多角度科學建模殊途一定能同歸
——對2013年浙江高考理綜物理第25題的再思考

2024-03-22 02:54:26王朝輝

物理教師 2024年3期

王朝輝

(南京市江寧高級中學,江蘇南京 211100)

近日閱讀文獻時發現,不少文獻對浙江省2013年高考理綜第25題的看法各異,眾說紛紜,莫衷一是.[1-7]準確理解試題物理情境,科學合理地建立物理模型,是正確解決問題、實現多種方法殊途同歸的關鍵.下面從海水在推進器通道中的運動、海水壓力對通過推進器通道的海水是否做功、出水口海水速度值自洽性等3個方面分析論證,準確理解試題物理情境,并在不同參考系中應用不同的物理規律多角度科學建模,分析得到了多種方法相一致的結果.

1 試題再現

例題.(2013年浙江高考理綜第25題)為了降低潛艇噪聲,提高其前進速度,可用電磁推進器替代螺旋槳.潛艇下方有左、右兩組推進器,每組推進器由6個相同的、用絕緣材料制成的直線通道推進器構成,其原理示意圖如圖1所示.在直線通道內充滿電阻率ρ=0.2 Ω·m的海水,通道中a×b×c=0.3 m×0.4 m×0.3 m的空間內,存在著由超導線圈產生的勻強磁場,其磁感應強度B=6.4 T,方向垂直通道側面向外.磁場區域上、下方各有a×b=0.3 m×0.4 m的金屬板M和N,當其與推進器專用直流電源相連后,在兩板之間的海水中產生了從N到M,大小恒為I=1.0×103A的電流,設該電流只存在于磁場區域.不計電源內阻及導線電阻,海水密度ρm≈1.0×103kg/m3.

圖1 推進器原理圖

(1)(2) 兩問略.

(3) 當潛艇以恒定速度v0=30 m/s前進時,海水在出口處相對推進器的速度v=34 m/s,思考專用直流電源所提供的電功率如何分配,求相應功率的大小.

2 從3個方面分析論證,準確理解試題情境

2.1 海水在推進器通道中運動的分析論證

試題情境是潛艇電磁推進器中海水在磁場安培力作用下的能量轉化問題,而海水在管道中的運動屬于流體力學問題.忽略流體的壓縮性、內部黏滯阻力以及流體與管道內壁的摩擦阻力后,在與管道相對靜止的潛艇參考系中觀察,流體在通道內做穩定流動,稱為理想流體的定常流動,也叫穩流,其運動規律遵循連續性原理和伯努利方程.

海水相對于進口處、進口和直線通道交界處、出口處3個截面的速度分別為v0=30 m/s、v′、v,如圖2所示.根據連續性原理有

圖2 通道截面處的壓強溫度

v0S0=v′bc=vbc.

(1)

由式(1)和圖示截面積的大小關系可知v0

2.2 海水壓力是否做功的分析論證

由于推進器通道進、出口位于海洋中同一深度,根據液體內部壓強公式p液=ρ海gh,則進口、出口處的海水壓強p0=p.

(1) 在潛艇參考系中.

在潛艇參考系中觀察,在圖2中,極短時間Δt內,進口處海水壓力對進入通道的海水做的功W1=p0S0v0Δt,出口處海水壓力對噴出通道的海水做功為W2=-pbcvΔt.由連續性原理式(1)可知,進口、出口處海水壓力所做的總功

W=W1+W2=p0S0v0Δt-pbcvΔt=0.

(2)

式(2)表明:在潛艇參考系中,海水壓力對通過推進器通道的海水所做的總功為0.因此,對通過推進器通道的海水僅有安培力做功,則由動能定理可知:安培力的功率等于單位時間內從直線通道出口噴出海水動能的增加值.

在潛艇參考系中,潛艇速度為0,提供潛艇前進的牽引力功率為0.因此,潛艇參考系中的觀測者認為:專用直流電源提供的電功率轉化為兩部分,一是磁場區域內通電海水產生的焦耳熱功率,二是單位時間內從直線通道出口噴出海水動能的增加值(也等于安培力做功的功率).

(2) 在地面參考系中.

在地面參考系中觀察,在圖2中,極短時間Δt內,由于進口處海水速度為0,則進口處海水壓力對進入通道的海水做的功為0,即W1′=0,而出口處海水壓力對噴出通道的海水做的功為W2′=-pbc(v-v0)Δt.因此,進口、出口處海水壓力所做的總功

W′=W1′+W2′=-pbc(v-v0)Δt≠0.

(3)

式(3)表明:在地面參考系中,海水壓力對通過推進器通道的海水所做的總功不為0.因此,對通過推進器通道的海水不僅有安培力做功,還有海水壓力做功,則由動能定理可知:海水動能的增加等于安培力和海水壓力的總功,即安培力的功率不等于單位時間內從直線通道出口噴出海水動能的增加值(高考參考答案在地面參考系中未加論證而誤認為“等于”).

因此,地面參考系中的觀測者認為:專用直流電源提供的電功率轉化為3部分,一是提供潛艇前進的牽引力功率,二是磁場區域內通電海水產生的焦耳熱功率,三是安培力做功的功率(但不等于單位時間內從直線通道出口噴出海水動能的增加值).

2.3 出口處海水速度值自洽性的分析論證

重力場中的伯努利方程為

(4)

(5)

(6)

上述分析及式(6)表明:題目條件v=34 m/s,確實是為了方便學生解題給定的多余條件,且不自洽.

3 應用不同物理規律多角度科學建模論證

以下均以單個推進器為例,為了便于看清應用不同物理規律多角度建模,分析論證所得結果是否殊途同歸,只進行字母運算,不做數值計算.

海水產生的焦耳熱功率與參考系的選擇無關,均為

(7)

3.1 應用力的功率公式P=Fv計算

(1) 在潛艇參考系中.

在潛艇參考系中,潛艇速度為0,潛艇牽引力(直通道內海水所受磁場安培力的反作用力)功率為0.

直通道內海水相對于推進器的速度為v,直通道內海水所受安培力為F安=BIc,則安培力對直通道內海水做功的功率為

P安=F安v=BIcv.

(8)

由式(7)(8)得,專用直流電源所提供的電功率為

(9)

(2) 在地面參考系中.

在地面參考系中,直通道內海水相對于地面的速度為v-v0,直通道內海水所受安培力為F安=BIc,則安培力對直通道內海水做功的功率為

P安=F安(v-v0)=BIc(v-v0).

(10)

潛艇牽引力(直通道內海水所受磁場安培力的反作用力)功率為

P牽=F安v0=BIcv0.

(11)

由式(7)(10)和(11)得,專用直流電源所提供的電功率為

(12)

式(12)與式(9)一致,兩種方法殊途同歸.

3.2 應用閉合電路的功率關系計算

(1) 在潛艇參考系中.

設專用直流電源的電動勢為E,在潛艇參考系中,觀測者觀測到的只是靜磁場B,直通道磁場區域內海水以速度v切割磁感線產生的動生電動勢E動生=Bcv,根據右手定則可知其方向與海水中的電流方向反向,等效電路如圖3所示,則有E=IR+E動生,兩端乘以電流I,得專用直流電源所提供的電功率為

(13)

圖3 潛艇參考系的等效電路

式(13)與式(9)(12)一致,3種方法殊途同歸.

另外,式(13)中動生電動勢方向與回路電流方向相反,是反電動勢,在消耗推進器專用直流電源的能量.動生電動勢消耗的功率E動生I=BIcv對應著潛艇參考系中安培力的功率式(8).在這里,我們看到了潛艇參考系中,電路分析和力學分析的對應關系以及力、電分析的統一性.

(2) 在地面參考系中.

(14)

圖4 地面參考系的等效電路

式(14)與式(9)(12)(13)一致,4種方法殊途同歸.

另外,從式(14)中可以看出:動生電動勢和感生電動勢方向與回路電流方向相反,都是反電動勢,消耗推進器專用直流電源的能量.動生電動勢消耗的功率BIc(v-v0)對應著地面參考系中安培力對直通道內海水做功的功率式(10);感生電動勢消耗的功率BIcv0對應著地面參考系中潛艇牽引力(直通道內海水所受磁場安培力的反作用力)功率式(11).在這里,我們又看到了地面參考系中,電路分析和力學分析的對應關系以及力、電分析的統一性.

3.3 應用單位時間內噴出的海水動能的增加值計算

無論在哪個參考系,極短時間Δt內,從出水口噴出的海水質量為

Δm=ρmbcvΔt.

(15)

(1) 在潛艇參考系中.

在極短時間Δt內,以從進水口進入、出水口噴出的海水以及推進器管道中的海水(這部分海水的動能沒有變化)為研究對象,從直通道噴出的海水增加的動能為

(16)

由式(15)(16)得單位時間內從直線通道出口噴出海水動能的增加值為

(17)

因此,專用直流電源所提供的電功率為

(18)

顯然式(18)與式(9)(12)(13)(14)一致,5種方法殊途同歸.

(2) 在地面參考系中.

前面式(3)表明:在地面參考系中,海水壓力對通過推進器通道的海水所做的總功不為0.因此,安培力的功率不等于單位時間內從直線通道出口噴出海水動能的增加值(高考參考答案在地面參考系中未加論證而誤認為“等于”).若認為安培力功率等于單位時間內從直線通道出口噴出海水動能的增加值,則會出現與前述5種方法不同的結果.

在極短時間Δt內,以從進水口進入、出水口噴出的海水以及推進器通道中的海水(這部分海水的動能沒有變化)為研究對象,考慮到從進口進入的海水的速度為0,則從直通道噴出的海水增加的動能為

(19)

由式(15)(19)得安培力對直通道內海水做功的功率為

(20)

潛艇牽引力(直通道內海水所受磁場安培力的反作用力)功率為P牽=F安v0=BIcv0,則專用直流電源所提供的電功率為