基于廣義積分變換法海洋溫差能大口徑冷水管強(qiáng)迫振動(dòng)分析

譚 健,張 理,王 沖,張玉龍,張 玉,段夢(mèng)蘭

(1.中國(guó)石油大學(xué)(北京) 安全與海洋工程學(xué)院,北京 102249;2.南方海洋科學(xué)與工程廣東省實(shí)驗(yàn)室(湛江),廣東 湛江 524005;3.中國(guó)科學(xué)院 聲學(xué)研究所噪聲與振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

海洋溫差能是海洋能中儲(chǔ)量最大、最穩(wěn)定的清潔可再生能源,也是可再生能源中唯一無需儲(chǔ)能系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定、可控供電的能源。海洋能海洋溫差能發(fā)電(ocean thermal energy conversion,OTEC)是利用深層冷海水與表層溫海水之間的溫度梯度來運(yùn)行熱機(jī)并產(chǎn)生有用功,通常是以電力的形式[1]。OTEC系統(tǒng)裝置可分為岸基式和浮式[2],如圖1所示[3]。而冷水管(cold-water pipe,CWP)是海洋溫差能發(fā)電系統(tǒng)裝置中一種新穎的、最為關(guān)鍵的部件,是浮體平臺(tái)和深層海水之間的輸送通道[4]。OTEC裝置應(yīng)用的機(jī)械問題主要集中在兩個(gè)方面:汽輪機(jī)和冷水管[5]。大口徑和超長(zhǎng)的冷水管在復(fù)雜多變的海洋工況下,其強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)直接影響OTEC裝置的工作條件,同時(shí)也是制約海洋溫差能發(fā)電商業(yè)化的因素之一。因此開展大口徑冷水管的強(qiáng)迫振動(dòng)分析,以為其初期設(shè)計(jì)提供一定的指導(dǎo)作用。

圖1 海洋溫差能發(fā)電工作原理

自冷水管的概念第一次被提出到應(yīng)用于OTEC系統(tǒng)中,冷水管的振動(dòng)響應(yīng)研究一直都是OTEC系統(tǒng)裝置前期設(shè)計(jì)的重點(diǎn)關(guān)注對(duì)象。冷水管的設(shè)計(jì)問題可分為三個(gè)主要問題:極限分析[6-8]、船-管耦合分析[9-10]和管道振動(dòng)分析[11-12](渦激振動(dòng)和內(nèi)流引起的振動(dòng))。大量學(xué)者通過理論、有限元和實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證了內(nèi)流流動(dòng)將引發(fā)管體的不穩(wěn)定[13-15],然而鮮有文獻(xiàn)針對(duì)大口徑冷水管的強(qiáng)迫振動(dòng)進(jìn)行分析。但作為一種典型的輸流管道,眾多學(xué)者對(duì)輸流管路的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)做了大量的研究工作。黃燦等[16]采用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)算子研究了振動(dòng)系統(tǒng)在諧波激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),并討論了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)對(duì)剛度和阻尼的影響。王劍等[17]通過提出理論-實(shí)驗(yàn)混合計(jì)算方法,研究了考慮質(zhì)量偏心的階梯梁-基礎(chǔ)的強(qiáng)迫振動(dòng),發(fā)現(xiàn)在垂向激勵(lì)下質(zhì)量偏心對(duì)系統(tǒng)的垂向位移響應(yīng)無影響,但會(huì)產(chǎn)生縱向位移響應(yīng)。趙千里等[18]基于格林函數(shù)法推導(dǎo)了固定-彈性支承式輸流管的格林函數(shù),并得到了擾度的解析表達(dá)式,分析了擾度與激振位置、激振頻率、內(nèi)流流速、彈簧剛度和質(zhì)量比的關(guān)系,并提出該方法可適用研究任意支承形式和多個(gè)激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)問題。此后針對(duì)外部載荷和內(nèi)流共同作用下輸流彎管的強(qiáng)迫振動(dòng)問題,基于修正的不可伸長(zhǎng)理論,研究了正切方向的夾角、激振頻率和激振位置對(duì)切向位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響[19]。孫志禮等[20]利用格林函數(shù)法研究了兩端支承輸流管在集中載荷和分布載荷下的強(qiáng)迫振動(dòng)并推導(dǎo)了封閉的精確解。范瑾銘等[21]基于格林函數(shù)法獲得旋轉(zhuǎn)輸流管雙向耦合強(qiáng)迫振動(dòng)的解析解,分析了內(nèi)流氣體體積分?jǐn)?shù)、雙相流流速、軸向壓力、彈簧剛度系數(shù)對(duì)管道動(dòng)力學(xué)特性的影響。發(fā)現(xiàn)流速和轉(zhuǎn)速共同作用將導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生特殊的共振帶。Tan等[22]建立了輸流管道耦合振動(dòng)的非線性Timoshenko模型,通過開發(fā)的有限差分法(finite difference method,FDM)研究了黏彈性管材受迫振動(dòng)的幅頻曲線,結(jié)果表明大流速、大振動(dòng)幅度或較短的管道長(zhǎng)度使得Timoshenko模型更適用于管道的響應(yīng)預(yù)測(cè)。

在研究輸流管道的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問題主要包括振動(dòng)模型的建立和求解,大多學(xué)者基于此類問題開展相關(guān)工作。從最為基本的有限單元法求解振動(dòng)問題,到便捷、高效率、高精度的求解方法,國(guó)內(nèi)外學(xué)者取得了大量的成果。例如:Ni等[23]采用微分變換法(differential transform method,DTM)研究了幾種典型邊界條件下管道自由振動(dòng)問題,并驗(yàn)證了該方法具有高精度和計(jì)算效率。包日東等[24]利用微分求積法(differential quadrature method,DQM)研究了一般端部條件下輸流管的穩(wěn)定性問題,并分析了彈性支承系數(shù)對(duì)管道穩(wěn)定性的影響。Li等[25]采用傳遞矩陣法分析了支座、結(jié)構(gòu)特性和流體參數(shù)對(duì)管道動(dòng)力響應(yīng)和固有頻率的影響規(guī)律,表明采用最佳支座和結(jié)構(gòu)特性有利于降低管道振動(dòng)。金基鐸等[26]采用伽遼金法推導(dǎo)了梁彎曲振動(dòng)的頻率方程和振型函數(shù)表達(dá)式,研究了扭轉(zhuǎn)剛度、重力系數(shù)和軸向預(yù)緊力對(duì)管道臨界流速的影響特性。近幾年,格林函數(shù)法(Green’s function method,GFM)常被用來求解梁的強(qiáng)迫振動(dòng)問題。Li等[27]基于格林函數(shù)法研究了Timosheko梁受迫振動(dòng)的動(dòng)力解,并考慮了阻尼對(duì)梁振動(dòng)的影響。但格林函數(shù)法的應(yīng)用通常需要依賴問題的對(duì)稱性和邊界條件,若問題的對(duì)稱性不明顯或邊界條件復(fù)雜,需進(jìn)一步簡(jiǎn)化假設(shè)或引入額外的假設(shè),從而導(dǎo)致解的準(zhǔn)確性和適用性問題。廣義積分變換法(generalized integral transform technique,GITT)是一種更為準(zhǔn)確、簡(jiǎn)單和快速求解高階非線性偏微分方程的半解析解方法,此方法成功應(yīng)用于軸向移動(dòng)梁[28]、軸向移動(dòng)Timoshenko梁[29]、軸向移動(dòng)正交各向異性板[30]、損傷的歐拉-伯努利梁[31]、尖端偏心質(zhì)量的懸臂梁[32]和輸流管道[33-35]的動(dòng)態(tài)響應(yīng)等。為此,本文采用廣義積分變換法求解大口徑冷水管強(qiáng)迫振動(dòng)問題。

本文針對(duì)大口徑冷水管強(qiáng)迫振動(dòng)問題,基于Euler-Bernoulli梁理論,考慮黏彈性耗散系數(shù)、阻尼比和質(zhì)量比對(duì)振動(dòng)特性的影響,建立了大口徑冷水管強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)計(jì)算分析模型,結(jié)合GITT法,推導(dǎo)了管道在不同邊界條件下的特征值和特征函數(shù),通過與同倫攝動(dòng)法對(duì)比,驗(yàn)證了該方法的高精度和有效性,并綜合分析了在均布載荷、線性變化的靜水壓力、集中載荷和周期載荷作用下內(nèi)流、黏彈性耗散系數(shù)、周圍環(huán)境阻尼比、質(zhì)量比、激振位置和激勵(lì)頻率對(duì)管道橫向位移的影響。

1 模型描述

采用Euler-Bernoulli梁模型描述海洋溫差能大口徑冷水管強(qiáng)迫振動(dòng)的力學(xué)行為,如圖2顯示了在外部激勵(lì)下輸送流體的管道示意圖,本文基于Paidoussis所提出的模型[36],其基本假設(shè)為:①x軸即為中性軸,無拉伸也無壓縮;②保持平面假設(shè),即變形前后保持橫截面與中性面垂直,忽略剪切變形的影響;③材料是線彈性的,管道為各向同性的;④忽略x方向的加速度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響;⑤x-y平面是主平面,管道在主平面內(nèi)振動(dòng);⑥忽略管道與流體之間的摩擦;⑦管道長(zhǎng)徑比足夠大,橫向位移與管道長(zhǎng)度相比較小。由此建立如下冷水管橫向振動(dòng)控制方程

(1)

圖2 承受橫向動(dòng)載荷梁模型

式中:EI為抗彎剛度;w(x,t)為橫向位移;L為管道長(zhǎng)度;m為單位長(zhǎng)度上管道自身質(zhì)量;M為單位長(zhǎng)度管內(nèi)流體質(zhì)量;T(x)為軸向靜等效張力;Ttop為頂部張力;U為管內(nèi)流速;c為周圍環(huán)境的阻尼比;F(x,t)為外部激勵(lì)載荷;t為時(shí)間。式(1)左邊的項(xiàng)依次為彎曲力、軸向張力、離心力、頂部張力、科氏力、外部阻尼力和慣性力。

單位長(zhǎng)度管上x處t時(shí)刻的外部激勵(lì)為F(x,t),可表示為

F(x,t)=F0δ(x-x0)

(2)

式中:F0為激勵(lì)載荷類型;x0為激勵(lì)位置。冷水管在各種載荷下的示意圖,如圖3所示。

(a) 均布載荷

軸向靜等效張力T(x)可表示為

(3)

式中:冷水管外部壓強(qiáng)P0(x)=ρfgx+Δp,ρf為內(nèi)部流體密度和海水密度,冷水管內(nèi)部壓強(qiáng)Pi(x)=ρfgx,其中Δp為同一深度下管內(nèi)外壓差,而此壓差取決于進(jìn)水口的幾何形狀,其取值范圍為0.5ρfU2～ρfU2之間[37],本文取其值為ρfU2;Tbt為冷水管濕重,Tbt=(ρr-ρf)·ArgL,ρr為管道密度,Ar為管道的橫截面面積;Twc為底部配重塊自重,Twc=ρrArgL,頂部張力Ttop=Twc+Tbt。

管道結(jié)構(gòu)阻尼是結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)能量耗散因素之一,所產(chǎn)生阻尼應(yīng)力與材料的應(yīng)變速率有關(guān),可采用Kelvin-Voigt阻尼模型[38]來表示

(4)

全面考慮黏彈性耗散、阻尼比、管內(nèi)外壓差和內(nèi)流對(duì)管道橫向振動(dòng)所產(chǎn)生的影響,則大口徑冷水管橫向振動(dòng)控制方程為

(5)

通過引入無量綱系數(shù)以簡(jiǎn)化冷水管橫向運(yùn)動(dòng)控制方程,無量綱系數(shù)如下

(6)

為方便書寫,繼續(xù)采用x以代替x*;則無量綱化后的控制方程為

(7)

給定管道系統(tǒng)一個(gè)初始擾動(dòng),其表達(dá)式如下

(8)

對(duì)于海洋溫差能發(fā)電系統(tǒng),冷水管的頂部約束可視為不可移動(dòng)的理想的固支和簡(jiǎn)支兩種;而在運(yùn)行工況下的冷水管,其底部的約束可分為固支、簡(jiǎn)支、自由和配重塊四種。不同邊界條件下,管道的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力不同的,表1中給出了本文模型中6種無量綱的邊界類型。

表1 模型的6種邊界條件

2 廣義積分變換法求解

根據(jù)廣義積分變換法求解振動(dòng)方程非線性問題原理,主要是將四階偏微分方程通過分離變量法降階為二階常微分方程,變換求解過程可分為三大步驟:第一步,特征值和特征函數(shù)的確定;第二步,引入積分變換對(duì);第三步,方程逆變換與求解。

2.1 特征值求解

溫差能大口徑冷水管橫向振動(dòng)控制方程的特征值問題為

i=1,2,3,…和k=1,2,3,4,5,6

(9)

假定冷水管兩端的邊界條件為固支-加配重塊,其無量綱化的函數(shù)表達(dá)式為

(10)

此時(shí),yi(x)和λi分別為特征值問題(9)的特征函數(shù)和特征值,因特征函數(shù)滿足正交性

(11)

式中,δij為克羅內(nèi)克符號(hào),當(dāng)i≠j,δij=0;當(dāng)i=j,δij=1。由此可得,歸一化積分為

(12)

特征值問題(9)的特征函數(shù)為

yi(x)=sin(λix)-sinh(λix)+

(13)

特征值問題(9)的特征值為

(i=1,2,3…)

(14)

進(jìn)而得到Ni的值為

Ni=1.0,i=1,2,3…

(15)

特征函數(shù)的特征向量為

(16)

同理可求得冷水管在其他5種邊界條件下的特征函數(shù)與特征值,如表A.1所示(見附錄A)。

2.2 引入積分變換對(duì)

對(duì)控制方程(7)進(jìn)行積分變換,引入橫向位移積分變換,如下:

(17)

(18)

2.3 方程變換與求解

(19)

其中各個(gè)系數(shù)表達(dá)式為

(20)

同理,對(duì)初始條件進(jìn)行積分變換,以消除空間坐標(biāo),可得:

i=1,2,3…

(21)

AY=d

(22)

3 解法的收斂性與有效性

為了驗(yàn)證GITT方法的收斂性,穩(wěn)定收斂條件為:當(dāng)展開項(xiàng)數(shù)目NW取4、8、12、16和20,管道的橫向位移收斂于特定的值,允許存在極小偏差。本章選取管道邊界條件為兩端固支(C-C)下的自由振動(dòng),內(nèi)流流速υ=0.2,外流流速μ=0,管道參數(shù)與流體參數(shù)如表2所示。其中,開展項(xiàng)數(shù)目NW分別選取4、8、12、16和20。當(dāng)無量綱時(shí)間τ=20時(shí),不同展開項(xiàng)數(shù)下管道的位移如圖4所示。依據(jù)圖4可知,當(dāng)開展項(xiàng)數(shù)目NW=4時(shí),管道位移相對(duì)展開項(xiàng)數(shù)8、12、16和20較小,且管道振型與上述展開項(xiàng)數(shù)目相比并不收斂;當(dāng)NW≥12時(shí),管道振型已具有良好的收斂。因此在之后的計(jì)算時(shí),可選取展開項(xiàng)數(shù)目NW=16。

表2 冷水管道參數(shù)

圖4 不同展開項(xiàng)數(shù)下管道位移對(duì)比圖

為了驗(yàn)證GITT方法的有效性,將GITT方法得到的結(jié)果與Xu[39]所采用的同倫攝動(dòng)法(homotopy perturbation method,HPM)得到的結(jié)果做對(duì)比,其中ωf為一階固有頻率,υf為臨界流速,如圖5所示。可以看出,在固支-固支、固支-自由和簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支的邊界條件下,管道的自振頻率隨內(nèi)流的增加而逐漸減小,直至為零。GITT方法計(jì)算得到的一階固有頻率與HPM方法所得結(jié)果相對(duì)比,其相對(duì)誤差小于4.5%。從而驗(yàn)證了GITT方法的有效性。

圖5 一階固有頻率隨內(nèi)流流速變化

4 分析與討論

本章以海洋溫差能大口徑冷水管為研究對(duì)象,研究考慮在四種不同載荷作用下內(nèi)流、黏彈性耗散系數(shù)α、周圍環(huán)境阻尼比κ、質(zhì)量比β對(duì)管道振動(dòng)特性的影響:① 均布載荷F0=q0;② 線性變化靜水壓力F0=q0x/L;③ 集中載荷F0=P;④ 周期載荷F0=Psin(ω0t),如圖3所示。大口徑冷水管所受外部激勵(lì)無量綱化后的表達(dá)式為

f(x,τ)=f0δ(x-a)

(23)

式中,a為式(2)中x0的無量綱形式,即a=x0/L,f0為激勵(lì)載荷無量綱化。

4.1 均布載荷作用下管道振動(dòng)特性分析

本小節(jié)研究在均布載荷作用下,內(nèi)流流速和阻尼比對(duì)冷水管振動(dòng)特性的影響,其中選定管道邊界條件為C-C和S-S,時(shí)間τ=20,其他參數(shù)從表4中選取。圖6顯示了在黏彈性耗散系數(shù)α=0.01、質(zhì)量比β=0.5、周圍環(huán)境阻尼比κ=0和邊界條件為C-C下,管道橫向位移隨內(nèi)流流速變化的發(fā)展規(guī)律曲線。

圖6 均布載荷作用下管道橫向位移與內(nèi)流流速的關(guān)系曲線(C-C)

從圖6可以看出,在均布載荷作用下,隨著管道位置x的增加,管道橫向位移先增大后減小。隨著無量綱內(nèi)流流速的不斷增大,管道整體橫向位移呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢(shì)。當(dāng)無量綱內(nèi)流流速較小時(shí),管道整體橫向位移的最大值ymax(x,τ)出現(xiàn)在x=0.60位置處,而當(dāng)υ=0.6時(shí),管道的ymax(x,τ)相較于其他流速對(duì)應(yīng)的ymax(x,τ)要大很多,一方面是因?yàn)閮?nèi)流流速的增大致使離心力增大,另一方面在此流速下對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率與管道的某一階固有頻率相近。由GITT方法求解此模型,其結(jié)果通過快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT),求得管道振動(dòng)頻率為26.727 5,對(duì)應(yīng)的ymax(x,τ)=0.001 869,對(duì)應(yīng)的管道位置x=0.63。

進(jìn)一步,圖7給出了在均布載荷作用下,不同黏彈性耗散系數(shù)α管道中點(diǎn)最大的橫向位移隨周圍環(huán)境阻尼比κ發(fā)展的曲線圖,其中邊界條件為C-C和S-S,所對(duì)應(yīng)的無量綱內(nèi)流流速分別為0.6和0.1,質(zhì)量比β=0.2。從圖7(a)可以發(fā)現(xiàn),在邊界條件為C-C時(shí),阻尼比κ對(duì)無黏彈性耗散系數(shù)管道中點(diǎn)最大橫向位移影響十分顯著。隨著阻尼比逐漸增大,管道最大橫向位移整體呈現(xiàn)減小趨勢(shì)。在α=0時(shí),管道最大橫向位移在κ∈[0.1,0.3]范圍內(nèi)幾乎不發(fā)生改變,而在κ=0.4處急劇減小,而在α≠0時(shí),管道最大橫向位移并無類似現(xiàn)象。當(dāng)黏彈性耗散系數(shù)分別為0,0.000 5和0.001 0時(shí),管道最大橫向位移進(jìn)入平滑穩(wěn)定減小階段所對(duì)應(yīng)的阻尼比分別為0.6,0.3和0.3。值得注意的是,黏彈性耗散系數(shù)能明顯減小管道最大橫向位移。根據(jù)圖7(b),在邊界條件為S-S時(shí),隨阻尼比逐漸增大,管道最大橫向位移呈現(xiàn)先逐漸減小,進(jìn)而急劇減小,后進(jìn)入平滑穩(wěn)定減小階段趨勢(shì)。當(dāng)黏彈性耗散系數(shù)分別為0,0.000 5和0.001 0時(shí),管道最大橫向位移進(jìn)入急劇減小階段所對(duì)應(yīng)的阻尼比分別為0.4,0.3和0.2,而進(jìn)入平滑穩(wěn)定減小階段對(duì)應(yīng)的阻尼比均為0.6。此外對(duì)比圖7(a-1)和(b-2)的管道中點(diǎn)時(shí)間歷程可以發(fā)現(xiàn),增大阻尼比κ可改變S-S邊界條件下管道的振型,但對(duì)C-C邊界條件下管道的振型無影響。

(a) C-C

4.2 線性變化的靜水壓力作用下管道振動(dòng)特性分析

本小節(jié)研究在線性變化的靜水壓力作用下,內(nèi)流流速和質(zhì)量比對(duì)冷水管振動(dòng)特性的影響,其中選定管道邊界條件C-W和S-W,配重塊重量為一倍管道濕重,時(shí)間τ=20,其他參數(shù)從表4中選取。圖8顯示了在黏彈性耗散系數(shù)α=0.01、質(zhì)量比β=0.5、周圍環(huán)境阻尼比κ=0和邊界條件為C-W下,管道橫向位移與振動(dòng)頻率隨內(nèi)流流速變化的發(fā)展規(guī)律曲線。

(a) 橫向位移

如圖8(a)為僅考慮內(nèi)流流速變化時(shí)的管道橫向位移發(fā)展曲線。在線性變化的靜水壓力作用下,管道呈現(xiàn)二階振型。隨著管道位置x的增大,管道橫向位移呈現(xiàn)“S”型發(fā)展曲線。在管道底部位置(x=1.0),管道橫向位移并不為零,主要原因是管道邊界條件為C-W,底部約束相較于固支邊界條件弱。隨著內(nèi)流流速的增大,管道整體橫向位移呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢(shì)。值得注意的是,管道整體橫向位移的最大值ymax(x,τ)出現(xiàn)在x=0.85位置處,而當(dāng)υ=0.6時(shí),管道的ymax(x,τ)發(fā)生較大的改變,這是因?yàn)樵谳^大的無量綱內(nèi)流流速和較弱的底部約束邊界條件下,管道橫向位移開始出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。依據(jù)圖8(b),隨內(nèi)流流速的增大,管道前四階振動(dòng)頻率逐漸減小,管道將在曲線與零線相交點(diǎn)處發(fā)生失穩(wěn)。不穩(wěn)定性的類型具有非零實(shí)部Re(ω)和零虛部Im(ω)特點(diǎn),結(jié)合GITT方法可求解得到,其臨界流速υf=0.74。

進(jìn)一步,圖9給出了在線性變化的靜水壓作用下,不同周圍環(huán)境阻尼比κ管道中點(diǎn)最大的橫向位移隨質(zhì)量比β發(fā)展的曲線圖,其中邊界條件為C-W和S-W,選定無量綱內(nèi)流流速為0.1,黏彈性耗散系數(shù)α=0。從圖9(a)可以發(fā)現(xiàn),在邊界條件為C-W時(shí),隨質(zhì)量比β的增大,管道橫向位移ymax(0.5,τ)呈現(xiàn)略微減小的趨勢(shì),說明質(zhì)量比β對(duì)應(yīng)的慣性力對(duì)管道的響應(yīng)影響較小。但增大阻尼比κ能夠有效降低管道橫向位移ymax(0.5,τ)。根據(jù)圖9(b),邊界條件為S-W,在無周圍環(huán)境阻尼比κ時(shí),隨著質(zhì)量比的增大,管道橫向位移ymax(0.5,τ)呈現(xiàn)先急劇減小,對(duì)應(yīng)的質(zhì)量比β=0.1,后進(jìn)入平滑穩(wěn)定減小階段。加入周圍環(huán)境阻尼比后,管道中點(diǎn)最大橫向位移隨質(zhì)量比的變化趨于穩(wěn)定,進(jìn)一步說明周圍環(huán)境阻尼比κ相較于質(zhì)量比β,更能抑制管道橫向位移。總體而言,阻尼比與質(zhì)量比對(duì)管道橫向位移的影響是相互耦合的,若周圍環(huán)境阻尼比較小,質(zhì)量比應(yīng)更大些,才能抑制管道在振動(dòng)時(shí)的橫向位移。

(a) C-W

4.3 集中載荷作用下管道振動(dòng)特性分析

本小節(jié)研究在集中載荷作用下,內(nèi)流流速、黏彈性耗散系數(shù)和激勵(lì)位置對(duì)冷水管振動(dòng)特性的影響,其中選定管道邊界條件C-F和S-F,時(shí)間τ=20,其他參數(shù)從表4中選取。圖10顯示了在黏彈性耗散系數(shù)α=0.01、質(zhì)量比β=0.5、周圍環(huán)境阻尼比κ=0和邊界條件為C-F下,管道橫向位移與振動(dòng)頻率隨內(nèi)流流速變化的發(fā)展規(guī)律曲線,其中激振位置a=0.5。

(a) 橫向位移

圖10(a)為僅考慮內(nèi)流流速變化時(shí)的管道橫向位移發(fā)展曲線。在集中載荷作用下,管道呈現(xiàn)一階振型。隨著管道位置x的增大,管道橫向位移先增大后減小,直至為零。內(nèi)流流速的增大,管道橫向位移也逐漸增大,其出現(xiàn)最大值ymax(x,τ)時(shí)所對(duì)應(yīng)的管道位置在x=0.60附近。而當(dāng)υ=0.6時(shí),管道的ymax(x,τ)相較于其他流速對(duì)應(yīng)的ymax(x,τ)要大很多,對(duì)應(yīng)的一階振動(dòng)頻率為26.506 4。根據(jù)圖10(b),隨著內(nèi)流流速的增大,管道前四階振動(dòng)頻率呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)。當(dāng)振動(dòng)頻率與此條件下的固有頻率接近或相同時(shí),管道將發(fā)生動(dòng)態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象。

圖11顯示了不同黏彈性耗散系數(shù)下管道中點(diǎn)最大橫向位移的發(fā)展規(guī)律曲線。其中選定無量綱內(nèi)流流速為0.6,質(zhì)量比β=0.2,激振位置a=0.5。從圖11(a)可以發(fā)現(xiàn),在邊界條件為C-F時(shí),隨黏彈性耗散系數(shù)α的增大,管道最大橫向位移整體呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)。在阻尼比κ=0,0.1時(shí),管道最大橫向位移在α∈[0.1,0.2]范圍內(nèi)幾乎不改變。當(dāng)阻尼比分別為0,0.1和0.2時(shí),管道最大橫向位移急劇減小所對(duì)應(yīng)的黏彈性耗散系數(shù)分別為0.4,0.3和0.2。值得注意的是,黏彈性耗散系數(shù)越大,阻尼比對(duì)管道橫向位移的影響越小。根據(jù)圖11(b),當(dāng)邊界條件為S-F時(shí),隨黏彈性耗散系數(shù)的增大,管道最大橫向位移先急劇減小,后幾乎不發(fā)生改變。主要原因是增大黏彈性耗散系數(shù)會(huì)引入更強(qiáng)的阻尼效應(yīng),降低管道橫向位移,從而導(dǎo)致橫向位移迅速減小。隨著黏彈性耗散系數(shù)持續(xù)增大,使得管道材料具有更高的耗散能力,能更好地吸收引起橫向位移的能量,抑制了橫向位移進(jìn)一步減小。

(a) C-F

為了探究集中載荷作用下激振位置對(duì)冷水管振動(dòng)特性的影響,其中選取無量綱內(nèi)流流速為υ=0.6,黏彈性耗散系數(shù)α=0.01、質(zhì)量比β=0.5、周圍環(huán)境阻尼比κ=0,圖12顯示了管道橫向位移隨激振位置的發(fā)展規(guī)律曲線。可以發(fā)現(xiàn),激振位置對(duì)管道橫向位移的影響十分顯著。隨著激振位置a的逐漸增大,管道橫向位移先增大后減小,當(dāng)激振位置a=0.7時(shí),橫向位移幅值ymax(x,τ)相較于其他激振位置對(duì)應(yīng)的ymax(x,τ)要大。由此可知,在激振位置a=0.7附近存在一個(gè)臨界值ac,使得管道在相同條件下的橫向位移幅值ymax(x,τ)最大,采用GITT方法計(jì)算此條件下的理論模型,可求得ac=0.66,[ymax(x,τ)]c=0.004 16。當(dāng)激振位置a繼續(xù)增大時(shí),管道橫向位移呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)。值得注意的是,管道在集中載荷作用下,改變激振位置,管道橫向位移幅值大約出現(xiàn)在x∈[0.20,0.75]區(qū)間內(nèi)。為防止冷水管在輸送超大流量的冷海水時(shí)出現(xiàn)動(dòng)態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象,應(yīng)當(dāng)避免管道在臨界激振位置ac處的激勵(lì)。

4.4 周期載荷作用下管道振動(dòng)特性分析

本小節(jié)研究在周期載荷作用下,內(nèi)流流速和激振頻率對(duì)冷水管振動(dòng)特性的影響,其中選定管道邊界條件S-S,時(shí)間τ=20,其他參數(shù)從表4中選取。圖13顯示了在黏彈性耗散系數(shù)α=0.01、質(zhì)量比β=0.5、周圍環(huán)境阻尼比κ=0下,管道橫向位移與振動(dòng)頻率隨內(nèi)流流速變化的發(fā)展規(guī)律曲線,其中激勵(lì)位置a=0.5,激振頻率ω0=4。

(a) 橫向位移

如圖13(a)可以發(fā)現(xiàn),在周期載荷作用下,隨內(nèi)流流速的增大,管道橫向位移呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢(shì)。在υ=0.5時(shí),管道橫向位移明顯較其他內(nèi)流流速對(duì)應(yīng)的ymax(x,τ)大,可認(rèn)為在此流速下的振動(dòng)頻率附近存在固有頻率。值得注意的是,持續(xù)增大內(nèi)流流速,當(dāng)υ=0.6時(shí),管道振型開始由一階向二階轉(zhuǎn)變。結(jié)合圖13(b),管道振動(dòng)頻率隨內(nèi)流流速的增大而減小,當(dāng)振動(dòng)頻率具有非零實(shí)部Re(ω)和零虛部Im(ω)時(shí),管道發(fā)生結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。結(jié)合GITT方法可求解得到,其顫振速度υf=0.585。

為了探究周期載荷作用下激振頻率對(duì)冷水管振動(dòng)特性的影響,其中選取無量綱內(nèi)流流速為υ=0.1,黏彈性耗散系數(shù)α=0.01、質(zhì)量比β=0.5、周圍環(huán)境阻尼比κ=0,激振位置a=0.5,圖14顯示了管道橫向位移隨激振頻率的發(fā)展規(guī)律曲線。為方便讀者對(duì)比計(jì)算結(jié)果,圖中|yω0=4|代表在激振頻率為4時(shí),管道橫向位移的絕對(duì)值。由結(jié)果分析可知,不同的激振頻率對(duì)管道橫向位移的作用效果明顯。隨激振頻率ω0逐漸增大,管道橫向位移呈現(xiàn)先減小后增大再減小的趨勢(shì)。主要原因是當(dāng)激振頻率較小時(shí),管道橫向位移與周期載荷的相位差大于π/2,激振力對(duì)管道做負(fù)功。當(dāng)管道橫向位移方向發(fā)生改變時(shí),橫向位移與周期載荷的相位差小于π/2,激振力對(duì)管道做正功。因此當(dāng)在激振頻率ω0=12時(shí),管道橫向位移相較于其他頻率所對(duì)應(yīng)的ymax(x,τ)大,另一原因是此頻率與管道固有頻率相近導(dǎo)致的。

圖14 周期載荷作用下冷水管橫向位移與激振頻率的關(guān)系曲線圖(S-S)

5 結(jié) 論

本文針對(duì)海洋溫差能大口徑冷水管強(qiáng)迫振動(dòng)問題,根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論,進(jìn)行了不同邊界條件下冷水管強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的理論推導(dǎo),求解了相對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)與特征值。結(jié)合廣義積分變換法,分析了在均布載荷、線性變化的靜水壓力、集中載荷和周期載荷作用下黏彈性耗散系數(shù)、質(zhì)量比、周圍環(huán)境阻尼比、激振位置和激勵(lì)頻率對(duì)冷水管振動(dòng)特性的影響,得到了以下結(jié)論。

(1) 基于廣義積分變換法可以得到冷水管強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的解析表達(dá)式,與同倫攝動(dòng)法(HPM)相比,求解的固有頻率同等的精度,驗(yàn)證了理論分析的有效性。

(2) 管道在均布載荷、線性變化的靜水壓力和集中載荷作用下,橫向位移隨內(nèi)流的增加而逐漸增大,振動(dòng)頻率呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì),其振型不發(fā)生改變。當(dāng)內(nèi)流流速對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率接近某一階固有頻率時(shí),管體將發(fā)生動(dòng)態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象,此時(shí)內(nèi)流流速為臨界流速。而在周期載荷作用下,管道振型在較高的內(nèi)流流速下將會(huì)改變。

(3) 當(dāng)僅考慮單一因素的影響,管道橫向位移在不同邊界條件下隨黏彈性耗散系數(shù)、阻尼比的增大呈現(xiàn)不同的發(fā)展規(guī)律,總體為減小的趨勢(shì),而質(zhì)量比對(duì)橫向位移幾乎沒有影響。綜合考慮黏彈性耗散系數(shù)與阻尼比對(duì)橫向位移的作用,黏彈性耗散系數(shù)的影響要大于阻尼比的影響。

(4) 隨激振位置的逐漸增大,管道橫向位移呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)。改變激振位置,管道橫向位移幅值大約出現(xiàn)在x∈[0.20,0.75]區(qū)間內(nèi)。為防止冷水管在輸送超大流量的冷海水時(shí)出現(xiàn)動(dòng)態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象,應(yīng)當(dāng)避免管道在臨界激振位置ac處的激勵(lì)。激振頻率對(duì)管道橫向位置的作用主要取決于橫向位移與周期載荷的相位差,當(dāng)相位差小于π/2對(duì)管道做正功,大于π/2對(duì)管道做負(fù)功。

附錄A

表A.1 6種邊界條件下的特征函數(shù)與特征值