對稱五對角矩陣加箭型矩陣的廣義逆譜問題

蘇 然，雷英杰，李繁華

（中北大學數學學院，太原 030051）

0 引言

研究了具有形如式（1）的矩陣A，其中，ai（i＝1，2，…，n）為實數，bi＞0（i＝1，2，…，n），1≤m≤n。當m＝1時，矩陣A為對稱的箭型矩陣［1－2］，當m＝n時，矩陣A就變成對稱的五對角矩陣［3－4］。

箭型帶狀的逆譜問題起源于文獻［5－6］關于三對角矩陣和箭型矩陣的討論，三對角矩陣和箭型矩陣的逆譜問題廣泛應用在信號處理和數學建模等領域，關于此類箭狀矩陣的類似問題已得到研究，詳細見文獻［7－10］。五對角矩陣的逆譜問題應用于梁系模型中，梁系結構簡化為梁模型時，系統必須滿足一定的特殊結構，此時，系統的數學實質是一類五對角矩陣。文獻［11］討論了由3個交錯特征值構造對稱五對角矩陣，文獻［12］研究了由3個混合特征數據構造一類廣義的對稱五對角矩陣。

在文獻［8］中，作者已研究了三對角矩陣加箭型矩陣的逆譜問題，但未討論五對角矩陣加箭型矩陣的逆譜問題。相比文獻［8］，將箭型帶狀矩陣從經典的三對角矩陣［13－17］推廣到了特殊五對角矩陣。給定所有主子陣的極端特征值，通過順序主子陣間的遞推關系來構造此類箭狀矩陣明顯存在困難。結合幾何學上圓錐曲線的相關性質，通過考慮一個非退化二次圓錐曲線的存在性，研究了此類特殊箭狀矩陣的廣義逆譜問題。

問題給定實數和實數d＞0，構造具有形如式（1）的n階對稱實矩陣A，使得分別是矩陣A的j階順序主子陣Aj的最小、最大特征值，其中bm＝d。

1 預備知識

引理1給定形如式（1）的對稱矩陣A，其各階順序主子陣的特征多項式序列滿足下列遞推關系：

其中：Q1（λ）＝1和Qj－1（λ），j＝3，…，m是矩陣A通過刪除順序主子矩陣Aj－1的第j－2行和第j－2列得到其對應的特征多項式。

引理2［8］給定形如式（1）的對稱矩陣A，、分別是其對應順序主子陣Aj的最小、最大特征值的充要條件為：

推論1如果形如式（1）的對稱矩陣A的主子陣Aj的最小、最大特征值分別為i≤n－1）為矩陣A的對角元，Pj（λ）為Aj的特征多項式，那么

簡化計算定義的記號如下：

2 問題有解的充分條件

定理1給定實數和實數d＞0且bm＝d，存在一個n階實矩陣A，使得、是矩陣A的j階順序主子陣的最小、最大特征值的充分條件為：

和

證明充分性。假設條件（3）—（5）成立，矩陣A存在等價于方程組（6）的實數解。

當j＝1時，由引理1和式（6）得

當j＝2，…，m－1時，由引理1和式（6）得

由式（2）（3）和推論1知

當j＝m時，由引理1和式（6）得

式（9）可以寫為：

其中

為了求解式（10），由式（2）得

其中

點（X，Y）＝（bm－1，bm）一定屬于集合C：

集合C包含在圓錐曲線中。不管它是否退化，圓錐曲線始終存在。

等式（11）可以寫為LMLΤ＝0，其中

當detM＝0時，圓錐曲線C是退化的，且不存在。

當detN＞0和（Um＋Vm）detM＞0時，圓錐曲線是虛橢圓，即C＝?。

由條件（3）和推論1得－（Um＋Vm）Wm＞0。

因此，如果detN＞0，有（Um＋Vm）detM＝（Um＋Vm）WmdetN＜0，此時，圓錐曲線是橢圓，且圓錐曲線C始終存在，所以bm－1、bm存在且滿足式（10）。

當bm＝d，X＝bm－1時，由式（11）得

由定理1中條件（4）和（5）解得

由條件（5）知，bm－1有2個解，選bm－1＞0。

由式（10）和推論1得

當bm－1＝d，Y＝bm時，類似上述證明，解得

當j＝m＋1時，由引理1和式（6）得

由推論1得

當j＝m＋2，…，n時，由引理1知

由引理2和推論1得

證畢。

注1

1）在定理1重構對稱矩陣A的順序主子陣Am時，主子陣Am的所有項都是唯一的，除了am。

2）定理1保證了圓錐曲線C總是存在的，不管它是否退化，設bm＝d，相當于在平面內考慮直線X＝d，這條直線可能與圓錐曲線C相交，也可能不相交。定理1中條件（4）保證了直線X＝d與圓錐曲線至少有一個交點。

推論2基于定理1的相同假設和表示下：

2）如果滿足條件（3）和bm＝d。則存在形如式（1）的主子陣Am，使得j＝1，…，m是矩陣A的j階順序主子陣的最小、最大特征值，且滿足條件（3）和bm＝d。

注2在幾何學上，推論2的建立可能得出不同類型的圓錐曲線，有2種情況：

1）如果Um（Vmd2＋Wm）＝0，detM＝detN＝0時，圓錐曲線是退化的，當Wm（Um＋Vm）＜0，圓錐曲線是由2條平行線組成，在這種情況下，任何直線X＝d與圓錐曲線相交。如果Um（Vmd2＋Wm）＞0，detM≠0和detN＜0，圓錐曲線X＝d是一個雙曲線，在這種情況下，任何直線X＝d與雙曲線相交。

2）如果detN＞0，（Um＋Vm）detM＜0，圓錐曲線C是一個橢圓，由于橢圓的中心在Y軸上，任何直線X＝d＞0，d在一個適當的區間內與橢圓相交。

3 數值算法與實例

3.1 數值算法

步驟1輸入實數和實數d＞0且bm＝d；

步驟2若滿足定理1中的條件（3）則繼續；否則算法結束；

步驟3當j＝1時，計算a1＝；

步驟4當j＝2，…，m－1時，計算

步驟5當j＝m時，計算UmVm，Um（Vmd2＋Wm），再進行判斷UmVm＜0且Um（Vmd2＋Wm）＜0，如果成立，執行步驟6，否則停止；

步驟6計算

步驟7當j＝m＋1時，計算

步驟8當j＝m＋2時，計算

步驟9輸出矩陣A。

3.2 數值實例

表1所示為初始特征數據，設定m＝4，n＝6。

解當d＝1時，滿足表1，通過3.1節的數值算法和Matlab R2021b計算得矩陣A6的主子陣A4為：

當d＝3時，意味著矩陣A6不存在主子陣A4。根據推論2得即d∈（0，2.463 7），此時，矩陣A6存在主子陣A4且b4＝d。

通過3.1節的數值算法和Matlab R2021b計算得到矩陣為：

再通過Matlab R2021b計算矩陣A6的順序主子陣的特征值如下：

圖1為矩陣A6所有主子陣特征值的演示結果。

圖1 定理1中低階A j特征值的分布

4 結論

基于三對角矩陣和箭型矩陣的研究，討論了對稱五對角矩陣加箭型矩陣的廣義逆譜問題。前人利用特征值的交錯性解決了三對角矩陣加箭型矩陣的逆譜問題，然而通過該方法重構五對角矩陣加箭型矩陣時，明顯存在困難，故在其基礎上進行改進，通過加入其他約束條件保證了二次曲線一般方程的存在性，實現了特殊箭型帶狀矩陣的重構。給定各主子陣的極端特征值，通過順序主子陣間的遞推關系，將矩陣的逆譜問題轉換為求解圓錐曲線方程的問題，獲得了問題有解的充分條件和解的表達式。這對研究其他矩陣的逆譜問題有一定的借鑒意義。