巧作輔助線(xiàn) 活解壓軸題
——由2021年常德市中考第26題引發(fā)的思考

2024-03-21 00:58:36湖南科技大學(xué)楊菲雯

中學(xué)數(shù)學(xué) 2024年6期

? 湖南科技大學(xué) 楊菲雯

1 真題呈現(xiàn)

(2021年常德市中考數(shù)學(xué)第26題)如圖1,在△ABC中,AB=AC,N是BC邊上的一點(diǎn),D為AN的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn)交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)T,且AT=BN,連接BT.

圖1

(1)求證:BN=CN;

圖2

本題作為中考?jí)狠S題,存在一定的難度.本題共三問(wèn),由于前兩小問(wèn)較易,答案以簡(jiǎn)析方式呈現(xiàn),具體解法以第(2)問(wèn)的第②小問(wèn)為主.

2 證法探究

2.1 第(1)問(wèn)與第(2)①問(wèn)證法簡(jiǎn)析

對(duì)于(1),如圖1,在△ADT與△NDC中,D是AN的中點(diǎn),則AD=ND.由AT∥BC,可得到∠ATD=∠NCD,∠ADT=∠NDC,則△ADT≌△NDC,所以AT=NC.又因?yàn)锳T=BN,所以BN=CN.

對(duì)于(2)①,如圖3所示,因?yàn)辄c(diǎn)N關(guān)于邊AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是M,所以CN=CM,而TA=NC,所以TA=CM.由(1)知AN是等腰三角形ABC的高,且AT∥BC,所以∠TAO=90°.因?yàn)镹關(guān)于邊AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是M,則∠ACN=∠ACM.因?yàn)镺A=OC,則∠NAC=∠OCA,所以∠MCO=∠ACM+∠OCA=∠NCA+∠OCA=∠NCA+∠NAC=90°,所以∠TAO=∠MCO=90°.

圖3

綜上可知,△TOA≌△MOC(SAS),則OT=OM,即△OTM是等腰三角形,且∠TOA=∠MOC,所以∠TOA+∠AOM=∠MOC+∠AOM,即∠TOM=∠AOC,即等腰三角形TOM與等腰三角形AOC的頂角相等,所以它們的底角相等,故△TOM∽△AOC.

2.2 第(2)②問(wèn)證法探究

(ⅰ)執(zhí)果索因,初審條件

(ⅱ)直接證全等,探究失敗

筆者通過(guò)觀(guān)察,令OM與AC相交與點(diǎn)S,嘗試證明△TAP≌△MSP,以此證明TP=PM.要證△TAP≌△MSP,即證TA∥SM且TA=SM,即證SM∥NC.筆者分析已知條件,始終無(wú)法證得SM∥NC,因此探究失敗.于是猜想SM與NC不存在平行關(guān)系.

(ⅲ)聯(lián)想輔助線(xiàn),解法生成

思路1：巧作平行證全等.

依據(jù)分析,解法生成.過(guò)點(diǎn)M作NC的平行線(xiàn),構(gòu)造全等三角形,以此證得P為MT的中點(diǎn).

思維發(fā)散,一法多用,重作平行證全等.證法一是作平行線(xiàn),構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)型全等三角形(△TAP與△MQP關(guān)于點(diǎn)P中心對(duì)稱(chēng)),提出猜想,以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心,構(gòu)造關(guān)于△CMP的中心對(duì)稱(chēng)型全等三角形,順勢(shì)聯(lián)想到過(guò)點(diǎn)T作關(guān)于MC的平行線(xiàn).

圖4

思路2：繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)推出平行.

大道至簡(jiǎn),殊途同歸.繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)證平行.由思路1可以聯(lián)想,將CM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)C落在點(diǎn)E上,由等腰對(duì)等角與軸對(duì)稱(chēng)可以推導(dǎo)出EM∥NC∥TA.

圖5

思路3：活用翻折證中點(diǎn).

切換視角,窺探新法,利用對(duì)稱(chēng)作輔助線(xiàn).連接NP,NM,顯然NP=NM,若能證明TP=NP,即可解決疑難.于是連接TN,利用等角對(duì)等邊證明TP=NP.

圖6

思路4：四點(diǎn)共圓證垂直.

打破常規(guī),別出新意,利用輔助圓思想巧妙解題.由第(2)①知OT=OM,要證明P是TM的中點(diǎn),根據(jù)等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì),連接OP,若能證得OP⊥TM,即可解決問(wèn)題.通過(guò)觀(guān)察∠TAO=90°,聯(lián)想到四點(diǎn)共圓的判定(同底且同側(cè)頂角相等的兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)共圓),顯然∠OTP與∠OAP所在的三角形同底且兩角在OP的同側(cè),于是得到點(diǎn)O,T,A,P四點(diǎn)共圓.

圖7

3 解后反思,教學(xué)建議

(1)抓住圖形特征,滲透幾何思想

四邊形出題靈活,難以聯(lián)想作輔助線(xiàn)的方法,不同類(lèi)型問(wèn)題的解題方法不同.如本試題依托矩形、等腰三角形、軸對(duì)稱(chēng)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn),因此解題方法靈活多樣.依據(jù)題意,學(xué)生不難得出要證P是TM的中點(diǎn),但是聯(lián)想作輔助線(xiàn)存在一定的難度.學(xué)生對(duì)圖形特征把握不透徹,相關(guān)性質(zhì)定理無(wú)法達(dá)到靈活運(yùn)用的層次.

(2)剖析問(wèn)題類(lèi)型,歸納問(wèn)題解法

幾何壓軸題主要考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力,學(xué)生對(duì)幾何圖形相關(guān)性質(zhì)定理的掌握程度關(guān)乎解題思路的拓展.以本試題為例,通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)指引學(xué)生構(gòu)造平行,又根據(jù)等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì),推知證明OP是TM的中垂線(xiàn),順勢(shì)聯(lián)想到四點(diǎn)共圓的判定定理,容易得證.

(3)培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維,提升解題能力