關于人教版新教材的一道習題的推廣研究

廣東省佛山市順德區勒流中學(528322) 鄧先春 蘇綺琪

普通髙中教科書(A版)數學必修第一冊(2019 年7 月第1 版) (以下簡稱新教材) 在編寫函數這一教學單元時采用:具體函數——圖像特征(對稱性)——數量刻畫——符號語言——抽象定義——奇偶性判定等完整系統的研究過程,這樣的研究順序有利于落實課程標準的要求,培養學生數學抽象與直觀想象等素養[1].在練習與習題的編排上,新教材分不同層次落實學生對數學知識本質規律的理解與掌握.

函數是刻畫客觀世界中運動變化的重要數學模型,因此運動變化中的規律性或不變性通常反映為函數的性質.函數性質中的奇偶性是函數的整體性質,即要求定義域中任一個的變量都具有這樣的特性,它是平面幾何中中心對稱圖形、軸對稱圖形的解析表示.

新教材第87 頁習題3.2 拓廣探索欄目中的第13 題對函數奇偶性及其圖像對稱性之間關系的規律進行了推廣,下面就此展開探索研究.

課本原題“我們知道,函數y=f(x)的圖像關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為奇函數,有同學發現可以將其推廣為:函數y=f(x)的圖像關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數f(x+a)-b為奇函數.

(1)求函數f(x)=x3-3x2圖像的對稱中心;

(2)類比上述推廣結論,寫出“函數y=f(x)的圖像關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為偶函數”的一個推廣結論[2].”

推廣1 “函數y=f(x)的圖像關于坐標原點O(0,0)成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為奇函數[2]”的一個推廣結論:函數y=f(x)的圖像關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是y=f(x+a)-b為奇函數.

(1)充分性:

若y=f(x+a)-b為奇函數,則

設2a-t=m,(*1)為f(m)+f(t)=2b,且有t+m=2a.可見函數y=f(x) 的圖像上的兩點:P1(t,f(t))與P2(m,f(m)),線段P1P2的中點P(x0,y0)滿足即點P1與P2的對稱中心為P(a,b).

(2)必要性:

若函數y=f(x) 圖像關于點P(a,b) 成中心對稱,在y=f(x)圖像上任取一點P1(t,f(t)),設y=f(x)圖像上的點P1(t,f(t))、P2(m,f(m))關于點P(a,b)對稱,即

所以g(x)=f(a+x)-b為奇函數.

問題(1) 試求函數f(x)=x3-3x2圖像的對稱中心.

分析:

y=x3-3x2=(x3-x2) -2x2=x2(x-1) -2(x2-1+1)=x2(x-1) -2[(x-1)(x+1)+1]=x2(x-1)-2(x-1)(x+1)-2=(x-1)[x2-2(x+1)]-2=(x-1)[(x-1)2-3]-2=(x-1)3-3(x-1)-2.

∴y+2=(x-1)3-3(x-1),即f(x)+2=(x-1)3-3(x-1).設t=x-1,則x=t+1,g(t)=t3-3t.由于g(-t)=(-t)3-3(-t)=-(t3-3t)=-g(t),所以g(t)=t3-3t為奇函數,即g(t)=f(t+1)+2 為奇函數.故函數y=f(x+1)+2 為奇函數的充要條件為y=f(x)圖像關于點P(1,-2)對稱.所求函數f(x)=x3-3x2圖像的對稱中心為點P(1,-2).

函數f(x)=x3-3x2的圖像如圖1 所示.事實上,只要將點P(1,-2) 向左平移1 個單位,再向上平移2 個單位即可得到點O(0,0),因此將函數f(x)=x3-3x2的圖像向左平移1 個單位,再向上平移2 個單位即可得到函數y=f(x+1)+2.

圖1 函數f(x)=x3 -3x2 的圖像

函數y=f(x+1)+2 圖像關于原點O(0,0)成中心對稱圖形,故函數y=f(x+1)+2 為奇函數.

變式訓練1 設函數f(x)=,則下列函數中為奇函數的是( ).

A.y=f(x-1)-1 B.y=f(x-1)+1

C.y=f(x+1)-1 D.y=f(x+1)+1

推廣2 “函數y=f(x)的圖像關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為偶函數[2]”的一個推廣結論:函數y=f(x)的圖像關于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+a)為偶函數.

證明:

(1)必要性:設y=f(x)圖像上任一點P(x0,y0)關于直線x=a對稱點P1(x1,y1)也在y=f(x)圖像上,于是即點P(x0,f(x0)),P1(2a-x0,f(2a-x0)) 關于x=a對稱,于是f(x0)=f(2a-x0),令x0=x+a,則x1=2a-x0=a-x,∴f(x+a)=f(a-x),令g(x)=f(x+a),則有g(-x)=f(a-x),∴g(-x)=g(x)成立,即y=g(x)=f(x+a)為偶函數.

(2)充分性:容易證明,此處省略.

變式訓練2 試求函數f(x)=x4-4x3+3x2+2x-2的圖像的對稱軸.

分析:已知函數f(x)=x4-4x3+3x2+2x-2,(x∈R),

∵x4-4x3+3x2+2x-2

=(x4-x3)+(-3x3+3x2)+(2x-2)

=x3(x-1)-3x2(x-1)+2(x-1)

=(x-1)(x3-3x2+2)

=(x-1)[(x3-x2)+(-2x2+2)]

=(x-1)[x2(x-1)-2(x2-1)]

=(x-1)2[(x2-2x+1)-3]

=(x-1)2[(x-1)2-3]=(x-1)4-3(x-1)2.

∴f(x)=(x-1)4-3(x-1)2,設x-1=t,則x=t+1,∴f(t+1)=t4-3t2=g(t),∵g(-t)=g(t),∴g(t)為偶函數,即y=f(x+1)為偶函數的充要條件為y=f(x)圖像的對稱軸為直線x=1.

函數f(x)=x4-4x3+3x2+2x-2 的圖像如圖2 所示.事實上,只要將直線x=1 向左平移1 個單位即可得到直線x=0,即是y軸.因此將函數f(x)=x4-4x3+3x2+2x-2的圖像向左平移1 個單位,即可得到函數y=f(x+1).函數y=f(x+1)為偶函數,故y=f(x+1)圖像關于直線x=0(y軸)成軸對稱圖形.

圖2 函數f(x)=x4 -4x3 +3x2 +2x-2 的圖像