考慮鋼絲繩抖振情況下的塔式吊車消擺控制方法

段佳妮, 劉惠康, 柴琳, 孫曦

(武漢科技大學信息科學與工程學院, 武漢 430081)

塔式吊車系統是廣泛運用于生產建筑中轉移和提升建筑材料的一種搬運機械[1],裝卸能力高,可高效率實現貨物的運輸。塔式吊車系統與橋式吊車、龍門吊車系統相比較,物理結構穩定性相對較低,在負載擺角較大時可能會引起塔身基礎節以及起重臂的振動,情況嚴重時可能會導致塔身標準節的損壞從而發生安全事故[2]。目前,諸多學者提出了許多的控制方法[3-5]來解決塔式吊車系統負載擺動這一問題,抑制負載擺角的效果也很不錯。但這類消擺方法均未考慮鋼絲繩連同負載發生抖振的情況,而實際工況中風阻較大,塔吊鋼絲繩較長,易連同負載一起發生抖振,在干擾頻率接近鋼絲繩的固有頻率時會發生諧振,此時現有的消擺控制方法對于擺角的抑制效果不再理想,存在安全隱患。因此,為了在考慮鋼絲繩抖振的情況下抑制塔式吊車系統的負載擺動,設計一種合理的控制策略是十分必要的。

對于塔式吊車系統水平運動時非線性抖振機理的建模,目前相關的研究較少,故在研究其他環境下振動模型的建立的基礎上來進行對比與總結。魯強光等[6]建立了橋式吊車提升狀態下鋼絲繩-電機軸的諧振力矩模型,研究了變繩長情況下諧振角的變化。周優鵬等[7]采用結合柔性臂的振動方程以及伺服關節的驅動模型的方法,針對由伺服關節驅動的柔性機械臂系統建立了耦合動力學模型,從而得到系統的轉動位移和振動響應特性。朱志輝等[8]在等效Hertz線性輪軌接觸關系的基礎上建立了列車-軌道-橋梁的動力學方程,并計算出了該時變系統的隨機振動模型。Rosenzweig等[9]運用哈密頓原理以及假設模態法,建立了以彈簧連接的耦合非線性移動雙柔性梁系統的高階近似模型,并對該高階近似模型進行了降階處理。王濤等[10]利用非線性有限元的方法研究了斜拉橋的靜力狀態與動力特性,建立了汽車-橋梁耦合動力作用下橋梁的振動方程。汪峰等[11]考慮了拉索的傾角、阻尼等多方面因素影響引入其高精度拋物線形,從而建立了橋塔-拉索-橋面連續耦合非線性振動模型,對整個系統發生共振的條件進行了研究。鄭成成等[12]對結構阻尼和剛度較小的超大跨度鋼箱梁懸索橋進行了有限元建模和動力分析,研究了懸索橋多模態渦激振動響應機理和有效抑振措施。文永蓬等[13]搭建了包含動力吸振器(dynamic vibration absorber,DVA)和調諧質量阻尼器(tuned mass damper,TMD)的車-軌-高架橋耦合振動模型,并利用DVA和TMD對高架橋進行聯合減振,對高架橋垂直方向的振動特性進行了研究。趙碧航等[14]建立了懸索結構的非線性動力學模型,研究了不同加勁梁重量下懸索橋的固有特性及其非線性動力學行為。文獻[15-16]分別建立了在完全伸直情況下以及伸縮運動情況下高空作業平臺的臂架對應的振動模型,研究了兩種不同情況下臂架的振動特性。對以上建模方法進行研究與總結后,現采用將梁的橫向彎曲振動方程與二慣量系統傳導模型相結合的方法來建模。

基于以上研究,由于滑模控制[17-21]在對非線性系統的控制方面具有較好的控制效果,同時兼具有響應快、抗干擾性強、魯棒性強等特點。在吊車系統基礎滑模控制消擺研究的基礎上,現提出塔式吊車系統水平運動時鋼絲繩-電機軸的非線性抖振機理模型,計算出諧振力矩大小相同方向相反的消諧力矩。設計陷波器來有效地濾除消諧力矩外的其他干擾,再將消諧力矩疊加到基礎的滑模消擺控制律輸出的控制力矩上,從而控制電機輸出力矩與鋼絲繩諧振產生的諧振力矩抵消,達到抑制負載擺角的控制目的。

1 塔式吊車系統動力學模型

塔式吊車系統的模型如圖1所示。

圖1 塔式吊車系統模型

考慮到塔式吊車系統的復雜程度,對θ和φ進行數學簡化處理從而得到塔式吊車系統的動力學模型[22]如下。

(1)

塔式吊車系統的動力學模型中的各狀態變量符號所代表的物理意義如表1所示。

表1 系統狀態變量

對于塔式吊車水平運動系統而言,只需考慮在水平方向上的運動,因此可以忽略系統的回轉運動,可得在塔式吊車水平運動系統的動力學模型表達式如下。

(2)

2 塔吊系統非線性抖振機理模型

對于塔式吊車系統水平運動而言,可以將其視為鋼絲繩-負載振動模型與振動系統-電機軸傳動模型的結合。

2.1 鋼絲繩-負載振動模型

鋼絲繩-負載振動模型由驅動電機、鋼絲繩以及懸掛的負載組成。可將振動系統簡化為頂部繞固定點O擺振,底端懸掛一個固定質量負載的均質梁,如圖2所示。

圖2 鋼絲繩-負載振動模型

圖2中的各個變量符號所代表的物理意義如表2所示。

表2 振動模型狀態變量

表2中的R(z,t)可表示為

R(z,t)=θ(t)z+ω(z,t)

(3)

(4)

(5)

在水平運動的過程中,當處于z=0的中性軸位置時,幾何邊界條件為

(6)

在z=l位置時的邊界條件為

(7)

式(7)中:Jm為電機轉動慣量,kg·m2。

在輸入量u為負載擺角時可得

u(t)=θ(t)=R′(0,t)

(8)

由邊界條件表達式知其振動方程是非齊次的。因此求解振動方程首先要將上述邊界條件化為齊次邊界條件。方程的解由齊次和非齊解兩部分構成,設齊次部分與非齊次部分的解分別為Rt(z,t)與Rf(z,t)。則方程的解可以表示為

R(z,t)=Rt(z,t)+Rf(z,t)

(9)

將R(z,t)代入偏微分方程中即可得

(10)

再將齊次解Rt(z,t)分別代入邊界條件中得到齊次邊界條件如下。

Rt(0,t)=R′t(0,t)=0

(11)

(12)

(13)

運用分離變量法將齊次解由時間相關函數T(t)與空間相關函數Z(z)表示,即

Rt(z,t)=Z(z)T(t)

(14)

代入式(9)中得

(15)

式(15)整理后可以表示為

(16)

得到時間相關函數為

(17)

空間相關函數為

(18)

式中:ωn為特征值大于等于零時所對應的角頻率。

將分離變量后的齊次解代入邊界條件中消除與時間相關函數有關的項后可得

Zn(0)=Z′n(0)=0

(19)

(20)

(21)

采用文獻[14]的方法對邊值問題進行求解可以得到對應特征值的歸一化振型函數表達式Z|n|(z),再根據文獻[14]中在主坐標系內表達振動方程的方式可以對應地建立起主坐標系,并得到如下表達式為

(22)

(23)

2.2 振動系統-電機軸傳動模型

在塔式吊車系統水平運動時,可將傳動系統簡化為一個具有集中質量的負載與水平驅動電機之間的二慣量傳動模型[23]。從而可以得到電機與負載之間的微分方程如下。

(24)

式(24)中的各狀態變量的物理意義如表3所示。

表3 微分方程狀態變量

由微分方程組可以得到相應的機械傳動模型圖如圖3所示。可得負載側角速度與電機輸出轉速之間的傳遞函數為

(25)

圖3 機械傳動模型

為了便于計算,且鋼絲繩阻尼一般較小,因此可以忽略不計,此時式(25)可以化簡為

(26)

(27)

3 考慮鋼絲繩抖振情況的消擺方法

將抖振機理模型與滑模控制相結合,提出一種考慮鋼絲繩抖振情況的消擺控制方法,首先設計基于解耦算法的塔式吊車滑模消擺控制器[24]。

3.1 滑模控制

(28)

(29)

最后得到解耦的結果表達式為

(30)

(31)

取μ1=ξ2,μ2=[z1z2ξ1]T,即可設計滑模面為

σ=μ1-Cμ2

(32)

式(32)中:C=[c1c2c3]。因此可得

(33)

設計控制律為

(34)

(35)

(36)

令|sI-(A1C+A2)|=0來設計A1C+A2的極點,即

(37)

取(s+k)3=0,即s3+3ks2+3k2s+k3=0,k>0。由此可得滿足極點為-k的關系式為

(38)

整理可得滑模參數C為

(39)

3.2 陷波濾波器設計

通過設計陷波器確定合適的陷波器參數消除其他未建模部分振動產生的諧波干擾。為了能方便地調節濾波器的陷波寬度和深度參數,使得陷波寬度和陷波深度互不影響,選取雙T形濾波器[25],其傳遞函數為

(40)

式(40)中:k1與k2分別為陷波深度與陷波寬度;ω0為陷波器的陷波頻段。過大的k1或k2均會導致在陷波器的中心頻率點f0處發生相角超前或滯后,因此在選取陷波器參數時應注意k1與k2的取值不能太大。假設中心頻率點對應的幅值為Hmax,陷波后的幅值為Hl。以Hl做水平線與幅頻特性曲線相交的交點所對應的頻率點分別為f1與f2,由此可求得對應的ω1與ω2,則陷波寬度為

k2=2max{(ω0-ω1),(ω2-ω0)}

(41)

當k1在[0,1]的區間內時,陷波器幅值特性呈現凹陷形狀,可以有效地減小振幅,但超過[0,1]的區間時則會呈現凸出形狀,從而失去陷波效果。因此,陷波深度k1的取值范圍為[0,1],陷波深度k1為

(42)

IIR數字濾波器的常系數微分方程為

(43)

式(43)中:ak、bk為濾波系數;R、N分別為ak與bk的長度;x(n)、y(n)分別為采集的數字信號序列與濾波器輸出信號序列。

模擬濾波器首先經過等效離散采樣,再采用雙線性變換的方法轉化為數字濾波器。由S→Z平面的映射關系表達式為

(44)

將式(44)代入傳遞函數即可推出離散傳遞函數為

(45)

式(45)經過反Z變換即可得到數字陷波濾波器對應的差微分方程式為

y(n)=-a1y(n-1)-a2y(n-2)+b0x(n)+b1x(n-1)+b2x(n-2)

(46)

式(46)中:各參數表達式為

(47)

3.3 整體消擺控制器設計

在滑模消擺控制的基礎上考慮鋼絲繩抖振情況的塔式吊車系統負載擺角抑制原理圖如圖4所示。

為滑模控制律計算出的電機力矩;Φ*為給定磁鏈;分別為參考直軸電流與參考交軸電流;id、iq分別為電機的直軸電流與交軸電流;為電機輸出的三相定子電流;TeΣ為電機輸出轉矩; f(-Teh)為非線性抖振機理模型計算出的補償力矩

可以看出,在塔式吊車系統消擺控制的基礎上,將經過滑模消擺控制后輸出的擺角與電機的轉動慣量和繩長結合起來作為非線性抖振機理模型的輸入。通過搭建的非線性抖振模型計算出鋼絲繩抖振后產生的力矩傳導到驅動電機上的抖振力矩大小,再取與抖振力矩大小相同方向相反的力矩作為補償力矩。此時,電機中除了補償力矩外,還存在塔式吊車系統內其他未建模部分振動所產生的諧波。對電機輸出的三相定子電流進行快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)分析后設計陷波濾波器,濾除補償力矩外的其他諧波干擾。再將補償力矩疊加到基礎滑模消擺控制律計算出的控制力矩上,控制電機輸出力矩與塔式吊車系統鋼絲繩上抖振產生的抖振力矩相抵消除,從而抑制負載擺角。

4 仿真結果

為了驗證所提出的控制方案的有效性與正確性,在Simulink中建立相應的模型進行多次仿真。仿真時長設定為25 s,重物質量為0.5 kg,繩長為0.5 m。電機轉動慣量為0.19 kg·m2,負載轉動慣量慣量為0.75 kg·m2,傳動軸剛度系數為200 N·m/rad。

由傳遞函數可以得到對應諧振方程的Bode圖,如圖5所示。

圖5 諧振方程Bode圖

觀察圖5中傳遞函數的幅頻特性可知,系統存在一個增益最大的諧振頻率點為

(48)

在該諧振頻率點處的高增益會導致系統不穩定[26],發生諧振,從而對鋼絲繩的諧振產生干擾。因此,在施加干擾時應盡可能使干擾頻率遠離傳遞函數自身的諧振頻率點,避免該諧振頻率點對鋼絲繩諧振的干擾。

按得到的控制律和滑模參數進行仿真后,輸出的負載擺角響應曲線如圖6所示。

圖6 擺角響應曲線

圖6中,滑模控制后負載擺角正向最大為1.18°,反向最大為1.06°,均較小。

在考慮鋼絲繩抖振的情況下,以上述滑模消擺控制輸出的擺角為基礎,在電機側施加一個干擾力模擬塔式吊車系統內其他未建模部分振動所產生的諧波干擾,在塔式吊車系統懸掛的負載上水平施加不同頻率的干擾力模擬實際工況中的不同干擾的情況,得到的擺角對比結果如圖7所示。

圖7 不同頻率干擾下擺角對比圖

如圖7(a)所示,在懸掛的負載上分別施加幅值為1.9,初始相位為0°,干擾頻率為0.398、0.684、0.796 Hz的正弦函數干擾時,所產生的擺角差別較為明顯。干擾頻率為0.684 Hz時平穩后的正反向擺角都達到了8.53°并持續發散震蕩,而另外兩組干擾頻率產生的正反向擺角在平穩后分別為3.36°與1.96°,均明顯小于8.53°。在圖7(b)中,取兩組接近0.684 Hz的干擾來進行擺角對比。取干擾頻率分別為0.630、0.684、0.720 Hz,此時鋼絲繩所產生的擺角均較大,但在干擾頻率為0.630 Hz與0.720 Hz時擺角均成收斂趨勢且均比干擾頻率為0.684 Hz時產生的擺角小。因此可知干擾頻率0.684 Hz最接近鋼絲繩的諧振頻率,也就是在干擾頻率為0.684 Hz時鋼絲繩處于諧振狀態,負載擺角最大,有失控的危險。

4.1 諧振頻率點處仿真

在干擾頻率為0.684 Hz時,鋼絲繩連同負載發生諧振,調制與諧振力矩大小相同方向相反的補償力矩疊加到滑模消擺控制律計算出的控制力矩上后,此時電機輸出的三相定子電流中含有來自此力矩產生的諧波電流以及模擬系統內其他未建模部分振動產生的諧波。消諧前后的仿真對比圖如圖8所示。

圖8 消除諧振前后對比圖

如圖8所示,以a相電流為例,圖8(a)中消諧前a相電流中含有補償力矩產生的諧波電流以及施加的模擬系統內其他未建模部分振動產生的諧波,諧波含量較高,總諧波失真(total harmonic distortion,THD)為14.03%,大于4%。圖8(b)中消諧后諧波含量明顯減少,THD值小于4%。此外,圖8(c)中消諧前a相電流含有明顯的毛刺,圖8(d)中消諧后毛刺減少,正弦度明顯提高。圖8(e)中消諧前后負載擺角明顯減小,消諧前穩定時負載正反向擺角都達到了8.53°,消諧后穩定時負載正反向擺角減小到了1.55°左右,驗證了所提出方法的有效性。

4.2 非諧振頻率點處仿真

由仿真結果可知,在非諧振頻率點時,鋼絲繩連同負載仍存在抖振,越靠近諧振頻率點負載擺角越大。因此,分別取上述兩組產生較大擺角的干擾頻率0.630 Hz和0.720 Hz進行仿真,仿真結果如圖9所示。

圖9 靠近諧振頻率點處消振前后擺角對比圖

圖9(a)中,在干擾頻率為0.630 Hz時,消振前穩定時正、反向擺角為6.73°,經過消振處理后穩定時正、反向擺角減小到了1.98°。在圖9(b)中,在干擾頻率為0.720 Hz時,消振前穩定時正、反向擺角為5.16°,經過消振后穩定時正、反向擺角減小到了1.57°。該仿真結果證明在靠近諧振頻率點處提出的控制方法依然有效。

在遠離諧振頻率點時,負載擺角較小,未達到諧振條件。取0.764 Hz的干擾頻率來進行仿真實驗,仿真結果如圖10所示。

圖10 遠離諧振頻率點處消振前后擺角對比圖

圖10中,在消振前穩定時負載正、反向擺角為2.59°。經過消振處理后,在穩定時負載正、反向擺角減小到了1.37°,仿真結果證明在遠離諧振頻率點時提出的方法依舊可以減小負載擺角。

5 實驗結果

在Simulink中建立仿真模型進行仿真后,搭建了塔式吊車系統的實驗平臺,來進一步驗證所提出的控制方法的有效性。

塔式吊車系統實驗平臺主要由機械結構、驅動電機、傳感器以及上位機組成。其中機械結構部分包括底座、基礎節、起重臂、臺車以及懸掛的負載等。驅動電機則包含水平驅動電機(XD68KTYZ-BC-S1)、提升電機(XD70KTYZ-BC-S1)以及旋轉電機(1FK7042-2AF71-1RA0)。傾角傳感器的型號為SDA128T-30-A1(標準外殼封裝/雙軸/水平安裝/30°測量范圍/4～20 mA輸出電流),在負載運動時驅動電機提供驅動力,其編碼器同時記錄位置信息,傾角傳感器測量鋼絲繩上的擺角數據,并將數據信息反饋給上位機。上位機通過MATLAB/Simulink軟件結合驅動器即可實現對鋼絲繩擺角的控制。整體實驗平臺如圖11所示。

圖11 塔式吊車系統實驗平臺圖

實驗中鋼絲繩長為0.6 m,懸掛負載質量為3 kg,小車從0 m水平運動到0.7 m,為了使實驗效果更加明顯,令塔式吊車系統順時針旋轉,在水平方向施加一個干擾頻率為0.580 Hz的持續干擾力,以未加控制方法、僅施加滑模消擺控制以及施加所提出的控制方法3種情況來采集負載擺角數據并作整理。將3種情況下的負載擺角數據進行采集并在Origin中整理后得到圖12。

圖12 實驗結果圖

由圖12可知,除機械不光滑對負載擺角的輕微影響外,消振后穩定時負載正向擺角在1.31°左右,反向擺角在1.03°左右,與仿真結果大致相同。未加任何控制算法時負載正向擺角達到了5.99°,反向擺角達到了4.06°。僅施加滑模消擺控制算法時負載正向擺角為3.12°,反向擺角為2.45°。由以上實驗數據可得,經過消振控制后負載擺角明顯減小,從而證明所提出考慮鋼絲繩抖振情況下的消擺控制方法的實用性。

6 結論

針對塔式吊車系統水平運動時鋼絲繩連同負載抖振導致現有的消擺控制方法對于擺角的抑制效果不理想、存在安全隱患這一問題,提出了一種考慮鋼絲繩抖振情況下的消擺方法,建立了由鋼絲繩到驅動電機的電機軸之間力矩傳導的非線性抖振機理模型。考慮到了系統內的機械振動以及實際工況時外界多方面的干擾,有效地抑制了鋼絲繩的擺角。仿真和實驗結果表明該方法的有效性與實用性,控制性能良好。未來將考慮對塔式吊車系統水平運動與升降運動以及回轉運動相結合的情況作進一步研究。