基于滑模觀測器的永磁同步電機無傳感器控制

何用輝，卓書芳，葛炎風

（福建信息職業技術學院，福建 福州 350003）

0 引言

近年來，隨著電力電子、自動控制和計算機等技術的發展，交流調速控制系統在高性能調速領域已逐步取代直流調速控制系統[1]。永磁同步電機以其功率密度高、轉矩慣量比大和動態響應速度快的特點在交流調速系統中占據了主導地位[2]。永磁同步電機啟動時需要確定轉子初始位置，其除了作為閉環反饋信號外，還是坐標變換的依據[3]。傳統控制系統多采用光電編碼器、旋轉變壓器等機械式位置傳感器獲取轉速信號[4]。機械式位置傳感器增加了系統成本，且安裝維護成本高，降低了魯棒性和可靠性[5]。為了克服上述機械式位置傳感器的弊端，無位置傳感器控制技術成了電機控制領域中的一個研究熱點[6]。

文獻[7]為了削弱滑模觀測器的抖振現象，將符號函數sign（·）用連續的sigmoid（·）替代。基于定子電阻在線估計[8]，一種超螺旋二階滑模觀測器算法被用于永磁同步電機無位置傳感器控制。文獻[9]考慮采樣通道非線性引起的電壓和電流直流偏置，分析了其對電機反電動勢觀測和無速度傳感器控制的影響，并且設計了一種基于二階廣義積分器抑制直流偏置。基于內嵌濾波器的同步旋轉坐標系鎖相環技術[10]，有效抑制了滑模高頻抖動信號對位置辨識的影響，且無需對位置辨識值進行相位補償。然而，上述關于永磁同步電機中高速的無傳感器控制都是基于兩相靜止正交坐標上的數學模型進行研究的[6-10]，有關PMSM 在兩相同步旋轉正交坐標系上的無傳感器研究也越來越受關注。

首先，建立PMSM 在兩相同步旋轉正交坐標系上的動態模型，分析角速度與感應電動勢的關系。其次，應用李雅普諾夫穩定性理論設計滑模觀測器得到電動勢估計值。然后，引入一個低通濾波器和反正切函數提取位置信息，并對其進行補償。最后，通過Matlab/Simulink 平臺搭建系統的模型并仿真驗證文中所提無傳感器控制策略的有效性和魯棒性。

1 永磁同步電機數學模型

永磁同步電機的動態模型由磁鏈方程、電壓方程、電磁推力方程和運動方程組成，其三相靜止對稱坐標系上的數學模型具有非線性、多變量、高階和強耦合的特點。通過坐標變換，可以得到PMSM 在兩相同步旋轉正交dq坐標系上的數學模型。為了實現變量間的解耦，應用矢量控制的思想，使電磁轉矩正比于交軸電流分量iq的大小。此外，勵磁磁場是由轉子永磁體產生的，所以，將直軸電流分量id的給定值設為零。最終，簡化后的PMSM 在dq坐標系上的數學模型如式（1）～（4）所示。

其中，ud和uq分別為d軸和q軸定子繞組的電壓，Rs為定子繞組的電阻，id和iq分別為d軸和q軸定子繞組的電流，ψd和ψq分別為d軸和q軸定子繞組的磁鏈，Ld和Lq分別為d軸和q軸定子繞組的電感，ψf為永磁體磁鏈，Te為電磁轉矩，pn為極對數，J為轉動慣量，F為黏性摩擦系數，Tm為負載轉矩擾動，ωe和ωm分別為電角速度和機械角速度，且滿足ωe=pnωm。

永磁同步電機的無傳感器控制是基于電氣系統動態實現，對于表貼式PMSM，定子繞組電感滿足Ld=Lq=Ls，因此，由式（1）和（2）可得

將其寫成狀態空間的形式，即

其中，Ed= 0 為d軸的感應電動勢，Eq=ωeψf為q軸的感應電動勢，其表達式中包含了PMSM 的角速度信息。

由于滑模控制是一種魯棒性很強的非線性控制技術[11]，下面將設計滑模觀測器提取永磁同步電機的角速度和位置信號。

2 滑模觀測器設計與無傳感器控制

將基于電流估計值與采集的反饋電流之間的誤差設計滑模觀測器，由此重構PMSM 的電動勢，從而估算PMSM 的角速度和位置。

2.1 滑模觀測計與分析

根據狀態方程（6），設計如式（7）所示的滑模觀測器。

其中，k為滑模控制增益，sign（·）為符號函數。

應用李雅普諾夫穩定性理論對設計滑模觀測器進行分析。

定理1 對于設計的滑模觀測器（7），如果控制增益滿足如下條件：

那么，滑模觀測器是穩定的，且系統進入滑動模態后，存在如下的等效控制律：

證明 定義d軸和q軸的電流觀測誤差分別為

聯立式（6）（7）和（11）可得，滑模觀測器誤差系統的動態方程為

定義滑模面函數為

構造如下所示的李雅普洛夫函數：

由此可知，能量函數V（S）正定。

對V（S）求時間的導數，即

聯立式（8），（11）～（13）和（15）可得式（16）。

為了保證式（16）滿足V˙（S）≤0，可得

即式（9）得證。

當系統進入滑動模態后，可以采用等效控制方法確定滑模運動[12]，即令

由于觀測器是穩定的，因此當系統進入穩態后，角速度估計誤差趨近于零。聯立式（12）和（18）可得，等效控制律如下所示：

即式（10）得證。

2.2 基于反正切函數的位置估計

由2.1 節的定理1 可知，電動勢的值為滑模控制律的大小。由于滑模控制中存在符號函數，會產生高頻的切換信號，即抖振現象，導致無法提取角速度信號的有效值。為此，對電動勢引入一個如下所示的低通濾波器：

其中，ωo為低通濾波器的帶寬。

聯立式（8）（10）（11）和（20），可得

由于q軸的電動勢中包含了角速度信息，那么轉子角速度的估計值為

由于電動勢的估計引入了低通濾波器，會導致電動勢相位延遲。因此，基于反正切函數arctan（·）對轉子位置估計值進行補償，其表達式為

綜上所述，基于滑模觀測器的位置估算原理如圖1 所示。

圖1 基于SMO 的估算原理

3 仿真驗證

為了驗證所提永磁同步電機無傳感器控制策略的有效性和魯棒性。通過Matlab/Simulink 平臺搭建系統的模型并進行仿真實驗。永磁同步電機的參數見表1。滑模觀測器（SMO）、低通濾波器（LPF）參數設置見表2。永磁同步電機采用雙閉環矢量伺服控制，其速度環（外環）及電流環（內環）均采用經典的PI 控制器（帶限幅），其參數設置見表2。其中，電流環帶寬為ωc，電流環控制器增益由ωc確定。

表1 永磁同步電機參數設置

表2 SMO、LPF 和控制器參數設置

系統仿真條件設置如下：運行時間為0.1 s，PWM波頻率為10 kHz，給定轉速1500 r/min，直流側電壓311 V，仿真求解器為固定步長ode3 算法，基本采樣時間為1 × 10-6s。經過低通濾波器的電動勢估計值波形如圖2 所示，由圖2 可知，滑模觀測器的抖振現象被削弱了，d軸與q軸電動勢在穩態時分別為零和常值，這與前面的分析結果一致。永磁同步電機角速度和轉子位置的估計曲線分別如圖3 和圖4 所示，所提控制策略實現了對角速度和轉子位置的精確估計，且穩態時角速度估計誤差趨近于零。

圖2 電動勢估計曲線

圖3 角速度估計曲線

圖4 轉子位置估計曲線

為了驗證系統的魯棒性，在0.05 s 施加一個10 N·m的負載擾動，從圖2～圖4 可知，無傳感器控制系統在受到擾動時，能夠快速恢復穩態，具有抗干擾能力和魯棒性。

4 結語

永磁同步電機無傳感器控制方法基于滑模觀測器，引入低通濾波器，通過反正切函數對角速度和轉子位置進行估計。該研究的新穎性在于：

（1）傳統的無傳感器控制都是基于兩相靜止正交坐標上的數學模型進行研究，本研究建立了PMSM 在兩相同步旋轉正交坐標系上的動態模型，并以此進行無傳感器控制研究。

（2）基于李雅普諾夫穩定性理論分析并設計了滑模觀測器，對其穩定性進行了嚴格的證明，并得到滑模控制增益的約束條件。

（3）引入低通濾波器削弱滑模控制固有的抖振，同時基于反正切函數對其帶來的相位延遲進行補償。

（4）所提無傳感器控制策略可以實現角速度和轉子位置的準確估計，能有效降低擾動對控制系統性能的影響，具有極強的魯棒性。