基于GARCH類模型對美國股市波動性的對比分析

李姜悅 沈慈慈 王偉杰

(淮北理工學院 安徽淮北 235000)

隨著全球金融市場的日益相互聯系和國際金融風險的增加，金融市場的波動性成為重要的研究領域。美國作為全球最大的經濟體，其金融市場的波動性對全球經濟有著巨大的影響。

為了更好地刻畫時間序列的波動率，Bollerslev(1986)[1]對自回歸條件異方差(Autoregressive Conditional Heterosc edasticity，ARCH)模型進行了拓展，建立了廣義自回歸條件異方差模型(Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model，GARCH模型)。因為波動性是市場風險的度量，可以反映市場的不確定性，反映投資者對市場的情緒和態度，因此國外學者借助GARCH類模型對股市波動性的研究層出不窮；Edbert和Sigit(2018)[2]基于GARCH類模型對東盟五國的油價波動和股票收益進行了實證分析；Takwi(2023)[3]通過GARCH模型對喀麥隆股市的波動率進行實證分析，表明相比ARCH模型，GARCH模型能夠很好地衡量喀麥隆股市的波動率；Maria等(2023)[4]利用英國上市公司高管內幕交易的月度數據分析了內幕交易總量( AIT )與股市波動之間的關系，發現較高的AIT會導致股市波動率的短期上升。

國內學者對中國股市波動性的研究也取得了一些研究成果；王孜(2022)[5]通過構建GARCH模型實證研究發現，融資業務會平抑中國股票市場的波動，融券業務則會加劇股票市場的波動；蘇晴(2022)[6]通過比較分析認為，GARCH-t模型能較好地刻畫滬深300指數收益率的變動趨勢；周健等(2022)[7]基于ARCH類模型實證分析了新三板市場股票收益率的波動性，研究得出收益率波動頻繁且幅度較大，存在明顯的非對稱效應，且高收益與高風險呈正相關關系。

本文選取2010年6月1日—2020年10月31日美國股市的Nasdaq指數和Russel2000指數的日交易數據作為樣本，同時運用GARCH(1，1)模型和APARCH(1，1)模型探究兩種股指的波動性特征，從而對美國股市進行對比分析，并對波動率進行預測，可為投資者更好地投資提供參考。

1 研究基礎

GARCH(1，1)模型和APARCH(1，1)模型均是探索時間序列波動性的有效模型。本文對美國股市的股指采用兩種模型建模，并進行對比分析，GARCH(1，1)模型表達式為：

均值方程：

方差方程：

APARCH(1，1)模型表達式為：

均值方程：

方差方程：

2 實證分析

2.1 數據選取與處理

本文從雅虎財經網分別選取2010年6月1日—2020年10月31日美國股市的納斯達克指數(Nasdaq)和羅素2000指數(Russel2000)2623個交易日的收盤價數據，因為資產收益率序列比價格序列易處理且更具研究意義，因此對收盤價作日對數收益率處理：

式(5)中：Rt是每個指數的日收益率，Pt是每個指數在t交易日的日收盤價，Pt-1是上一交易日的日收盤價，對每個指數的2623個收盤價計算，可以得到2622個對數收益率。

2.2 數據描述性統計信息

對Nasdaq和Russel2000兩種指數的日對數收益率進行統計學分析，結果如表1所示。

表1 Nasdaq、VIX的日對數收益率的描述性統計量信息

由表1可知：第一，兩種指數的日對數收益率最小值都為負值，最大值都為正值，均值都接近零值且大于零，表明兩種指數的波動方向相同，且美國股市長期處于波動上升期，認定為“牛市階段”，尤其是兩大指數的最小值與最大值相差不大，所以市場調節靈活度較高；第二，兩種指數的標準差都為正值且都接近零值，Russel2000相對Nasdaq的標準差稍小一些，表明Russel2000指數日對數收益率的波動性低于Nasdaq的波動性，Russel2000的風險相對較低，更適合投資；第三，Nasdaq和Russel2000的偏度值均為負值，即其日收益率序列存在左偏現象，不符合正態分布的對稱性，且對兩種指數的偏度取絕對值發現，Nasdaq的偏度值較大，Russel2000的偏度值較小，Nasdaq的左偏更嚴重；第四，兩種指數的峰度最小值為10.310140，比正態分布的峰度值3大得多，表明兩種指數的日對數收益率序列都存在尖峰肥尾現象，不滿足正態分布；第五，兩種指數日對數收益率J-B統計量檢驗下的P值都小于2.2e-16，在0.1%的顯著水平上都顯著，進一步表明兩種指數日對數收益率序列都不滿足正態分布。

2.3 分位數-分位數(Q-Q)圖

在運用GARCH(1，1)模型對這兩種指數的日對數收益率的波動性分析建模之前，需要對數據進行正態性檢驗。本文采用分位數-分位數(Q-Q)圖檢驗所選取的兩種指數是否具有非正態性。

如圖1所示，兩種指數的Q-Q圖都呈黑色曲線，正態分布的Q-Q圖是一條直線，兩種指數的日收益率序列都不與圖中的直線重合，所以兩種指數日對數收益率都具有非正態性。

圖1 Nasdaq和Russel2000日對數收益率Q-Q圖

2.4 日收益率曲線時序圖

考慮到日收益率序列波動幅度小，序列較平穩，因此進一步利用日對數收益率時序圖觀察波動聚類現象的存在及分布的非正太性。

由圖2可知：第一，兩種指數的日對數收益率在平均值零的上下范圍內波動，且低波動周期持續時間長。Nasdaq在2011年和2017年上半年呈高波動周期，并在2017年上半年達到最大幅度波動。Russel2000在2011年和2020年呈高波動周期，并在2020年上半年達到最大幅度波動；第二，2011年、2017年上半年和2020年上半年高波動周期的持續時間都較短，這種低波動之后高波動的隨機過程表明美國股市存在波動聚類現象和非正態性，且兩種指數日收益率序列的方差是時變的；第三，低波動周期表明指數日收益率在此階段的風險較低，高波動周期則表明風險較高，兩種指數的日對數收益率從2011—2017年是低波動周期且持續時間相對較長，表明美國股市在這段時期存在低收益和低風險現象，而在2011年、2017年上半年和2020年上半年存在高收益和高風險現象。

圖2 Nasdaq和Russel2000日對數收益率曲線時序圖

2.5 平穩性檢驗

為了使行時間序列分析具有意義，需對兩種指數的日對數收益率序列的平穩性進行檢驗。平穩性檢驗一般有6種方法，現對兩種指數分別使用ADF(Augmented Dickey-Fuller)檢驗和P-P(Phillips-Perron Unit Root test)檢驗兩種方法，結果如表2所示。

表2 兩種指數的日對數收益率平穩性檢驗

在表2中，兩種指數日對數收益率的ADF檢驗和P-P檢驗值是在滯后階數和截斷滯后參數均是13的條件下得出的，兩種檢驗方法的p值都小于0.01，表明兩種指數日對數收益率不存在單位根，時間序列是平穩的。

2.6 相關性檢驗

在對日對數收益率建模前，還要檢驗收益率的自相關性。ACF(Autocorrelation Function)圖和PACF(Partial Autocorrelation Function)圖是用來檢驗收益率變量之間相關程度的兩種方法。一般來說，PACF圖更能反映變量相關性的真實性，檢驗結果如圖3、圖4所示。

圖3 Nasdaq和Russel2000日對數收益率序列ACF圖

圖4 Nasdaq和Russel2000日對數收益率序列PACF圖

由圖3可以看出，ACF圖和PACF圖在滯后階數為0～30大部分函數值都在置信區間內，即圖中虛線區域上下跳躍，所以收益率序列自相關性很低，因此在條件期望模型中不需要引入自相關性部分，滿足GARCH模型中的均值方程。

2.7 ARCH效應檢驗

在用GARCH模型擬合收益率之前，需要檢驗收益率數據中是否存在自回歸條件異方差，即ARCH效應。表3是采用拉格朗日乘子，即LM(Lagarnge Multiplier)檢驗和平方收益率自相關的Ljung-Box檢驗方法得到的檢驗結果。

表3 兩種指數的日對數收益率ARCH效應檢驗

檢驗的原假設是殘差序列不存在ARCH效應，由表3可知，兩種指數的ARCH-LM檢驗和ARCH-Ljung-Box檢驗的滯后階數都為13，對應的p-value值都小于2.2e-16，即在99%的顯著性水平上拒絕不存在ARCH效應的原假設，兩種指數的日對數收益率序列殘差都存在ARCH效應，即GARCH效應，可以進行GARCH模型的擬合。

2.8 GARCH(1，1)模型和APARCH(1，1)模型的建立

兩種指數日對數收益率序列的非正態性、平穩性、弱自相關性及殘差序列的ARCH效應都表明，美國股市兩種指數的日對數收益率序列都可以用GARCH模型擬合。假設在日對數收益率滿足正態分布和學生t分布的條件下，分別利用GARCH(1，1)模型和APARCH(1，1)模型對其進行擬合，并對兩種指數滿足兩種分布下的兩個模型進行比較。表4和表5分別是兩種指數在GARCH(1，1)模型和APARCH(1，1)模型下的系數值與p值。

表4 兩種指數日對數收益率GARCH(1，1)模型下的系數值與p值

表5 兩種指數日對數收益率APARCH(1，1)模型下的系數值與p值

由表4和表5可以得出兩種指數在滿足正態分布及學生t分布下的GARCH(1，1)模型和APARCH模型(1，1)表達式，本文將根據已建立的模型對兩種指數日對數收益率的波動率進行擬合及預測。

2.9 模型對比分析

完成上述模型的建立后，需對兩種模型的擬合效果進行對比分析。表6和表7分別為兩種指數日對數收益率滿足正態分布和學生t分布的GARCH模型和APARCH模型的選擇信息。

表6 兩種指數日對數收益率GARCH(1，1)模型的選擇信息

表7 兩種指數日對數收益率APARCH(1，1)模型的選擇信息

由表6和表7可知：

第一，由兩種指數AIC準則、SIC準則，以及對數似然準則即Log likelihood值由大到小依次為滿足學生t分布的APARCH模型、滿足學生t分布的GARCH模型、滿足正態分布的GARCH模型、滿足正態分布的APARCH模型。因此，兩種指數最佳分布下的模型均為滿足學生t分布的APARCH模型，最差分布下的模型均為滿足正態分布的APARCH模型。

第二，滿足學生t分布的GARCH模型優于正態分布下的GARCH模型，滿足學生t分布的APARCH模型優于正態分布下的APARCH模型。因此，學生t分布比正態分布更適合對收益率的擬合，驗證了上文結論。

第三，建模完成后，對殘差序列再次進行LM檢驗，由最后一行可知，檢驗的p-Value值都遠大于0.01，且在APARCH模型下的Nasdaq指數的p值超過了0.9，因此兩種指數日對數收益率在GARCH模型和APARCH模型下都是可行的，滿足學生t分布的APARCH(1，1)模型的擬合最優，尤其是對Nasdaq指數收益率的擬合。

2.10 波動率預測

對于波動率較大的資產，價格的變動范圍很大；對于波動率較小的資產，價格更穩定。對交易者來說，波動率為高回報創造了機會。當波動率較高時，意味著更大的操作空間，高拋低吸可以給投資者帶來較高收益，但同時高波動率也增加了損失。本文運用滿足學生t分布的APARCH(1，1)模型對Nasdaq指數和Russel2000指數的波動率進行超前三步預測，預測結果分別如圖5和圖6所示，藍色曲線為波動率真實值走勢變化，黃色曲線為波動率預測值走勢變化。由5和圖6可知，兩種指數在2020年10月14日—2020年10月29日均呈現低波動率現象，且Nasdaq指數波動率最大值大于0.020，Russel2000指數數波動率最大值接近0.016，驗證了上文Russel2000的風險相對較低，更適合投資這一結論。同時，波動率預測值可為未來投資提供參考。

圖5 Russel2000指數波動率預測結果圖

圖6 Nasdaq指數波動率預測結果圖

3 結語

本文選取美國股市的Nasdaq指數和Russel2000指數作為樣本數據，借助統計軟件，利用GARCH族模型對兩個股指的波動性特征進行實證分析。實證結果表明：(1)美國股市長期處于波動上升期，市場調節靈活度高，且Russel2000指數的風險較Nasdaq指數更穩定，更適合投資；(2)兩種指數都在2011年和2019年下半年呈高波動周期，并在2019年下半年達到最大幅度波動，所以美國股市存在波動聚類現象和非正態性，且兩種指數日收益率序列的方差是時變的；(3)兩種指數日對數收益率序列都具有非正態性、平穩性、弱自相關性及殘差序列的ARCH效應，都可用GARCH模型和APARCH模型擬合，尤其是滿足學生t分布的APARCH模型的擬合效果更優，且得到的兩種指數波動率的預測值可以為未來投資提供參考。