初中數(shù)學(xué)教材中“二次函數(shù)”內(nèi)容的設(shè)計(jì)與分析*
——以“人教版”“康軒版”“singlee版”為例

? 合肥師范學(xué)院 吳 陽 王家正

“函數(shù)”作為初中階段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的三大主題之一,是學(xué)生初步形成抽象能力和推理能力的重要載體.在“函數(shù)”內(nèi)容中“二次函數(shù)”是教學(xué)的難點(diǎn),也是學(xué)生理解的難點(diǎn),根本原因在于二次函數(shù)的學(xué)習(xí)需要學(xué)生具備一定的數(shù)形結(jié)合思維,而初中生對“數(shù)”和“形”的認(rèn)識還存在一定的困難.本文中選取人民教育出版社(以下簡稱“人教版”)、中國臺灣康軒文教事業(yè)版(以下簡稱“康軒版”)及新加坡singlee版(以下簡稱“singlee版”),就“二次函數(shù)”內(nèi)容的設(shè)計(jì)進(jìn)行梳理及分析.

1 三個版本的教材梳理

“人教版”教材在學(xué)習(xí)二次函數(shù)概念的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)圖象學(xué)習(xí)性質(zhì).章頭圖以噴泉噴水畫面為情境,呈現(xiàn)噴出的水珠曲線形似二次函數(shù)圖象,并帶著三個情境問題進(jìn)入本章的學(xué)習(xí).設(shè)計(jì)思路如下:第一課時“二次函數(shù)”,通過對章封面三個問題的解答,引入二次函數(shù)的概念、表達(dá)式.第二課時“y=ax2的圖象和性質(zhì)”,利用描點(diǎn)法畫出a取不同值的函數(shù)圖象,總結(jié)出a>0及a<0時圖象的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)等性質(zhì).第三課時“y=a(x-h)2+k的圖象和性質(zhì)”與第四課時“y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)”設(shè)計(jì)思路同上.第五課時“二次函數(shù)與一元二次方程”,在引入問題情境的基礎(chǔ)上,探討函數(shù)與方程根的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生從二次函數(shù)的角度認(rèn)識一元二次方程,通過二次函數(shù)y=ax2+bx+c,深入探討一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式.第六課時“實(shí)際問題與二次函數(shù)”,利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),刻畫實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系,從而獲得實(shí)際問題的答案.

“康軒版”教材從一幅插圖入手,插圖呈現(xiàn)投籃時球所經(jīng)過的路徑,引入“拋物線”這一概念.設(shè)計(jì)思路如下:第一課時“二次函數(shù)的意義”,在回顧一次函數(shù)概念的基礎(chǔ)上,通過正方形邊長與面積的關(guān)系闡釋二次函數(shù)的概念.第二課時“二次函數(shù)的圖形”,分別介紹了y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k四種不同形式下二次函數(shù)的圖形,先對不同系數(shù)下的解析式通過描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖形,再歸納總結(jié)其性質(zhì).第三課時“配方法與二次函數(shù)的圖形”,利用第三冊學(xué)過的配方法將二次函數(shù)的一般式化成形如y=a(x-h)2+k的式子,進(jìn)而掌握它的圖形.第四課時“二次函數(shù)的最大值與最小值”,以y=a(x-h)2+k(a>0)為例,由x-h=0時判斷出函數(shù)的最小值,再推出二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是函數(shù)圖形的最低點(diǎn).第五課時“二次函數(shù)圖形與兩軸的交點(diǎn)”,根據(jù)x,y軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)分別為0,得出圖形與x,y軸的交點(diǎn)坐標(biāo);由判別式Δ=b2-4ac、圖形的頂點(diǎn)及開口方向,判斷圖形與x軸交點(diǎn)的個數(shù).第六課時“應(yīng)用問題”,以函數(shù)數(shù)問題為例并解答,給出應(yīng)用二次函數(shù)求解實(shí)際問題的解題步驟,即設(shè)未知數(shù)、列式、求值、作答.

“singlee版”教材第二、三冊均涉及二次函數(shù)的內(nèi)容,其中第二冊“二次函數(shù)的圖象”,通過三個探究、四個例子探索二次函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì).設(shè)計(jì)思路如下:探究1,借助正方形的面積與其邊長之間的關(guān)系,利用幾何軟件呈現(xiàn)y=x2的圖象,引出二次函數(shù)這一概念.探究2,同樣先用繪圖軟件分別繪制出y=x2,y=-x2的圖象,再探究圖象的性質(zhì),引出二次函數(shù)的一般形式.探究3,在幾何軟件上通過改變一般式中a,b,c的值,得出系數(shù)和圖形形狀、位置的關(guān)系.四個例子分別對圖象與兩軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求解、a>0時一般式圖形的繪制、a<0時一般式圖形的繪制、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用給出解決方案.第三冊“二次函數(shù)的圖象”,繼續(xù)學(xué)習(xí)形式為y=(x-h)(x-k),y=-(x-h)(x-k),y=(x-p)2+q,y=-(x-p)2+q的圖象和性質(zhì),方法同第二冊一般式的學(xué)習(xí),通過使用繪圖軟件呈現(xiàn)出各形式的圖形,再結(jié)合圖象探究其性質(zhì).

2 分析

在整個單元中,二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是重點(diǎn),也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的突破口.通過上述三個版本的編排可以看出,二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的教學(xué)方式有兩種形式:一種是借助二次函數(shù)各形式間的關(guān)系,按從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的順序來探討;另一種是運(yùn)用類比推理,先掌握探索一般式下圖象和性質(zhì)的方法,再以此方法繼續(xù)討論二次函數(shù)的交點(diǎn)式、頂點(diǎn)式,注重知識的系統(tǒng)性.如“singlee版”教材,從探索y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)到探究y=(x-h)(x-k),y=(x-p)2+q,優(yōu)點(diǎn)是利于學(xué)生將新知識納入到已有的知識體系中,從而建立起知識間的聯(lián)系.關(guān)于二次函數(shù)各形式的呈現(xiàn)順序,三版教材并無二致.“人教版”“康軒版”教材均從y=x2開始,利用平移關(guān)系接著探討y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,再通過配方法將一般式y(tǒng)=ax2+bx+c化為y=a(x-h)2+k的形式,進(jìn)而掌握它的圖象和性質(zhì),其優(yōu)點(diǎn)在于結(jié)合二次函數(shù)各形式間的關(guān)系,在揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系的同時,也強(qiáng)化了學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解.

“人教版”教材將二次函數(shù)分為三大板塊,即二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程、實(shí)際問題與二次函數(shù).相比于“康軒版”和“singlee版”,“人教版”將二次函數(shù)與一元二次方程單獨(dú)作為一課時,引導(dǎo)學(xué)生理解一元二次方程與二次函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系.如,二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程的根;由一元二次方程根的情況,可以確定二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系;一元二次方程中x的值最多有兩個,而二次函數(shù)中x,y之間的對應(yīng)值有無數(shù)組.經(jīng)歷知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程可以使學(xué)生感受知識是如何生長出來的.教材這樣的教材安排,有助于學(xué)生實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化,利用函數(shù)與方程的思想解決問題.

“康軒版”教材的特點(diǎn)在于增設(shè)了“二次函數(shù)的最大值與最小值”“ 二次函數(shù)圖形與兩軸的交點(diǎn)”這兩小節(jié),從二次函數(shù)的圖形特征、一元二次方程的公式解及判別式出發(fā),再回到函數(shù)性質(zhì)中去,讓學(xué)生經(jīng)歷借助直觀圖形理解抽象的二次函數(shù)的過程.對比“人教版”,兩版教材都將方程與函數(shù)思想貫穿于教材中.不同的是,“康軒版”教材先通過判別式Δ=b2-4ac來判斷一元二次方程根的個數(shù),再由求根公式得出圖形與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo),強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)性質(zhì).“人教版”教材則是通過二次函數(shù)圖象看出其與x軸的位置關(guān)系,進(jìn)而確定一元二次方程根的情況,強(qiáng)調(diào)函數(shù)圖象與性質(zhì)的聯(lián)系.

數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩大支柱,用信息技術(shù)勾勒圖形、研究圖形,可以把代數(shù)原理形象地表達(dá)出來.“singlee版”教材巧妙地將信息技術(shù)應(yīng)用于教學(xué)中,并在教材中提供電子資源網(wǎng)址供學(xué)生探索,借助其形象、直觀、生動的特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生觀察不同參數(shù)下圖形的變化.教材探究的思路與“人教版”“康軒版”類似,都是先呈現(xiàn)同一變量不同取值下的圖形,再觀察其形狀、位置的變化,最后得出二次函數(shù)的性質(zhì).但不同的是,該版本中圖形的呈現(xiàn)不依附于教材,而是通過幾何軟件實(shí)現(xiàn),其開口方向、對稱軸、最值、截距也一目了然,使抽象難懂的二次函數(shù)生動形象地展示給學(xué)生,學(xué)生更易發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學(xué)規(guī)律.

3 幾點(diǎn)啟示

“二次函數(shù)”這部分教材內(nèi)容,主要涉及二次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)以及其他相關(guān)知識,同時也涉及相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的研究.教師通過引入實(shí)際問題幫助學(xué)生形成函數(shù)概念,引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)知識的過程.在研究函數(shù)性質(zhì)時,并非直接將性質(zhì)呈現(xiàn)給學(xué)生,而是借助直觀圖形學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì),通過圖象探索函數(shù)與方程的關(guān)系,以此體會數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用,進(jìn)而促進(jìn)抽象思維的形成.

“人教版”和“康軒版”教材都有從函數(shù)的角度來討論一元二次方程.兩版教材都是將函數(shù)圖象與方程的解(根)進(jìn)行聯(lián)系.這種螺旋上升的編排結(jié)構(gòu)可以使方程與函數(shù)有機(jī)結(jié)合,層層深入,滲透函數(shù)與方程思想,有助于學(xué)生實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程之間的相互轉(zhuǎn)化.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代,教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果.對于“singlee版”教材使用幾何軟件輔助學(xué)生學(xué)習(xí),教師在實(shí)際教學(xué)中有效融入信息技術(shù),可以幫助學(xué)生從多方位認(rèn)識函數(shù)的特點(diǎn),把握函數(shù)的本質(zhì).