中間法三角高程測量代替水準測量的可行性分析

雷力軍，王志文

（中交第一航務工程勘察設計院有限公司，天津300222）

引言

高程測量是工程測量中的重要一環，在施工放樣、變形監測、地基勘察等項目中往往涉及到高程測量，已是測繪者必須掌握的測繪技能之一。目前高程測量主要采用的方法為水準測量[1]，該方法測定的高程精度最佳，是精密工程測量、高級控制網普遍采用的方法。但水準測量也有突出的缺點，水準測量的工作量大、參與人員多、成本高、測量耗時長、測量工作進展十分緩慢，特別在高地、山區等地表起伏比較大的地區顯得尤為突出，因此尋找出一種靈活、便捷、成本低、受地形限制少的高程測量手段，一直是測量領域研究的熱點、難點[2]。

三角高程測量具有水準測量無法企及的優點，它具有測量速度快、耗時短、方便靈活、視線長、小成本、減小系統誤差累計、受地形影響小等優 勢[3-5]。因此研究分析三角高程測量能夠達到怎樣的精度水平以及在什么條件下可以取代水準測量，這些問題這在實際工作中顯得尤為突出，是我們測量工作者必須攻克的難點。

1 中間法三角高程測量原理和誤差改正

1.1 中間法三角高程測量原理

三角高程測量在以前就被提出，但由于當時的測量技術落后，測量儀器的測角、測距誤差很大，因此該方法沒被重視。隨著測繪技術的發展，測量儀器越來越精密、精度越來越高尤其是測角、測距精度有了長足提升，這使得三角高程測量技術成為了可能，在測量精度方面能夠達到水準測量水平[6-8]。此外，三角高程測量靈活、方便、高效、受地形限制少的特點，使得三角高程方法具有廣闊的推廣前景以及市場價值，其測量原理圖如下[9]。

圖1 中間法三角高程測量示意圖Fig.1 Principles of elevation survey by Trigonometric Leveling using midway-method

假設在地面上存在兩點A 和B，將全站儀架設在AB 中間位置C 點，在A、B 兩點安裝覘標。使用全站儀照準B 點的覘標，測量出垂直角αCB、CB兩點之間的斜距測量值SCB、全站儀高i和B 點覘標高vB，然后再使用全站儀照準A 點的覘標，測量出垂直角αCA以及CA 之間的斜距測量值SCA和A點覘標高vA。則通過幾何計算可以分別得到CB 和CA 之間的高差值：

由上述兩式可得A、B 兩點之間的高差：

若是在A、B 兩點上的覘標高度一致，公式（3）可以進化成如下：

由公式（4）可知，測量結果消除了全站儀高i和A、B 點覘標高v對高差測量有影響，提高了觀測精度。

1.2 球氣差改正

1）球氣差改正原理

三角高程測量一般把水準面看作平面，把視線作為直線。然而大地水準面是曲面而不是直線，因此地球曲率必然會給高差測量造成誤差尤其兩觀測點之間的距離比較遠時，該誤差尤為突出。當光線通過密度不一致的空氣時，光線不會在沿直線傳播而會發生折射，也就是從儀器出發的光線到目標點之間的路線不是直線，而是一條既有曲率又有撓率的復雜空間曲線[1,2]，地球曲率和大氣折射的影響原理如圖2 所示。

圖2 地球曲率和大氣折光的影響原理圖Fig.2 Principle of the influence of Earth curvature and atmospheric refraction

如圖2 所示，假設地面上存在兩點A 和B，把全站儀架設在A 點，量取儀器高為i1；在B 點架設硯標，并測量硯標高度v2；然后使用全站儀照準硯標獲取水平距離S0。

圖2 中，PC 線段代表全站儀所提供的水平視線；PN 曲線代表光線從全站儀望遠鏡出發到目標點的傳播路徑；PM 代表的是過點P 的曲線PN 的切線；PE、AF 曲線分別代表過P 點和A 點的水準面；R 代表的是參考橢球面的曲率半徑。

當架設在A 點的全站儀，其望遠鏡照準的方向與線段PM 重合時，由于光線受到大氣折射的影響，其傳播路徑并不會沿著線段PM 而是會沿著曲線PN 傳播，此時的N 點正好會落在望遠鏡的橫絲上，換言之，架設在A 點的全站儀所測的垂直角為P 點與M 點之間的垂直角為α12。

由圖2 可明確的計算出地面兩點A、B 之間的高差的計算公式：

在公式（5）中，EF代表的是全站儀儀器高i1；NB代表的是硯標高度v2；CE代表地球曲率對高差影響的改正值；MN代表大氣折射對高差測量的影響改正值；

地球曲率和大氣折光對測量的影響改正值的影響改正計算公式如下：

公式（7）中的R′表示的是曲線PN在點N處的曲率半徑。在此，設(K 表示大氣折光系數)，因此可以得到：

在進行三角高程測量時，由于點A 和B 之間的距離一般不會很長，因此，AB 之間的水平距離S0與曲率半徑之間的比值比較小，因此可以認為PC垂直OM，換言之，∠PCM≈90°。所以三角形ΔPCM可以認為是直角三角形，因此公式（5）中的MC可以表達如下：

公式（11）中S0表示的是高斯平面上的水平距離，當測量儀器測量的距離為斜距S 時，其高差計算公式為：

2）球氣差對測高的影響值

由公式（12）可知，球氣差對測量高差的影響除了受到測距的影響之外，還會受到垂直角的影響。為了獲知當球氣差對測量高程的影響程度，本文計算了球氣差改正值隨著測距長度和垂直角變化的變化值，由圖3 所示。在計算過程中，取大氣折射系數取值為0.12。

圖3 球氣差對測量高程的影響值Fig.3 The influence value of Refraction abnormity on measuring elevation

從圖3 可以明顯的看出，當斜距一定時，球氣差對測量高差的影響隨著垂直角的增加而減小。當垂直角一定時，球氣差對測量高差的影響隨著斜距的增加而增大。當斜距小于100 m 時，地球曲率對測量高差的影響不受垂直角的影響，當垂直角大于85 °時（斜距小于1 000 m），此時地球曲率對測量高差的影響可以忽略不計。

2 中間法三角高程測量精度分析

2.1 中間法三角高程測量中誤差求解

由上述公式可知中間法三角高程測量的計算公式如下：

如果兩棱鏡高的高度相同，則公式（13）則可進一步得：

公式（15）中，α1、α2表示前視后視的垂直角；S1、S2表示前視后視的斜距；忽略其中的微小項可得如下：

佛性是佛教理論中的基本觀念，這一觀念無論在印度佛教還是中國佛教發展史上都具有重要影響。諸多佛教經典都有過對佛性的相關論述，也有不少佛教流派或宗派對佛性做出過種種解釋。佛性含義十分豐富，內容也極為復雜，本文所指佛性為大乘佛教中普遍接受的思想，基于大乘佛教佛性論中一切眾生皆有佛性，一切眾生皆可成佛的觀點，在成佛之路以及由佛性引發的現世價值方面做一基本闡述。

由公式（16）中可以看到S1?cosα1以 及S2?cosα2，該兩個變量分別表示前后視距的平距，為了簡化誤差分析的復雜性，以平距來表示測距誤差，則公式（16）可改為如下所示：

由公式（17）可以得知：在進行中間法三角高程測量時誤差來源分為平距測量、豎直角測量和K值的誤差，它們對高差的影響分別如下：

2.2 中間法三角高程測量中誤差的變化情況

為探索中間法三角高程測量中誤差的變化情況以及其能夠達到怎樣的精度水平。現取兩倍的中誤差作為極限誤差，也就是 Δ限=2mh，與有關規范中規定的三、四等水準測量限差進行比較。在實際應用中由于視線等問題，測量時前后兩棱鏡高度不可能一直保持相同，故首先考慮前后兩棱鏡高度不一致的情況，根據公式（13），由誤差傳播定理可得：

此時的中間法三角高程測量中誤差平方中包含測角中誤差、測距中誤差以及大氣折射中誤差和棱鏡測高誤差，因此影響中間法三角高程測量中誤差的因素有：測距、測角、大氣折射和棱鏡測高。

就目前常規的全站儀精度而言，其測距精度一般為±（1+1× 10-6D）～（5+5× 10-6D），其中D 表示測距長度（單位：km），而測角精度一般為±0.5”～6.0”。對于全站儀高以及棱鏡高的量取，一般采用卡尺進行測量，當要求的精度比較高時，可以采用測桿量取。大氣折射系數K 的誤差一般在±0.03～0.05 之間。在本論文中選取全站儀的測距精度為±（2+2× 10-6D）、測角精度為2”、大氣折射系數誤差為±0.04、儀器高和目標高的測量誤差為±2 mm，以這些指標進行本文論的理論研究。

現取兩倍的中誤差作為極限誤差，Δ限=2mh，與三、四等水準測量限差比較。

由表1 可以看出：中間法三角高程測量的中誤差受到測距、測角的影響，當測距越小、垂直角越小，則中間法三角高程測量精度越高。因此，為了提高測高精度，在進行中間法三角高程測量時盡量縮短測距和測角。由表1 可以看出，測距在800 m以內時，中間法三角高程測量可以滿足四等水準測量限差要求。

表1 中間法三角高程測量極限誤差與三、四等水準測量限差對比Tab.1 Comparison of the Limit Errors of Intermediate Trigonometric Elevation Measurement with the Limit Errors of Third and Fourth Leveling Measurement

由表1 中的結果也可以看出，當測距一定時，測距中誤差對測量中誤差的影響隨著垂直角的增加而增加，而當垂直角一定的時，測距中誤差對測量中誤差的影響隨著測距的增加而增加。

3 工程實例應用

我公司于2022 年承擔了北方某港口泊位及航道水深測量項目，項目中臨時驗潮站高程需從附近高程控制點（A 點）進行引測，但在進行驗潮站高程引測之前，需對A 點的穩定性進行檢測，距離A點最近的另一個高程控制點（B 點）相距為4.5 km。AB 高程控制點間有半島山地、地形高差起伏較大，又需經過回填區域，回填區內常有溝溝坎坎的復雜地形，采用常規水準測量方法進行高程控制點檢測勢必費時費力，為加快工期進度及節約人力、物力等各項生產成本，本項目高程控制點檢測采用中間法三角高程測量方法進行。

使用徠卡TCA 2003 全站儀進行測量，其精度指標如下：

測角精度：±0.5″；

測距精度：±(1+1× 10-6D) mm；

D 代表距離單位為km，具有目標自動照準功能。

在進行中間法三角高程測量時，盡量把全站儀架設在兩測點中間，采用兩個觀測測回，即(盤左)– 前(盤左) -前(盤右)– 后(盤右)的測量程序。為減小外界環境對測量結果的影響，選取下午2 h 至4 h進行數據采集，這個時間段觀測條件比較穩定，可以提高數據采集的質量，減小測量誤差，高差檢測統計表見表2。

表2 高差檢測統計表Tab.2 Statistical table for height difference detection

由表2 數據可知高程控制點穩定，可作為高程起算點使用。同時驗證了中間法三角高程測量可在實際工程中能代替四等水準測量，滿足日常測量需要。

4 結語

本文分析了中間法三角高程的基本原理、誤差來源和改正模型。在理論證明了其測量精度可達四等水準測量，并通過具體實際工程應用驗證了中間法三角高程測量的可行性，可滿足日常測量工作需要。