化無形為有形 促進深度理解*

? 江蘇省南京市金陵匯文學校 田 禹

眾所周知,數學知識具有高度的抽象性、概括性,若教學中僅通過講授的方式來呈現這些內容,學生對知識的理解可能一知半解,不僅影響知識的靈活應用,而且容易滋生學生的畏難情緒,影響課堂教學效果.這些看似抽象的數學知識源于生活,是可以被觀察、被感知的,并不是那么“高不可攀”.不過,根據調研發現,學生在學習幾何知識時容易將其與圖形建立聯系,但是在解決代數問題時,常常與形割裂開來,難以體現數學的形象化和真實性,使得學習中出現漏缺,影響知識的理解深度.為了改變這一局面,教師應重視將代數知識圖形化,借助圖形的直觀幫助學生架設抽象與現實的橋梁,讓學生深度理解知識,提高教學有效性.筆者就如何搭建幾何直觀談幾點自己的看法,若有不足,請批評指正!

1 數學概念直觀化

數學概念是構建知識體系的核心要素,是學生學好數學的關鍵.而數學概念是對數學對象的本質特征的高度概括,具有高度的抽象性和概括性.為了讓學生深刻理解這些抽象知識,教師不妨將其與幾何意義或代數意義相結合,讓學生在具體情境中主動地抽象與概括,以此深刻理解知識.

在概念教學中,大多教師為了讓學生能夠理解概念,會通過口頭表述的方式幫助學生理解和記憶,這樣雖然表面上能夠加速學生理解概念的進程,但是無疑會讓學生產生一定的依賴,不利于學生自主學習能力的提升.同時,口頭表述可能難以讓學生形成深刻的印象,這樣隨著時間的推移,學生很容易產生遺忘,影響后期的學習效果.在概念教學中,教師若能用圖形語言進行進一步的詮釋,讓學生多層級地理解數學概念,定能達到事半功倍的效果.

案例1絕對值的概念

在絕對值的概念教學中,大多教師會直接給出概念,然后給出具體練習讓學生模仿,這樣學生雖然能夠正確地解答問題,但是很難深入理解概念.基于此,教師在引入概念前,利用貼近學生生活的情境,將抽象的概念與現實生活建立聯系,幫助學生理解概念.情境如下:

周末,媽媽讓小明和小華分別去水果店和超市買東西,去水果店需要向東走200 m,去超市需要向西走200 m,按照約定,小明去水果店,小華去超市,買到東西后原路返回.規定向東為正,向西為負,小明和小華從家出發,到達目的地的距離可以怎么表示?從目的地到家的距離又該如何表示呢?為了解決這一問題,教師鼓勵學生在數軸上畫一畫,并讓學生思考這樣兩個問題:(1)200和-200是一對相反數,它們到原點的距離存在怎樣的關系?(2)你是如何理解負數對應的點到原點的距離的?這樣通過觀察、討論,可以順勢引入絕對值的概念.

這樣以生活情境為依托,借助數軸的直觀,讓學生對絕對值的概念有直觀化理解,可以進步促進概念的深化.

2 數學公式直觀化

初中階段,學生會學習許多數學公式,它是我們解決數學問題的重要依據,是構建數學知識體系的基本要素.從傳統教學習慣和學習習慣來看,大多師生不重視公式的形成過程和蘊含其中的思想方法,片面認為公式能默寫會應用就可以了.殊不知,若想真正理解和掌握公式,還應引導學生從不同視角構建對公式的多元化認知,讓學生通過多角度探究獲得深度理解,這是學生靈活應用公式解決現實問題的必經之路.對于一些和代數相關的公式證明,教師不妨引導學生從圖形的角度去詮釋,這樣不僅便于學生理解和掌握,而且可以降低邏輯推理的難度,為邏輯推理能力較弱的學生提供有效的學習途徑,促進學生學習能力的提升.

案例2平方差公式

在“平方差公式”教學中,大多教師經常引導學生利用多項式乘多項式的方法進行推導,因為該方法是學生易于理解和掌握的,但是若教學中僅局限于一種方法,會使學生對公式的理解比較狹窄,影響學習效果.基于此,為了讓學生對公式獲得多維度的認知,教師可以結合圖形進行直觀呈現,從而讓學生更好地理解數學、應用數學.

教學中,教師設計了這樣一個動手拼的活動:首先讓學生先剪一個大正方形紙片,然后在大的正方形紙片上剪下一個小的正方形(如圖1),讓學生思考剩余圖形的面積.學生結合圖形及正方形和長方形的面積計算公式易于給出如下推導過程:a2-b2=a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b).當然,剪拼的方式有多種,教師還可以預留時間讓學生通過不同的剪拼方式來推導平方差公式.不過選擇的剪拼方式不同,對思維的難度要求也不同,教師可以結合教學實際進行適度引導,以此幫助學生積累豐富的圖形直觀經驗,提高學生實踐能力.

圖1

這樣借助直觀圖形進行公式的推導,使代數公式變得更加形象化、直觀化,在深化公式理解的同時,讓學生感受代數與幾何的內在統一,有利于培養學生的數形結合意識.

3 數學法則直觀化

數學法則有許多,它是我們用數學的重要依據.對于這些法則,只有獲得正確的、全面的、深刻的理解,才能使其成為我們解決生活實際問題的重要工具.在數學教學中,教師可以嘗試引導學生從不同途徑進行闡釋,自主感悟蘊含其中的規律,實現知識的內化.例如,教師可以引導學生借助圖形來解釋規則,借助圖形的直觀讓學生較為清晰地辨別法則的語義特征,通過具體到抽象再到具體的過程,讓學生的思維逐漸由感性認知上升至理性認知,提升學生數學素養.

案例3多項式乘多項式的法則

在該法則教學中,教師給出圖2讓學生觀察,然后讓學生思考“如何求大長方形的面積?”學生獨立解答,教師巡視,然后對學生的解題方法進行總結歸納.方法如下:

圖2

方法一:直接應用長方形的面積計算公式,可得S=(a+b)(p+q).

方法二:將大長方形看成由4個小長方形拼接而成,所以有S=ap+aq+bp+bq.

方法三:將大長方形看成由2個橫向的長方形拼接而成,所以有S=p(a+b)+q(a+b).

方法四:將大長方形看成由2個縱向的長方形拼接而成,所以有S=a(p+q)+b(p+q).

大長方形面積的計算方法雖然不同,但是其結果是相同的,這樣根據面積不變性,即可得到多項式乘多項式的法則.

在數學法則的教學中,要善于將圖形和法則聯系起來,借助數的嚴謹性和形的直觀性讓學生深刻理解法則,提升教學有效性.

4 數學運算直觀化

數學運算隸屬程序性知識,一般情況下,學生只要按照程序化操作就能得到預期結果.不過,若教學中僅讓學生按部就班地機械操作,很容易固化學生的思維,這樣學生在面對一些常規方法難以解決的問題時,往往會不知所措.在面對那些無法應用常規方法解決的問題時,教師應引導學生轉換思維,換個角度去思考,尋找合適的解決策略.為了幫助學生完成復雜運算,教師可以利用圖形將原本零散的知識建立聯系,從而找到解決問題的新思路.

該案例是一個分式運算,若利用常規方法,通過通分的方式來求解,顯然運算過程是非常煩瑣的.基于此,教師不妨引導學生將面積為“1”的圖形進行分割,從而將問題轉化為圖形面積的累加問題.在該思想方法的引導下,學生可以借助圓進行輔助計算.

圖3

案例4是一道需要進行簡便運算的計算題,當學生利用“通法”難以解決問題時,教師引導學生利用圖形進行輔助計算,以此高效地解決了問題,開闊了學生的視野.

總之,若想對知識達成深層次的理解,單憑講授是難以達成的,教師應引導學生對相關知識進行多角度思考,幫助學生跳出習慣性思維的束縛,讓學生達成持久性的理解,以此提升課堂教學品質,提升學生數學素養.