基于Mindlin解的自錨試樁Q-s曲線研究

張鋼泉，馬海龍

(浙江理工大學，浙江 杭州 310018)

0 引言

自錨試樁法分上、下兩段樁，上段樁為抗拔樁、下段樁為抗壓樁，通過千斤頂對上、下段樁施加大小相等方向相反的荷載，通過自錨試樁試驗可同時獲得上、下段樁的Q-s曲線，現有文獻對計算獲得自錨試樁Q-s曲線的研究較少。朱琳[1]利用三折線傳遞函數模型推導了自錨試樁上、下段樁的Q-s曲線解析公式。Chen chi等[2]基于自錨試樁室內試驗、原位試驗結果，提出以雙曲線函數模型模擬自錨試樁的荷載傳遞關系。

自錨試樁上段樁為抗拔樁，對于抗拔樁的變形計算，黃峰等[3]考慮樁的伸長變形、樁周土體不均勻性、應力路徑等影響因素，結合剪切位移法，推導了砂土中抗拔樁荷載-位移關系的理論解。黎玉琪[4]將抗拔樁的位移分為樁土界面內、界面外位移，通過3種不同樁土界面模型對抗拔樁的位移進行計算分析。Faizi等[5]通過室內試驗與有限元軟件分析，認為抗拔樁的長細比對樁體抗拔承載力影響較大。孫曉立等[6-7]給出了確定抗拔樁變形研究中土體力學參數的計算方法，提出了預測抗拔樁變形的彈塑性解析方法和修正變形協調法。何慧斌等[8]基于荷載傳遞理論，提出以迭代算法計算抗拔樁位移。

自錨試樁下段樁為抗壓樁，對于抗壓樁的沉降計算，王金淑等[9]基于Mindlin位移解，引入地基沉降修正系數，建立了基底沉降計算的雙曲線切線模量法。Ma hai long等[10]通過對抗拔樁和抗壓樁的室內試驗，發現抗拔樁和抗壓樁分別對樁側土產生卸載、加載效應。陳賢可等[11]通過樁網復合地基的室內模型試驗研究發現樁側總摩阻力會隨循環荷載次數增加而減小。張芳芳等[12]通過對剛-柔性長短樁復合地基的承載力與沉降變形研究，發現剛性長樁可控制沉降變形。費勤發[13]將分層總和法應用于單樁分析中，并提出消除地面負沉降影響的公式。何思明[14]在分層總和法基礎上，考慮土體的三向應力，引入土體彈塑性本構關系分析土體的變形。李仁平[15]考慮基礎埋深、土體非線性等影響因素，引入附加應力修正系數，利用雙曲線切線模量方程和附加應力彈性解計算地基沉降。Sharo Abdulla等[16]基于荷載傳遞法，采用三線性軟化模型、雙曲線模型分別模擬樁周土位移、樁端位移與摩阻力的關系。Ma Danan等[17]研究了粉土中鉆孔樁的沉降機理，分析了樁周土的密度、比重、天然含水率等因素對沉降的影響。王濤等[18]將樁基側阻分布概化為4種形式，提出Mindlin解均化應力分層總和法計算群樁基礎沉降。陳明中等[19]考慮了樁土間的滑移、土體強度變化等因素，推導了計算單樁沉降的解析表達式。

綜上，對于抗拔樁和抗壓樁的變形計算，國內外學者一般采用彈性理論法、荷載傳遞法、剪切位移法、分層總和法等。本文根據自錨試樁室內試驗結果，基于Mindlin應力解，利用雙曲線切線模量修正地基變形模量，以考慮不同深度處地基的非線性變形，避免Mindlin解無法考慮土體非線性變形的情況，并將其應用于分層總和法中，推導了計算自錨試樁上、下段樁變形的公式，為研究自錨試樁的變形計算及向傳統試樁的Q-s曲線轉換提供參考。

1 變形公式推導

分層總和法是一種簡化的計算方法，在沉降計算中通常只考慮樁端平面以下的土層壓縮，而忽略了樁側土的壓縮量，實際樁沉降量為樁側土壓縮與樁端土壓縮之和。將自錨試樁的上段樁及樁側土層按土層分布均勻劃分為n個單元；將自錨試樁下段樁樁頂至壓縮層計算深度處的土層按其土層分布均勻劃分為k-n個單元。將自錨試樁的下段樁按土層分布均勻劃分為m個單元，并考慮下段樁樁端平面為1個單元，下段樁共計m+1個單元。以字母i代表樁單元，i的取值范圍i=1～(n+m+1)，字母j代表土層單元，j的取值范圍為j=1～k。

土層的壓縮層計算深度可按下式確定：

σ0=0.2σZ

(1)

軟土地區壓縮層計算深度可按下式確定：

σ0=0.1σZ

(2)

式中，σ0—計算深度處的附加應力，Pa；σz—計算深度處土的自重應力，Pa。

1.1 下段樁沉降公式

自錨試樁下段樁為抗壓樁，上段樁為抗拔樁。根據文獻[20]可知，自錨試樁加載過程中，上、下段樁相互作用較小，故對下段樁沉降計算時不考慮上段樁加載對下段樁沉降的影響，認為下段樁的沉降只與下段樁自身的樁側摩阻力和樁端阻力有關。

1.1.1樁側摩阻力產生的沉降

如圖1所示，將自錨試樁第i單元樁側微面積上的摩阻力作為集中力qirdθdc，將其代入Mindlin應力解，則樁第i單元上的集中力對土層第j單元產生的附加應力σj，i可表示為：

(3)

圖1 單元劃分

附加應力σj，i對土層第j單元產生的微量豎向壓縮變形可表示為：

(4)

式中，Ej—土層第j單元的地基變形模量，Pa。

附加應力σj，i對土層第j單元產生的全部豎向壓縮變形sj，i可用下式計算：

(5)

式中，zj-1—土層第j單元上表面的埋深，m；zj—土層第j單元下表面的埋深，m。

將式(5)解積分得：

+2π(C1-C2)

(6)

則土層第j單元受樁側摩阻力作用產生的總豎向壓縮變形可由下式計算：

(7)

將sj，i作簡單拆分，令sj，i=qiIj，i。Ij，i—樁第i單元對土層第j單元的沉降系數；qi—第i單元上的平均側摩阻力，Pa。

則各級荷載作用下，每一土層單元的豎向壓縮變形可由下式計算：

(8)

將下段樁樁頂至壓縮層計算深度范圍內各土層的豎向壓縮變形累加，即為下段樁樁側摩阻力所產生的沉降量：

(9)

1.1.2樁端阻力產生的沉降

將下段樁樁端單元微面積上的樁端阻力以Pb表示，并將其代入Mindlin應力解，則樁端單元上的集中力對土層第j單元產生的附加應力σj，Pb可表示為：

(10)

附加應力σj，Pb對土層第j單元產生的微量豎向壓縮變形可表示為：

(11)

則附加應力σj，Pb對土層第j單元產生的總豎向壓縮變形為：

(12)

將式(12)解積分得：

(13)

將下段樁樁頂至壓縮層計算深度范圍內各土層單元的豎向壓縮變形累加，即為下段樁樁端阻力產生的沉降量：

(14)

將下段樁樁端阻力、樁側摩阻力產生的沉降量相加即為下段樁的沉降量：

s下=s端+s摩

(15)

2 上段樁變形公式

自錨試樁上段樁為抗拔樁，因自錨試樁上、下段樁相互作用較小[20]，故對上段樁的變形計算時不考慮下段樁加載的影響，認為上段樁的變形只與上段樁的樁側摩阻力有關。

(16)

各土層單元的豎向壓縮變形可由下式計算：

(17)

將上段樁樁周土層單元的豎向變形累加，即為上段樁的變形量：

(18)

3 變形模量E的修正

Mindlin解可用來求解各向同性彈性半空間體內集中荷載作用下的土體變形，但其存在一定局限。Mindlin解在計算過程中假設樁土界面為完全彈性接觸，利用Mindlin解對土層進行變形計算時采用單一的變形模量參數，其計算結果僅能表達樁周土體在彈性階段的荷載-位移關系，不能真實反映樁周土體內部復雜的塑性影響和非線性變形特征。由于對樁周土體處于塑性破壞階段的非線性變形無法體現，計算與實際情況存在較大誤差。

基于此，本文參考文獻[15]中的修正方法，考慮地基土層埋深、地基非均質非線性等因素的影響，利用下式對土層的變形模量進行修正，以計算樁的非線性變形。

Et=E0(1-0.8βpzi/pui)2/β

(19)

式中，Et—修正變形模量，Pa；pzi—土層第i單元處的總附加應力值，Pa；pui—土層第i單元處的附加極限應力，Pa；β—附加應力修正系數，一般取0.9，E0—地基變形模量，Pa。

pu可按下式計算：

pu=cNc+γD(Nq-1)

(20)

式中，Nc，Nq—抗剪強度指標有關的承載力系數；c—土體粘聚力，Pa；γ—基底以上土的加權重度，kN/m3；D—基底埋深，m。

Nc，Nq可按下式計算：

(21)

Nc=(Nq-1)·cotφ

(22)

式中，φ—土體內摩擦角，(°)。

地基變形模量E0按下式計算：

(23)

式中，ES—地基壓縮模量，Pa；u—土體的泊松比。

4 計算Q-s曲線驗證

本文理論分析所采用的計算參數取自文獻[1]，土體主要物理力學參數見表1。將表中數據代入公式(20)—(22)可分別計算得Nq、Nc為11.85、22.25，地基附加極限應力pu為132.21kPa，再根據公式(19)、(23)，計算得各土層單元的修正地基變形模量Et以及地基變形模量E0。

表1 土體物理力學參數

本次試驗用土為單一土層，故單元劃分無需考慮土層分布的影響。上段樁樁長為1.1m，將上段樁均勻劃分為11個單元，每個單元長0.1m；下段樁長0.1m，將其劃分為1個單元，再令樁端平面為1個單元，下段樁共2個單元。將上段樁樁側土均勻劃分為11個單元；根據式(1)可計算得下段樁壓縮層厚度為0.3m，故將下段樁樁頂(1.1m)至壓縮層計算深度(1.5m)范圍內土體均勻劃分為4個單元。

將前文推導的公式編寫入matlab數值分析軟件，再將室內模型試驗中實測得到的各工況下樁側摩阻力、樁端阻力代入公式(15)、(18)中，可分別得到自錨試樁上段樁和下段樁的Q-s曲線。

4.1 下段樁Q-s曲線對比

4.1.1下段樁Q-s曲線

如圖2所示為采用修正變形模量、未修正變形模量的計算Q-s曲線與實測Q-s曲線對比。

圖2 下段樁Q-s曲線

從圖2中可以看出，采用未修正變形模量計算得到的自錨試樁下段樁Q-s曲線近似呈線性分布。在200N至600N荷載作用下，其沉降量計算值與實測值接近，可較好地反映試樁承受荷載低于650N(單樁豎向承載力特征值)的Q-s曲線變化規律，但在700～1300N荷載范圍內，隨著荷載增加，計算值與實測值的誤差逐漸增大，在1300N極限荷載作用下計算所得的沉降量為0.69mm，而實測沉降量為2.42mm，后者為前者的3倍多。究其原因：采用單一的變形模量進行計算，假定土體始終處于彈性階段，無法考慮到隨著荷載增加樁周土內部產生的復雜塑性變化和非線性變形，導致塑性變化階段的沉降量與實測值誤差較大，且隨著荷載增加，其誤差會越來越大。而對于采用修正變形模量計算得的下段樁Q-s曲線，從圖2中可見其變化規律與實測值一致，能較好反映自錨試樁下段樁的沉降隨荷載的變化。

4.1.2樁側、樁端阻力產生的沉降

下段樁樁端阻力、樁側阻力都使下段樁產生沉降。如圖3所示為下段樁在200～1300N荷載作用下，樁端阻力與樁側阻力產生的Q-s曲線。

圖3 樁端阻力、樁側阻力沉降對比

由圖3中可見，下段樁樁側阻力所產生的沉降量隨著荷載的增加變化較小，在200N荷載作用下為0.009mm，在1300N極限荷載作用下為0.011mm，相較加載初期僅增加了0.002mm。下段樁樁端阻力產生的沉降量隨荷載的增加變化明顯，加載初期200N荷載作用下為0.081mm，1300N極限荷載作用下為2.337mm。計算條件下的下段樁樁端阻力產生的沉降量遠遠大于其樁側阻力產生的沉降量，其荷載主要由樁端阻力承擔，樁側阻力較小且在加載初期便很快完全發揮，因此下段樁的沉降主要由樁端阻力產生。

4.2 上段樁Q-s曲線對比

如圖4所示為采用修正變形模量、未修正變形模量計算得到的上段樁Q-s曲線與實測Q-s曲線對比。從圖4中可以看出，未修正變形模量的上段樁Q-s曲線呈線性分布，與實測值有較大誤差。在200～600N荷載作用下，此時樁周土體處于彈性階段，修正變形模量與未修正變形模量得到的Q-s曲線較為接近。

圖4 上段樁Q-s曲線

而在600～1300N荷載作用下，隨著荷載增加，樁周土體逐漸產生塑性變形，采用未修正變形模量得到的Q-s曲線與實測Q-s曲線產生較大誤差，無法真實反映樁周土體內部的塑性變形。1300N極限荷載作用下，實測變形值為1.140mm，采用修正變形模量、未修正變形模量計算得到的變形量分別為0.982、0.689mm，故采用修正變形模量進行計算得到的Q-s曲線與實測值更為吻合，能較好反映自錨試樁上段樁的變形隨荷載的變化情況。

5 結論

本文為分析自錨試樁上、下段樁的變形，基于Mindlin應力解，引入地基修正變形模量，結合Mindlin解與分層總和法，對自錨試樁上、下段樁變形進行研究分析，得出以下結論：

(1)采用未修正地基變形模量進行計算，得到的Q-s曲線與實測Q-s曲線相比，僅在彈性階段具有較好的一致性，在塑性階段以后，其計算變形量小于實測變形量。

(2)采用修正變形模量計算得到的Q-s曲線與實測Q-s曲線吻合度較高，可較好反映自錨試樁上、下段樁Q-s曲線變化規律。

(3)本文的研究內容可為獲得自錨試樁Q-s曲線提供一種新方法。