讓數(shù)學(xué)思想植根于數(shù)學(xué)課堂

周慧

“植樹問題”的教學(xué)旨在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，建立“植樹問題”模型，并在實際生活中加以應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。教學(xué)中，教師如何把握“植樹問題”的核心目標(biāo)？如何設(shè)計結(jié)構(gòu)化的教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)活動？如何滲透數(shù)形結(jié)合等思想方法，提高學(xué)生解決問題的能力？本期，我們從“數(shù)學(xué)思想”角度精選三篇文章，討論“植樹問題”的教學(xué)策略。

數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)發(fā)展起到關(guān)鍵作用。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師如何使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，并自覺利用數(shù)學(xué)思想探究問題、解決問題，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值呢？筆者以“植樹問題”的教學(xué)為例，做具體闡釋。

一、如何理解“植樹問題”

“植樹問題”需要教什么？大家一般會認為，三種類型“植樹問題”的棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系是教學(xué)重點，即兩端要栽、一端栽一端不栽、兩端不栽的模型建立是教學(xué)重點。事實上，這樣缺乏結(jié)構(gòu)化理解的教學(xué)是零散的，不一定能取得好的效果。筆者認為，這三種類型不是并列的關(guān)系，而是層級關(guān)系，因此教學(xué)時不能平均用力。“一端栽一端不栽”這種類型可以看作“主干”，因為它的棵數(shù)與間隔數(shù)能一一對應(yīng)，即“棵數(shù)=間隔數(shù)”，其算理與二年級學(xué)習(xí)的除法相通，都體現(xiàn)了一一對應(yīng)，商可以直接作為問題的答案。教師在教學(xué)中將“一端栽一端不栽”植樹問題的教學(xué)與除法關(guān)聯(lián)起來，學(xué)生的學(xué)習(xí)就有了扎實的基礎(chǔ)。其他兩種類型（兩端要栽、兩端不栽）可以在這個類型的基礎(chǔ)上進一步建構(gòu)。“兩端要栽、兩端不栽”情況下棵數(shù)與段數(shù)不是一一對應(yīng)的，因此需要在一一對應(yīng)的基礎(chǔ)上“＋1”或“－1”，這兩種類型可以看作“分枝”。

教師在教學(xué)時應(yīng)該把重點放在理解“一一對應(yīng)”及“商＋1”或“商－1”的道理上，如此，教學(xué)就有了結(jié)構(gòu)，“植樹問題”就變成了基于舊知識的拓展運用。由此，筆者認為學(xué)生掌握“植樹問題”的基礎(chǔ)和關(guān)鍵是與除法的意義建立關(guān)聯(lián)，而不是機械地記憶棵數(shù)與間隔數(shù)的數(shù)量關(guān)系。

二、掌握“植樹問題”的關(guān)鍵是什么

“植樹問題”模型并不是三種不同的類型，而是只有一個“源”，即用“包含除”解決問題。“包含除”涉及兩類問題，一類是當(dāng)商是整數(shù)時，要么能“一一對應(yīng)”，要么需要根據(jù)實際情況對商進行“+1”或“-1”，后兩種是變式；另一類是當(dāng)商不是整數(shù)而有余數(shù)時，需要根據(jù)實際問題對余數(shù)進行“進一”和“去尾”的處理。思維導(dǎo)圖如下圖所示。

由此可知，教學(xué)“植樹問題”的首要任務(wù)是讓學(xué)生建立“一端栽一端不栽”植樹問題與除法意義的關(guān)聯(lián)，打通新舊知識之間的聯(lián)系，并在原有的除法體系里進行拓展，以解決變式問題（兩端要栽、兩端不栽）。這樣教學(xué)有助于學(xué)生理解和應(yīng)用“植樹問題”模型，減輕他們的學(xué)習(xí)負擔(dān)。

三、“植樹問題”要根植哪些數(shù)學(xué)思想

1.感悟化繁為簡思想

課堂上，筆者用課件出示問題：“村里新修了一條平安大道。綠化工人要在長200米的平安大道的一邊植樹（每隔5米栽一棵，兩端要栽），一共需要栽多少棵樹苗？”出示問題后，筆者提問“每隔5米栽一棵，兩端要栽是什么意思”，并讓學(xué)生猜一猜“一共需要多少棵樹”。有的學(xué)生說“能種40棵”，有的學(xué)生說“能種41棵”，還有的學(xué)生說“能種39棵”。筆者啟發(fā)學(xué)生思考：“到底能種幾棵？你有什么好的驗證方法嗎？”一名學(xué)生提出：“我們可以試著種一種。”筆者肯定了學(xué)生的想法并引導(dǎo)：“我們可以利用課件模擬在200米的線段上種樹。”隨后，筆者用課件演示“每隔5米種一棵，一棵一棵不停地種”的動態(tài)過程。這時，一名學(xué)生質(zhì)疑：“這樣要花很長時間，很麻煩。”另一名學(xué)生建議：“我們可以換成短一點的距離，比如將200米換成20米，用比較小的數(shù)據(jù)研究出植樹規(guī)律。”筆者肯定了學(xué)生的想法，指出先探究在較短距離的路上共種幾棵樹的一般規(guī)律，再用這種規(guī)律去解決較復(fù)雜的問題，是一個不錯的辦法。這樣教學(xué)，化繁為簡的數(shù)學(xué)思想得以有效凸顯。

2.感悟數(shù)形結(jié)合思想

在解決問題中采用數(shù)形結(jié)合思想能幫助學(xué)生更好地理清數(shù)量之間的關(guān)系，明確解題思路，確定有效的解題方法。

教學(xué)“植樹問題”時，筆者引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖形進行分析，并從圖形中歸納、總結(jié)出一般的解題方法。課堂上，筆者先讓學(xué)生畫圖，模擬植樹，驗證在20米的道路的一邊植樹，每隔5米栽一棵，兩端要栽，可以栽幾棵。有的學(xué)生用“___”代表間隔，用“＼”代表一棵樹，畫出圖示“＼___＼___＼___＼ ___＼ ”；有的學(xué)生用“___”代表間隔，用“●”代表一棵樹，畫出圖示“●___●___●___● ___●”。筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察圖示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)棵數(shù)比間隔數(shù)多1。這樣教學(xué)，學(xué)生借助圖形直觀感知到兩端要栽時棵數(shù)與間隔數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系（棵數(shù)=間隔數(shù)+1），感悟到數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價值。

3.感悟一一對應(yīng)思想

教學(xué)“植樹問題”時，教師可以滲透一一對應(yīng)的思想方法，幫助學(xué)生學(xué)會用一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想解決問題。

“植樹問題”的本質(zhì)是對應(yīng)，學(xué)生只要明確“植樹間隔”與“樹的棵數(shù)”之間的對應(yīng)關(guān)系，并以此為基礎(chǔ)深入探究，就可以應(yīng)對各種變式情況。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩端要栽情況下“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”的數(shù)量關(guān)系后，筆者追問“為什么棵數(shù)比間隔數(shù)多1”，引導(dǎo)學(xué)生用一一對應(yīng)的方法分析問題。學(xué)生指著圖示分析道：“一棵樹后面跟著一個間隔，也就是一棵樹對應(yīng)一個間隔，最后一棵樹沒有間隔與之對應(yīng)，所以棵數(shù)比間隔數(shù)多1。”種樹還可能出現(xiàn)什么情況？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，還可能出現(xiàn)“一端栽一端不栽”和“兩端不栽”的情況，并且都能用一一對應(yīng)的思想方法解釋這兩種情況下棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系，從而感悟到一一對應(yīng)數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用價值。

4.感悟數(shù)學(xué)模型思想

“植樹問題”的教學(xué)過程就是數(shù)學(xué)模型建立的過程，教師應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗證—建模—應(yīng)用”的學(xué)習(xí)過程，以更好地理解和掌握“植樹問題”模型。教學(xué)時，筆者把重點放在讓學(xué)生積極探索并發(fā)現(xiàn)“植樹問題”的解題規(guī)律上，著力激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，把“植樹問題”作為學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法的支點，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)建模的重要意義。

當(dāng)學(xué)生掌握了“兩端要栽”的模型后，筆者引導(dǎo)學(xué)生探究“一端栽一端不栽”和“兩端不栽”的情況。筆者先請學(xué)生獨立思考每種情況的棵數(shù)與間隔數(shù)，再把這些數(shù)據(jù)整理成表格，然后對比分析（表略）。通過探究，學(xué)生構(gòu)建了“兩端要栽：棵數(shù)=間隔數(shù)+1”“一端栽一端不栽：棵數(shù)=間隔數(shù)”“兩端不栽：棵數(shù)=間隔數(shù)-1”三種模型。建立“植樹問題”模型后，學(xué)生要用模型解決生活中的實際問題，以此提高解決問題的能力。教師可以通過不同的變式練習(xí)，比如求總長、求間隔、求間隔數(shù)、求棵數(shù)等問題，以及鋸木頭、爬樓梯、開業(yè)剪彩等問題，讓學(xué)生拓展應(yīng)用“植樹問題”數(shù)學(xué)模型，使其感悟到模型思想對于解決數(shù)學(xué)問題的價值。

（作者單位：襄陽市保康縣馬橋鎮(zhèn)小學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏