一類拋物型方程初值與源項(xiàng)同時(shí)反演問題的唯一性與數(shù)值計(jì)算

阮周生，萬廣紅，陳振興

（東華理工大學(xué)理學(xué)院，南昌 330013）

0 引言

拋物型偏微分方程是一類被廣泛用來刻畫守恒現(xiàn)象的方程，在地下水污染的預(yù)防與治理、血液內(nèi)部藥物溶度擴(kuò)散的預(yù)測、熱場中溫度分布的計(jì)算及傳染病的預(yù)測與防護(hù)等實(shí)際問題中有重要的應(yīng)用［1］。在利用拋物型偏微分方程描述具體現(xiàn)象時(shí)，往往系統(tǒng)中存在某些不明確或不易得到的信息，這些未知信息通常需要通過其他的附加信息來重構(gòu)或反演，數(shù)學(xué)上將這類問題歸結(jié)為拋物型微分方程反問題。拋物型微分方程初值反問題、源項(xiàng)反問題是2類典型的反問題，一直受到眾多學(xué)者的關(guān)注，如文獻(xiàn)［2－6］分別采用吉洪諾夫正則化、同倫分析方法、卷積正則化方法、截?cái)嗾齽t化方法及擬邊值正則化方法考慮了拋物型方程初值反問題；文獻(xiàn)［7－9］分別采用基于變分伴隨的梯度優(yōu)化方法、算子半群方法及深度學(xué)習(xí)方法研究了拋物型方程僅與空間變量有關(guān)的源項(xiàng)反問題。針對(duì)初值與源項(xiàng)聯(lián)合反演問題，文獻(xiàn)［10－11］基于2個(gè)終止時(shí)刻的觀測數(shù)據(jù)或一個(gè)終止時(shí)刻的觀測數(shù)據(jù)附加邊界上一段時(shí)域內(nèi)的觀測數(shù)據(jù)，分別采用擬逆法、最優(yōu)化方法考慮了初值與源項(xiàng)同時(shí)反演問題。以上文獻(xiàn)對(duì)初值反問題、源項(xiàng)反問題或同時(shí)反演問題的研究所附加的終止時(shí)刻觀測數(shù)據(jù)為空間區(qū)域全局?jǐn)?shù)據(jù)，從實(shí)際應(yīng)用角度看，空間全局觀測數(shù)據(jù)的獲取往往比較困難，通常只能獲得局部觀測數(shù)據(jù)。最近，文獻(xiàn)［12－13］從實(shí)際應(yīng)用角度出發(fā)，基于稀疏觀測數(shù)據(jù)，利用Laplace變換、解析延拓研究了一類拋物型方程逆時(shí)反問題和源項(xiàng)反問題的唯一性。文獻(xiàn)［12］基于局部觀測數(shù)據(jù)僅考慮了拋物型微分方程源項(xiàng)反問題，受文獻(xiàn)［12］的啟發(fā)，考慮如下拋物型方程同時(shí)反演問題：

同時(shí)反演問題考慮含局部區(qū)域3個(gè)不同時(shí)刻的觀測數(shù)據(jù)gi（x），x∈Ωi?Ω，i＝1，2，3來同時(shí)反演源項(xiàng)f（x）與初值u0（x），即附加數(shù)據(jù)為：

式中：Ω0為Ω的子域，Ti，i＝1，2，3為3個(gè)不同的觀測時(shí)刻，滿足：T1＜T2＜T3。

1 同時(shí)反演問題的唯一性

由于－Δ為一致橢圓型算子，故存在可數(shù)的特征值，不失一般性，記為，滿足λ1≤λ2≤…。記φi（x）為相應(yīng)的規(guī)范特征函數(shù)，即有－Δφi＝λiφi（x），i＝1，2，…。下面先證明基于2點(diǎn)終止時(shí)刻的局部觀測數(shù)據(jù)同時(shí)反演問題的非唯一性。

1.1 局部區(qū)域2個(gè)觀測時(shí)刻附加數(shù)據(jù)下同時(shí)反演問題的非唯一性

利用特征函數(shù)展開法，式（1）的級(jí)數(shù)形式解可表示為：

式中：u0，i＝＜u0（x），φi（x）＞，fi＝＜f（x），φi（x）＞為相應(yīng)初值和源項(xiàng)的傅里葉系數(shù)，i＝1，2，…，符號(hào)＜·，·＞代表函數(shù)內(nèi)積。顯然有

構(gòu)造如下輔助問題：

同理可得上述問題（5）的解為：

故，當(dāng)g1（x）＝g2（x）＝0時(shí)，有

1.2 含局部區(qū)域3個(gè)觀測時(shí)刻附加數(shù)據(jù)下同時(shí)反演問題的唯一性

下面給出基于局部區(qū)域3個(gè)觀測時(shí)刻數(shù)據(jù)下同時(shí)反演問題的唯一性結(jié)論。

定理1設(shè)，則局部觀測數(shù)據(jù)gi（x）＝u（x，Ti）∈H2（Ωi）∩H1（Ωi），i＝1，2，3，x∈Ωi，且T2－T1≠T3－T2，可以唯一的決定初值u0（x）與源項(xiàng)f（x）。

證明利用特征函數(shù)展開法，同理有

在輔助問題（5）中，取初值v（x，0）＝v0，2（x），則問題的解：

比較知，對(duì)任意的x∈Ω0，有v2（x，T2）＝g2（x）－g3（x）。從而知g2（x）－g3（x）在Ω0內(nèi)解析，由解析延拓有

分析知，若g1（x）＝g2（x）＝g3（x）＝0，x∈Ωi，則有

2 反演算法

定理得證。

利用疊加原理，問題（1）可以分解為下面2個(gè)子問題：

顯然有u（x，t）＝u1（x，t）＋u2（x，t）。定義子問題（11）與（12）的解算子為K1，K2，即：u1（x，t）＝K1［u0］（x，t），u2（x，t）＝K2［f］（x，t）。

顯然有

采取有限元插值逼近技術(shù)考慮同時(shí)反演問題的反演算法，首先對(duì)空間求解域Ω進(jìn)行剖分，d＝1時(shí)，取步長為h進(jìn)行等距剖分，d＝2時(shí)，對(duì)Ω進(jìn)行正則三角形分割，設(shè)分割所得域?yàn)門h，對(duì)應(yīng)的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)集為。定義Vh為在剖分域Th上分片連續(xù)的有限元函數(shù)空間，即

考慮到與齊次邊界的相容性，有u0｜?Ω ＝f｜?Ω ＝0。利用有限元插值，初值u0（x）和源項(xiàng)f（x）可以近似地表示為ψi（x）為線性有限元基函數(shù)，定義為：，其中u0，i＝u0（pi），fi＝f（pi），

因此，同時(shí)反演初值u0（x）與源項(xiàng)f（x）的問題近似轉(zhuǎn)化為求2（N＋1）維實(shí)向量F＝［u0，0，…，u0，N，f0，…，fN］T的問題。

基于疊加原理，式（13）可以近似為：

在子問題（11）和子問題（12）中分別令u0（x）＝ψi（x），f（x）＝ψi（x），i＝0，1，…，N，利用有限元并行求解，得到K1［ψi］（x，Tk），K2［ψi］（x，Tk），i＝0，1，…，N，k＝1，2，3在區(qū)間Ωk上的數(shù)值解行向量，分別記為記gk分為gk（x），k＝1，2，3在Ωk內(nèi)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的離散行向量。記應(yīng)的離散方程組：則得到近似方程（14）對(duì)

你5歲時(shí)開始學(xué)象棋,還記得2015年參加南京市“金陵杯”象棋比賽嗎？那次高手如云，且你年齡上也不占優(yōu)勢，最痛苦的是第一局你竟然輸了。你有點(diǎn)失落，爸爸跟你說：“朗朗沒事，只要下出自己應(yīng)有的水平就行了！堅(jiān)持就是勝利。”聽了爸爸的話，你卸下包袱，過五關(guān)，斬六將，一路廝殺，超常發(fā)揮，結(jié)果獲得了第二名的好成績。站在領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)上，你無比感慨,也記住了爸爸的話：堅(jiān)持就是勝利！

考慮到反問題的不適定性，計(jì)算時(shí)采取下面Tikhonov正則化方法求解方程組（16），即

正則化參數(shù)α采用Morozov偏差準(zhǔn)則來選取，即取正則化參數(shù)α滿足其中τ為稍大于3的正常數(shù)。

綜上所述，可以歸結(jié)同時(shí)反演問題的反演算法，如算法1所示。

算法1反演算法

步驟1給定不同觀測時(shí)刻的觀測數(shù)據(jù)），k＝1，2，3，x∈Ω0，得到Gδ；

步驟2并行計(jì)算2N＋2個(gè)定解問題，得到向量組，＝0，1，…，N，k＝1，2，3，進(jìn)而得到系數(shù)矩陣；

步驟3選取初始正則化參數(shù)α0及常數(shù)r∈（0，1），利用幾何級(jí)數(shù)下降法αk＝選取滿足偏差準(zhǔn)則的后驗(yàn)正則化參數(shù)α*；

步驟4將后驗(yàn)正則化參數(shù)α*代入離散正則化方程組（17），求得正則化解向量，進(jìn)而求得初值與源項(xiàng)的正則化解。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)裝配

數(shù)值計(jì)算只考慮d＝1，2的情形。d＝1時(shí)，＝［0，1］，d＝2時(shí)時(shí)等距剖分為100個(gè)區(qū)間單元，d＝2時(shí)三角一致剖分為440個(gè)三角單元。觀察數(shù)據(jù)是精確的數(shù)據(jù)（通過解析解或利用精確初值與源項(xiàng)通過數(shù)值求解正問題獲得），ξi為在［－1，1］上服從均勻分布的隨機(jī)變量。離散觀測矩陣?yán)脮r(shí)間方向向后有限差分、空間方向有限元離散格式進(jìn)行計(jì)算，其中時(shí)間取等距步長；當(dāng)正問題不具有精確解時(shí)，觀測數(shù)據(jù)通過采取時(shí)間方向向后有限差分、空間方向有限元離散格式求解正問題的途徑來得到，其中時(shí)間離散步長當(dāng)d＝1時(shí)，Ω0分別取定為以下3種情形：；當(dāng)d＝2時(shí)，Ω0分別取定為以下2種情形：④

3.2 數(shù)值算例

例1d＝1，精確初值與源項(xiàng)分別取u0（x）＝πsin（πx）＋0.1sin（2πx），f（x）＝π2sin（πx），定解問題（1）有精確解u（x，t）＝0.1e－4π2tsin（2πx）＋（1＋（π－1）e－π2t）sin（πx）。

例2d＝2，設(shè)精確初值與源項(xiàng)分別取，定解問題（1）不存在精確解。

例1與例2的反演結(jié)果見表1。

表1 不同觀測噪聲水平下反演解的相對(duì)誤差

從表1及圖1—圖4計(jì)算結(jié)果可以看出，反演解隨著噪聲水平的逐漸減小越來越逼近精確解，顯示算法具有良好的穩(wěn)定性與收斂性，且從表1可以看出，觀測區(qū)域較大時(shí)反演的結(jié)果整體比觀測區(qū)域較小時(shí)反演的結(jié)果要好，導(dǎo)致的原因是在相同數(shù)量的觀測數(shù)據(jù)下，大觀測區(qū)域下觀測數(shù)據(jù)反饋的信息比小觀測區(qū)域下觀測數(shù)據(jù)反饋的信息更全面，同樣從表1可觀察出源項(xiàng)反演的效果比初值反演的效果整體稍好，這也符合拋物型方程源項(xiàng)反問題的不適定性弱于逆時(shí)反問題的不適定性這一事實(shí)。

圖1 例1精確初值曲線（a）及情形③不同噪聲水平下反演初值對(duì)應(yīng)的誤差曲線（b）

圖2 例1精確源項(xiàng)曲線（a）及情形③不同噪聲水平下反演源項(xiàng)對(duì)應(yīng)的誤差曲線（b）

圖3 例2精確初值曲面（a）及情形⑤時(shí)不同噪聲水平下反演初值對(duì)應(yīng)的誤差曲面（b）、（c）、（d）

圖4 例2精確源項(xiàng)曲面（a）及情形⑤時(shí)不同噪聲水平下反演源項(xiàng)對(duì)應(yīng)的誤差曲面（b）、（c）、（d）

4 結(jié)論

基于特征函數(shù)展開法和拋物型方程解的解析延拓理論，建立了基于空間局部觀測數(shù)據(jù)的一類拋物型方程源項(xiàng)與初值同時(shí)反演問題的唯一性理論，且借助于有限元插值方法及疊加原理，設(shè)計(jì)了易于并行的反演算法，并通過數(shù)值算例說明了反演算法的穩(wěn)定性與收斂性。考慮的是基于局部觀測數(shù)據(jù)的整數(shù)階拋物型方程初值與源項(xiàng)同時(shí)反演問題，后續(xù)將考慮基于局部觀測數(shù)據(jù)的分?jǐn)?shù)階拋物型方程初值與源項(xiàng)同時(shí)反演問題及其深度學(xué)習(xí)反演算法。