核心素養導向下初中數學建模能力培養探究

? 江蘇省揚州市廣陵區霍橋學校 景國玲

作為《義務教育數學課程標準(2022年版)》所倡導的十大核心概念之一,模型思想不僅對達成“四能”目標具有導向作用,也是數學核心素養的重要組成部分.事實上,數學教材對模型思想的滲透十分重視,教師能深挖教材中的有效素材,不失時機地對學生進行滲透,則可以讓學生切實體驗建模的過程,積累建模的經驗,提高數學建模能力,提升數學核心素養[1].那么,落實到具體的教學實踐中如何讓學生切實體驗建模過程,提高建模能力呢?下面結合具體的教學實例,闡述教法指導的靈活應用,以饗讀者.

1 從變量關系的分析著手,通過數據的梳理助力數學模型的建立

剖析教材不難發現,模型思想的滲透隨處可見,例習題、復習題及閱讀材料中不乏各種應用性問題,其中,一些問題是通過自然語言表示的,只需先轉化為數學語言,再利用已學模型求解即可;另一些則是貼近現實生活并具備現實生活的元素特征,需要通過抽象,才能轉化為數學問題求解.這種需要深度加工的數學問題需從模型的假設與變量關系的分析著手,實現數學建模,一旦分析變量關系的角度偏離,則數學建模也會徒勞無功.由此可見,從變量關系的分析著手,引導學生梳理和厘清數據,有利于學生快速建立數學模型,從而提升數學建模能力.

案例1一元一次不等式

問題某超市體育用品采購員去廠家踩點并批發購進100個籃球與足球,超市一共支付了11 815元.已知籃球與足球的批發價分別為130元/個和100元/個,且商場的零售價分別為160元/個和120元/個.

(1)采購員最多可以批發多少個籃球?

(2)若該超市進貨后全都以零售價賣出了這100個球,且獲得了不低于2 580元的利潤,你覺得采購員購進的籃球至少是多少個?盈利了多少?

師生活動:在對題設和問題深入解讀的基礎上,教師引導學生分析題目中的數量關系,將現實問題轉化為數學問題,并構建不等式模型,這樣的過程就是數學抽象與建模的過程.例如,第(1)問,學生容易在分析后設有x個籃球,并列出不等式130x+100×(100-x)≤11 815,解得x≤60.5.又因為x為正整數,所以最多可批發60個籃球.就這樣,在深入思考與分析后,學生能感受到抽象、假設和轉化的必要性,并將實際問題巧妙轉化為不等式問題,在建立不等式模型后運用不等式的性質解決問題.

這樣的過程中,正是因為教師有意識地讓學生在體驗變量間的關系和梳理數據中真切感受到模型的抽象與轉化,使得模型思想的滲透水到渠成,促進數學建模能力的自然發展.

2 重視圖象表格的繪制,通過數形結合的滲透助力建模效率的提高

一般來說,對于學生建模能力的發展,數形結合可以起到事半功倍之效.借助數形結合思想,通過“以形助數”的策略,教師引導學生“形”中探“數”,在圖形中探尋數量關系,尋求解決問題的途徑,最終在分析和抽象中讓問題獲解[2].基于此,筆者認為教師應重視圖象、表格的繪制,引導學生以表格或圖象等方式闡述數據關系,激活學生的思維,最終通過直觀解讀與剖析助力快速建模,最終提高建模的效率.

案例2反比例函數

師生活動:為了讓問題快速、準確獲解,學生在教師的引導下充分利用數形結合的思想繪制圖象(如圖1),并借助待定系數法確定一次函數與反比例函數的解析式,最后通過幾何關系求解,得出了△AOB的面積.

圖1

圖2

數形結合思想的孕育就是將數學運算、數量關系與幾何圖形充分溝通,讓“數”與“形”各展所長,從而使邏輯思維與形象思維完美統一.以上案例中,通過圖形探尋數學問題中的數量關系,借助“以形助數”促進學生開闊思維,以培養學生的數學建模能力,進而提高數學核心素養.

3 關注隱性規律的探尋,通過多元整合提升建模的靈敏度

在解決一些數學問題時,我們會發現有些問題中的數量關系較為明確,而有些問題中的變量關系卻較為隱晦,這就需要在探尋到題目中隱含的隱性規律之后再進行數學建模,最終使問題獲解[3].基于此,教師想要訓練學生數學建模的能力,就需提高學生探尋隱性規律的能力,即增設難度問題,有意識地讓學生真切體驗探尋隱性規律的過程,從已有數據與線索著手深度挖掘其中的隱性規律,并通過多元整合達成數學建模,以提升建模的靈敏度,使數學建模能力得到快速發展.

案例3一次函數

問題王阿姨提著家中0.25 kg重的籃子去菜市場購買5 kg雞蛋.菜市場的攤販將裝有5 kg雞蛋的籃子遞還給王阿姨,王阿姨立刻察覺出雞蛋的個數較以往同樣購買5 kg少了許多.于是,王阿姨要求攤販重新稱重,攤販照做,并稱得5.275 kg.王阿姨即刻指出“籃中僅有4.5 kg雞蛋,需找回0.5 kg雞蛋的錢”.你們知道這是為什么?王阿姨是如何知道攤販少給了約0.5 kg雞蛋呢?

由于初中生對于隱含數量的敏銳度不足,需要教師從多側面、多角度來引導學生互譯現實問題和數學問題,在深入思考與探索中加深對各種數學模型的體會,進一步感悟模型思想的本質,進而積累數學建模的經驗和提升思維的靈活度.以上案例中,教師以一道趣味性的現實問題為載體,引導學生挖掘和探尋問題中的隱含規律,讓學生在拾級而上的探索中強化新知,經歷建模的抽象過程,發展自身的想象力,深化模型思想的認知.

總之,初中階段教師需注重模型思想的發掘與滲透,將建模能力的發展作為學生素養的載體,無論是教學目標的定位、教學素材的選擇、問題情境的創設、探究活動的設計以及教材方法的孕育,都需圍繞建模能力這條主線展開,為學生的思維留足發展空間,讓學生具備良好的建模意識和豐富的建模經驗,最終內化為數學核心素養[3].