2 State estimation error of adaptive super-twisting observer

為了進一步證明自適應超螺旋觀測器在系統狀態估計方面的優越性,將其估計性能與Edwards觀測器[16]進行了比較,結果如圖2、圖3和表3所示。值得說明的是,對比仿真中,Edwards觀測器采用的仿真參數除了性能控制參數k外,其他參數均與表2相同。從圖2、圖3及表3可以看出,兩個觀測器對干擾都有很好的魯棒性,無論是eq的穩態精度或是ew的穩態精度均在同一數量級,說明了兩個觀測器優秀的抗干擾性能。此外,性能控制參數k的引入,加快了估計誤差的收斂速度,即本文提出的觀測器的狀態估計誤差收斂至包含0的鄰域內的時間約為0.2 s,而Edwards觀測器的狀態估計誤差收斂至包含0的鄰域內或穩態區間的時間分別約為2 s。因此,本文提出的自適應超螺旋觀測器的快速性得到了充分驗證與說明。值得說明的是,本文的觀測器雖然改善了快速收斂性能,但其代價是ew的瞬態峰值(絕對值)會增大。由表3可以看出,本文觀測器的瞬態峰值是0.99,而Edwards觀測器的瞬態峰值則是0.41。此外,如果將本文的算法用于控制器設計,可推測出控制器的快速響應的代價可能是能耗增加。

表3 觀測器性能對比結果Table 3 Comparison results of observers performance

圖3 Edwards觀測器狀態估計誤差Fig.3 State estimation error of Edwards observer

接著,對本文所設計的基于自適應超螺旋觀測器的故障診斷策略進行仿真驗證及性能分析。系統出現執行器故障時的故障檢測結果如圖4和圖5所示。從圖4可以看出,觀測器的殘差值在故障發生后超過了設定的自適應檢測閾值。因此,由故障診斷邏輯可知,觀測器成功檢測出了系統的執行器故障。從圖5可以看出,由于采用了自適應閾值策略,測量噪聲等并不影響故障診斷結果。此外,本文提出的觀測器要與自適應閾值策略配合使用,并且只考慮出現如式(7)所示的執行器故障。如果系統出現未知形式的干擾且幅值與執行器故障幅值在同一數量級,則本文提出的故障診斷方法無法完成故障的有效診斷。值得說明的是,未知形式的外部干擾對故障診斷的影響仍是本領域的難題之一,同時,在設計故障診斷算法時考慮已知干擾仍是本領域的主流研究方向。

圖4 執行器故障診斷結果Fig.4 Result of actuator fault diagnosis

圖5 執行器故障診斷結果(測量噪聲)Fig.5 Result of actuator fault diagnosis (measurement noise)

與此同時,為了說明自適應超螺旋觀測器在故障診斷方面的優越性,將其故障診斷結果與Edwards觀測器進行了比較,比較結果如圖6和圖7所示。可以看到,這兩個觀測器雖然都可以成功檢測出執行器故障,但自適應超螺旋觀測器取得了更快的響應速度和更好的檢測結果。從圖7的細節可以看出自適應超螺旋觀測器的殘差在約3.02 s處超過檢測閾值,而Edwards觀測器的殘差在約3.2 s處才超過檢測閾值。這是因為Edwards觀測器為了得到平滑的估計結果而引入了低通濾波器,其會導致時延的產生,從而降低故障診斷的響應速度。由上述分析結果可知,自適應超螺旋觀測器的性能得到了充分驗證。因此,本文所提出的基于自適應超螺旋觀測器的魯棒故障診斷方法可以有效地解決空間機械臂關節執行器的故障診斷問題,并對系統干擾具有很強的魯棒性。

圖6 執行器故障診斷對比結果(0～10 s)Fig.6 Comparision of actuator fault diagnosis results (0-10 s)

圖7 執行器故障診斷對比結果 (3～7 s)Fig.7 Comparision of actuator fault diagnosis results (3-7 s)

雖然理論上參數k的取值越大,收斂時間越短,但通過進一步仿真發現,如果其值過大,會影響算法的實際執行效率,影響在線故障檢測效果。針對本文的仿真算例,參數k的取值范圍為2≤k≤5,因此在實際使用時應根據系統情況酌情調整該參數的實際取值。

5 結束語

本文針對空間機械臂系統提出一種基于自適應超螺旋觀測器的魯棒故障診斷方法。該方法無需機械臂的角速度信息且對外界干擾具有很強的魯棒性。基于Moreno-Lyapunov函數方法嚴格分析了觀測器的有限時間穩定性,提出了殘差生成方法并設計了基于自適應閾值的故障診斷策略。通過增加小于1的分數冪,改善了觀測器的平滑性,與此同時,增加了線性比例項,提升了觀測器的快速性。此外,該方法避免了低通濾波器的使用,解決了其帶來的時延問題。在未來的研究中,應進一步考慮基于該觀測器的故障定位、估計及容錯控制問題。