最小二乘算法優(yōu)化及其在鋰離子電池參數(shù)辨識(shí)中的應(yīng)用

范興明 封 浩 張 鑫

最小二乘算法優(yōu)化及其在鋰離子電池參數(shù)辨識(shí)中的應(yīng)用

范興明 封 浩 張 鑫

（桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 桂林 541004）

傳統(tǒng)最小二乘法（LS）用于鋰離子電池模型在線參數(shù)辨識(shí)精度低，通過帶遺忘因子遞推最小二乘算法能夠有效地提高辨識(shí)精度，但固定的遺忘因子影響模型動(dòng)態(tài)特性。遺忘因子的自適應(yīng)處理能提高算法對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)能力，而目前的自適應(yīng)方法容易忽略模型參數(shù)的穩(wěn)定性，同時(shí)方法待定系數(shù)范圍較大且難以確認(rèn)。為了得到高精度且穩(wěn)定性良好的模型參數(shù)，該文設(shè)計(jì)了一種精度和穩(wěn)定性兼優(yōu)且更簡(jiǎn)單的自適應(yīng)遺忘因子遞推最小二乘（AFFRLS）改進(jìn)方法，并與其他AFFRLS、可變遺忘因子遞推最小二乘（VFFRLS）進(jìn)行仿真對(duì)比分析。結(jié)果表明，改進(jìn)的AFFRLS能夠在模型精度和參數(shù)穩(wěn)定性取得更好的平衡，且對(duì)不同的在線工況具有良好的適用性。

鋰離子電池模型 參數(shù)辨識(shí) 最小二乘法 自適應(yīng)遺忘因子

0 引言

鋰離子電池為新能源汽車提供主要?jiǎng)恿碓矗哂心芰棵芏却蟆⑤敵鲭妷焊叩忍攸c(diǎn)。實(shí)際應(yīng)用中，掌握電池荷電狀態(tài)（State of Charge, SOC）對(duì)電池的管理和控制至關(guān)重要。鋰電池充放電過程具有動(dòng)態(tài)非線性特性，內(nèi)部伴隨著復(fù)雜的電化學(xué)反應(yīng)，并受到外部因素的影響，導(dǎo)致準(zhǔn)確地估算SOC成為難題[1]。

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者通過模型方法模擬電池內(nèi)部電動(dòng)力過程和電化學(xué)反應(yīng)過程，常見的模型有：等效電路模型（Equivalent Circuit Model, ECM）[2-3]、電化學(xué)模型（Electrochemical Model, EM）[4]、電化學(xué)阻抗模型（Electrochemical Impedance Model, EIM）[5]。其中EM模擬準(zhǔn)確度更高，但結(jié)構(gòu)復(fù)雜，估算參數(shù)較多；ECM由電壓源、電阻、電容組合表示，結(jié)構(gòu)比EM簡(jiǎn)單；EIM模擬電池動(dòng)態(tài)特性良好，但參數(shù)的獲取依賴精密儀器，難以在線應(yīng)用。綜合模擬精度和模型復(fù)雜度，二階RC等效電路模型常被用來研究電池內(nèi)部電動(dòng)力過程和電化學(xué)反應(yīng)過程。獲得高精度的模型參數(shù)是建立模型的關(guān)鍵，辨識(shí)模型參數(shù)有離線和在線辨識(shí)方法[6]。離線方法通過實(shí)驗(yàn)獲取模型參數(shù)，但參數(shù)結(jié)果難以反映電池時(shí)變特性；在線方法利用電池工況測(cè)量的端電壓和輸出電流，通過算法辨識(shí)模型參數(shù)，辨識(shí)結(jié)果精度更高，動(dòng)態(tài)特性良好。

常見的在線參數(shù)辨識(shí)算法有遺傳算法（Genetic Algorithm, GA）[7]、遞推最小二乘算法（Recursive Least Square, RLS）[8]、粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）[9]、擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter, EKF）[10]等。其中，GA辨識(shí)精度和收斂速度與算法參數(shù)有關(guān)，算法易陷入局部最優(yōu)。RLS結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但辨識(shí)誤差較大。PSO用于參數(shù)辨識(shí)，與RLS和EKF相比，準(zhǔn)確度較低[11]。而EKF需要計(jì)算雅可比矩陣，計(jì)算量較大。為了進(jìn)一步提高RLS辨識(shí)精度，不少研究對(duì)RLS進(jìn)行了優(yōu)化。例如，帶遺忘因子最小二乘（Forgetting Factor Recursive Least Square, FFRLS）通過遺忘因子來調(diào)整新舊數(shù)據(jù)的比例，降低舊數(shù)據(jù)占比，加快算法收斂速度[1,12]。基于傅里葉變換的偏置補(bǔ)償遞推最小二乘對(duì)系統(tǒng)噪聲進(jìn)行補(bǔ)償[13]，精度較高，但收斂速度不及FFRLS。用于分?jǐn)?shù)階的重復(fù)預(yù)測(cè)遞推最小二乘，通過修正分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的近似誤差，來提高辨識(shí)精度，算法結(jié)構(gòu)復(fù)雜[14]。解耦加權(quán)遞推最小二乘將模型的快、慢動(dòng)態(tài)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)[15]，計(jì)算量比FFRLS大。遞推擴(kuò)展最小二乘[16]引入遺忘因子和噪聲估計(jì)，但結(jié)構(gòu)比FFRLS復(fù)雜。FFRLS用于在線參數(shù)辨識(shí)，精度高，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于在微控制器實(shí)現(xiàn)應(yīng)用。電池充放電過程中的電壓電流動(dòng)態(tài)變化，固定的遺忘因子影響參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的時(shí)變性和辨識(shí)精度。因此，對(duì)遺忘因子作動(dòng)態(tài)處理，通過改變遺忘因子的權(quán)重來適應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化[17]，文獻(xiàn)[18]提出了可變遺忘因子遞推最小二乘（Variable Forgetting Factor Recursive total Least Squares, VFFRLS），通過修正誤差實(shí)時(shí)改變遺忘因子大小。文獻(xiàn)[19]通過模擬退火算法優(yōu)化FFRLS，實(shí)現(xiàn)遺忘因子動(dòng)態(tài)變化，但計(jì)算較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[20]設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)表達(dá)式，通過修正誤差對(duì)遺忘因子作自適應(yīng)處理，與VFFRLS對(duì)比有更高的精度和響應(yīng)速度。文獻(xiàn)自適應(yīng)遺忘因子最小二乘（Adaptive Forgetting-Factor Least Square, AFFRLS）方法中的待定系數(shù)影響算法對(duì)誤差的跟蹤能力，其待定系數(shù)取值范圍較大，給實(shí)際應(yīng)用帶來一定困難。且現(xiàn)有自適應(yīng)方法容易忽略模型的參數(shù)穩(wěn)定性，而辨識(shí)參數(shù)波動(dòng)過大容易引起算法發(fā)散。因此，本文設(shè)計(jì)了一種精度和穩(wěn)定性兼優(yōu)且更簡(jiǎn)單的自適應(yīng)遺忘因子遞推最小二乘改進(jìn)方法。

本文在鋰離子電池二階RC等效電路模型的基礎(chǔ)上，首先通過電池動(dòng)態(tài)應(yīng)力測(cè)試（Dynamic Stress Test, DST）、美國(guó)聯(lián)邦城市運(yùn)行工況（Federal Urban Driving Schedule, FUDS）動(dòng)態(tài)工況數(shù)據(jù)，分析緩變與劇變工況下不同遺忘因子對(duì)FFRLS辨識(shí)參數(shù)穩(wěn)定性和精度的影響；然后利用固定遺忘因子值的FFRLS仿真表現(xiàn)，選擇合適的遺忘因子取值范圍；再將本文改進(jìn)的AFFRLS用于在線參數(shù)辨識(shí)，通過兩種不同動(dòng)態(tài)工況驗(yàn)證算法的辨識(shí)精度和參數(shù)穩(wěn)定性；最后將本文改進(jìn)的AFFRLS與文獻(xiàn)提及的VFFRLS[18]、自適應(yīng)遺忘因子遞推最小二乘[20]進(jìn)行對(duì)比分析。仿真結(jié)果表明，本文改進(jìn)的AFFRLS在不同工況具有良好的適用性，在緩變和劇變工況下的精度都優(yōu)于文獻(xiàn)[18,20]中自適應(yīng)遺忘因子最小二乘方法，且參數(shù)穩(wěn)定性優(yōu)于FFRLS取固定遺忘因子值為0.980、0.985的辨識(shí)結(jié)果。

1 鋰離子電池等效電路模型

ECM通過電壓源、電阻和電容的組合建立物理模型，模擬電池內(nèi)部復(fù)雜的電化學(xué)現(xiàn)象。選擇的二階RC等效電路模型包括電壓源、內(nèi)阻、兩個(gè)RC并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)。鋰離子二階RC電池等效電路模型如圖1所示[20]。圖1中，oc為開路電壓，L為端電壓，()為輸出電流，0為內(nèi)阻；1、1分別為電化學(xué)極化電阻和電化學(xué)極化電容，其乘積表示電池內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性較長(zhǎng)的時(shí)間常數(shù)；2、2分別為濃差極化電阻和濃差極化電容，其乘積表示電池動(dòng)態(tài)特性較短的時(shí)間常數(shù)。模型在電池放電時(shí)()為正，充電時(shí)為負(fù)。

圖1 鋰離子二階RC電池等效電路模型

由基爾霍夫定律，等效電路可表示為

對(duì)式（1）進(jìn)行拉氏變換得到

令時(shí)間常數(shù)111、222，化簡(jiǎn)得

式中，0、1、2、3、4為常數(shù)。

2 最小二乘及其優(yōu)化方法

2.1 最小二乘原理

LS方法簡(jiǎn)單，計(jì)算耗時(shí)短，辨識(shí)易于實(shí)現(xiàn)，目前在線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)均有應(yīng)用。算法核心是使預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差平方和最小[18]。算法簡(jiǎn)單描述如下。

式中，()為系統(tǒng)測(cè)量誤差向量。

令待估計(jì)參數(shù)向量為

()=[12…12…]T

輸入數(shù)據(jù)量為

[(-1)(-2) …(-)(-1)(-2) …(-)]T

將式（5）寫成最小二乘形式為

經(jīng)過次觀測(cè)，取評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)為

當(dāng)輸入數(shù)據(jù)量較大時(shí)，常把式（7）用遞推形式表示，即遞推最小二乘（RLS），表達(dá)式為

則模型參數(shù)關(guān)系為最小二乘式，可表示為

由式（11）得到模型參數(shù)表達(dá)式為

2.2 帶遺忘因子最小二乘（FFRLS）

傳統(tǒng)RLS辨識(shí)模型參數(shù)時(shí)，隨著遞推過程舊數(shù)據(jù)不斷累積，新數(shù)據(jù)的修正作用受到影響。為了降低舊數(shù)據(jù)的比例，引入遺忘因子，F(xiàn)FRLS表達(dá)式為

式中，()為預(yù)測(cè)誤差。取值范圍一般在0.95～1，當(dāng)=1時(shí)，算法回到最初的RLS。

當(dāng)()較小時(shí)，說明辨識(shí)結(jié)果接近真實(shí)值，此時(shí)希望提高參數(shù)穩(wěn)定性；當(dāng)()較大時(shí)，算法對(duì)系統(tǒng)跟蹤能力較差，需要降低值來提高算法精度，加快算法收斂速度。自適應(yīng)方法將值隨系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化而變化，能有效提高算法對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)時(shí)變參數(shù)的跟蹤能力和算法精度。

2.3 可變遺忘因子最小二乘（VFFRLS）

文獻(xiàn)[18]基于可變遺忘因子策略，提出了一種VFFRLS算法，根據(jù)誤差大小變化來調(diào)整值。值更新表達(dá)式為

當(dāng)2()趨于0時(shí)，值趨于1；當(dāng)2()趨于無窮時(shí)，值趨于min[18]。可變遺忘因子策略能夠?qū)崿F(xiàn)值自適應(yīng)變化，且方法簡(jiǎn)單。但趨于最小值的速度受值大小影響，對(duì)系數(shù)取值要求較高。值與min取合理范圍，其算法參數(shù)辨識(shí)效果會(huì)更好。

2.4 自適應(yīng)遺忘因子最小二乘（AFFRLS）

文獻(xiàn)[20]提出的AFFRLS在()大于預(yù)測(cè)允許誤差時(shí)，值趨于min；相應(yīng)地，小于預(yù)測(cè)允許誤差時(shí)，值變大。表達(dá)式為

2.5 AFFRLS改進(jìn)方法

上述自適應(yīng)方法容易忽略參數(shù)結(jié)果的穩(wěn)定性問題，且參數(shù)待定系數(shù)需進(jìn)一步確認(rèn)。本文尋求算法辨識(shí)精度和穩(wěn)定性的平衡，將在緩變和劇變工況數(shù)據(jù)下進(jìn)行仿真分析。當(dāng)()較大時(shí)，希望值快速接近最小值，提高辨識(shí)精度；而()在誤差允許范圍內(nèi)，值應(yīng)當(dāng)趨于最大值，提高參數(shù)穩(wěn)定性。為了實(shí)現(xiàn)上述目的，本文提出了一種新的改進(jìn)AFFRLS，表達(dá)式為

改進(jìn)的AFFRLS參數(shù)辨識(shí)流程如圖2所示。首先由測(cè)量數(shù)據(jù)組成()，結(jié)合式（13）和式（10）計(jì)算增益、預(yù)測(cè)端電壓及預(yù)測(cè)誤差，并更新參數(shù)向量。將參數(shù)向量通過式（11）和式（12）計(jì)算得到模型參數(shù)，后由式（16）自適應(yīng)更新算法值。

圖2 改進(jìn)AFFRLS方法參數(shù)辨識(shí)流程

3 基于FFRLS在線參數(shù)辨識(shí)與仿真分析

首先利用DST和FUDS工況數(shù)據(jù)對(duì)不同值下FFRLS進(jìn)行在線參數(shù)辨識(shí)，分析緩變和劇變工況下不同值對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響。

本文數(shù)據(jù)集來自馬里蘭大學(xué)高級(jí)生命周期工程研究中心[21]，測(cè)試電池為18650鎳鈷錳酸鋰/石墨鋰離子單體電池，容量為2 A?h，實(shí)驗(yàn)表明增量開路電壓（Open Circuit Voltage, OCV）實(shí)驗(yàn)建立的OCV-SOC關(guān)系更準(zhǔn)確，OCV-SOC仿真數(shù)據(jù)選取25℃增量OCV實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。選取25℃實(shí)驗(yàn)環(huán)境下DST、FUDS實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用于模型在線辨識(shí)。模型辨識(shí)精度通過實(shí)測(cè)端電壓和模擬端電壓的平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error, MAE）、方均根誤差（Root Mean Squared Error, RMSE）和最大絕對(duì)誤差值（Maximum absolute Error, ME）衡量。

選取的DST實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集在電池放電至SOC為80%基礎(chǔ)上靜置2 h，再以一定規(guī)律的充放電電流周期性循環(huán)模擬動(dòng)態(tài)工況，單次循環(huán)時(shí)間為360 s。取遺忘因子分別為0.980、0.985、0.990、0.995、1，對(duì)DST實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真分析，參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如圖3所示。

由圖3a～圖3e參數(shù)辨識(shí)結(jié)果可知，=1時(shí)，圖形趨于一條直線，參數(shù)穩(wěn)定；=0.980時(shí)，算法最快收斂，整體上圖形波動(dòng)幅度最大，參數(shù)波動(dòng)反映了模型參數(shù)隨電壓電流變化而變化的時(shí)變特性。其中圖3a～圖3e的圖形趨勢(shì)顯示，隨著值減小參數(shù)圖形波動(dòng)逐漸變大，參數(shù)穩(wěn)定性下降。誤差圖3f為基于模型參數(shù)的預(yù)測(cè)端電壓與實(shí)測(cè)端電壓誤差的時(shí)間變化曲線，可以看出，=0.980時(shí)誤差分布最接近0點(diǎn)，=1時(shí)誤差曲線在0點(diǎn)上下波動(dòng)最明顯。

估算端電壓與實(shí)測(cè)端電壓誤差見表1。由表1可以得到，越接近1，誤差越大；MAE隨減小而減小，但從0.995到0.980變化逐漸不明顯；RMSE隨著減小而減小，變化幅度隨之變小；最大誤差隨著減小而持續(xù)減小。從誤差數(shù)據(jù)來看，越接近0.980，估計(jì)精度越高。減小時(shí)，舊數(shù)據(jù)在迭代過程的修正誤差比重下降，新數(shù)據(jù)比重增加，算法對(duì)系統(tǒng)時(shí)變參數(shù)的跟蹤能力得到加強(qiáng)。

表1 DST工況下端電壓估算結(jié)果

Tab.1 Results of terminal voltage estimation via DST

從辨識(shí)結(jié)果來看，對(duì)于參數(shù)0、1、2、1、2的辨識(shí)，隨著減小，算法收斂速度加快，精度逐漸提高，參數(shù)時(shí)變特性更好。但參數(shù)波動(dòng)過大易引起算法發(fā)散。可見取合適的值對(duì)參數(shù)估算有著重要意義。

FUDS實(shí)驗(yàn)是在電池滿電狀態(tài)放電至SOC為80%，后靜置2 h，以1 372 s劇烈變化的充放電電流開展。FUDS相比DST工況電池動(dòng)態(tài)變化更劇烈，通過FUDS工況數(shù)據(jù)驗(yàn)證不同值下FFRLS對(duì)復(fù)雜在線工況的辨識(shí)能力。

FUDS與DST工況辨識(shí)結(jié)果規(guī)律表現(xiàn)一致，圖形在此省略。FUDS仿真顯示，越小，收斂速度越快，參數(shù)曲線動(dòng)態(tài)特性越明顯，取0.980時(shí)誤差分布最接近0點(diǎn)，而取1時(shí)誤差波動(dòng)最明顯。

FUDS工況下端電壓估算結(jié)果見表2，可知FUDS工況下不同值誤差規(guī)律與DST工況下一致，整體上越小，誤差越小。最大絕對(duì)誤差在取0.980～0.990時(shí)無明顯變化，此時(shí)取=0.990對(duì)系統(tǒng)電壓電流劇烈變化跟蹤能力較好。表2與表1對(duì)比可得，表2中MAE與RMSE數(shù)值更大，差值小于0.24 mV，說明對(duì)于急劇變化的系統(tǒng)，F(xiàn)FRLS估算精度有所下降。

表2 FUDS工況下端電壓估算結(jié)果

Tab.2 Results of terminal voltage estimation via FUDS

由DST和FUDS仿真結(jié)果來看，對(duì)于不同動(dòng)態(tài)工況，值減小，參數(shù)的精度得到提高，但穩(wěn)定性有所下降。當(dāng)修正誤差較大時(shí)，通過減小值來增強(qiáng)算法對(duì)動(dòng)態(tài)參數(shù)的跟蹤能力；當(dāng)修正誤差較小時(shí)，應(yīng)令值趨于1提高參數(shù)穩(wěn)定性。對(duì)值動(dòng)態(tài)匹配能夠在算法辨識(shí)的精度和穩(wěn)定性中尋求平衡，并能提高不同工況下的適用性。

4 基于自適應(yīng)遺忘因子最小二乘算法參數(shù)辨識(shí)與仿真分析

第3節(jié)得到了不同值下FFRLS對(duì)在線參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的影響規(guī)律，綜合考慮精度和穩(wěn)定性，值取0.980～1。本節(jié)對(duì)本文改進(jìn)AFFRLS、文獻(xiàn)[18]中VFFRLS、文獻(xiàn)[20]中AFFRLS進(jìn)行仿真分析。首先通過DST工況數(shù)據(jù)進(jìn)行在線參數(shù)辨識(shí)，仿真結(jié)果如圖4所示。

由圖4a～圖4e可以看出，VFFRLS圖形走勢(shì)最平緩，圖形波動(dòng)最小，參數(shù)動(dòng)態(tài)特性較差；固定值下FFRLS方法參數(shù)波動(dòng)最大。另由圖4f中L預(yù)測(cè)誤差可知，估算前期和后期本文AFFRLS改進(jìn)方法出現(xiàn)的誤差峰值更小，誤差波動(dòng)小于文獻(xiàn)方法。

圖4f誤差曲線中，在算法開始階段，受參數(shù)初始值設(shè)定不當(dāng)?shù)挠绊懀A(yù)測(cè)誤差出現(xiàn)短暫波動(dòng)，但隨迭代過程逐漸得到修正。從276～8 898 s數(shù)據(jù)點(diǎn)，本文改進(jìn)AFFRLS辨識(shí)絕對(duì)誤差小于5 mV，大部分預(yù)測(cè)誤差小于1 mV。電壓、電流輸入數(shù)據(jù)平穩(wěn)性越差，誤差短期內(nèi)增大越明顯。如在數(shù)據(jù)點(diǎn)1 383 s與1 384 s處，電流變化差值為3 A，1 384 s處本文改進(jìn)AFFRLS預(yù)測(cè)端電壓誤差為-3.598 6 mV，文獻(xiàn)AFFRLS為-3.944 1 mV，VFFRLS為-4.130 4 mV，本文改進(jìn)AFFRLS較文獻(xiàn)兩種方法分別提高了8.8%、12.9%。算法后期鋰電池荷電狀態(tài)減小，電壓、電流波動(dòng)變大，誤差明顯增大。如數(shù)據(jù)點(diǎn)9 932 s和9 933 s差值為3.5 A，9 933 s處本文改進(jìn)AFFRLS預(yù)測(cè)誤差為16.854 0 mV，文獻(xiàn)自適應(yīng)FFRLS為25.685 0 mV，VFFRLS為38.483 1 mV，此時(shí)改進(jìn)的AFFRLS預(yù)測(cè)誤差比文獻(xiàn)自適應(yīng)FFRLS和VFFRLS分別提高34.4%和56.2%。可見數(shù)據(jù)平穩(wěn)性下降時(shí)，本文AFFRLS辨識(shí)精度優(yōu)于文獻(xiàn)方法，有效地降低了算法對(duì)數(shù)據(jù)平穩(wěn)性的依賴。

圖4f在預(yù)測(cè)誤差小于1 mV的時(shí)間段內(nèi)，三種自適應(yīng)方法趨于相同的最大值，此時(shí)三種自適應(yīng)方法具有相似的辨識(shí)表現(xiàn)。以5 000～5 200 s數(shù)據(jù)點(diǎn)為例，該時(shí)間段內(nèi)本文改進(jìn)AFFRLS的預(yù)測(cè)端電壓MAE為0.124 3 mV，ME為0.851 6 mV；文獻(xiàn)自適應(yīng)FFRLS的預(yù)測(cè)端電壓MAE為0.138 5 mV，ME為0.894 6 mV；VFFRLS預(yù)測(cè)端電壓MAE為0.146 3 mV，ME為0.931 1 mV。此時(shí)本文改進(jìn)AFFRLS預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度較文獻(xiàn)自適應(yīng)FFRLS、VFFRLS仍得到提升，MAE分別提升了10.3%、15%，ME分別提升4.8%、8.5%。三種自適應(yīng)方法整體辨識(shí)誤差見表3。

表3 DST工況下變遺忘因子方法辨識(shí)誤差對(duì)比

Tab.3 Identification error comparison of variable forgetting factor methods via DST

從表3可知，三種變遺忘因子方法中本文AFFRLS精度最高。由圖4a～圖4e可知，本文改進(jìn)AFFRLS得到的模型參數(shù)動(dòng)態(tài)特性優(yōu)于文獻(xiàn)自適應(yīng)方法，其對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的時(shí)變跟蹤能力更強(qiáng)。與值為0.980和0.985的FFRLS參數(shù)圖形對(duì)比，本文AFFRLS穩(wěn)定性更好。因此，可以認(rèn)為提出的方法具備較高的辨識(shí)準(zhǔn)確度和良好的穩(wěn)定性。

FUDS仿真結(jié)果如圖5所示。從圖5a～圖5e可知，提出的AFFRLS辨識(shí)結(jié)果穩(wěn)定性要優(yōu)于值為0.980和0.985的FFRLS。圖5f與圖4f對(duì)比，F(xiàn)UDS較DST工況電壓、電流變化更為劇烈，此時(shí)FUDS工況下端電壓預(yù)測(cè)誤差短期內(nèi)出現(xiàn)增大較DST工況更加頻繁。例如，電流在9 432 s和9 433 s差值為3.75 A，算法預(yù)測(cè)誤差大幅增大。9 433 s處改進(jìn)的AFFRLS預(yù)測(cè)誤差為3.100 6 mV，文獻(xiàn)自適應(yīng)FFRLS為5.666 1 mV，VFFRLS為10.105 1 mV，此時(shí)本文改進(jìn)AFFRLS預(yù)測(cè)誤差比文獻(xiàn)方法分別提高了45.3%、69.3%。FUDS工況下短期數(shù)據(jù)大幅變化時(shí)，本文改進(jìn)AFFRLS辨識(shí)準(zhǔn)確度仍優(yōu)于文獻(xiàn)兩種自適應(yīng)方法。

圖5f中短期內(nèi)三種方法取得相近的預(yù)測(cè)誤差曲線，本文改進(jìn)AFFRLS比文獻(xiàn)方法仍有小幅度提升。以5 900～6 100 s數(shù)據(jù)點(diǎn)為例，本文改進(jìn)AFFRLS端電壓預(yù)測(cè)誤差MAE為0.199 1 mV，ME為0.797 mV；文獻(xiàn)自適應(yīng)FFRLS對(duì)應(yīng)MAE為0.226 7 mV，ME為0.808 3 mV；VFFRLS對(duì)應(yīng)MAE為0.217 6 mV，ME為0.820 8 mV。該時(shí)間段本文改進(jìn)AFFRLS端電壓預(yù)測(cè)誤差MAE較文獻(xiàn)自適應(yīng)FFRLS、VFFRLS分別提升了12.2%、8.5%，ME分別提升1.4%、2.9%。

由圖5a～圖5e，劇變工況下VFFRLS辨識(shí)參數(shù)最為平緩。從表4誤差結(jié)果來看，提出的AFFRLS精度最高，其MAE與表2中值取0.985時(shí)接近，RMSE介于值為0.980和0.985之間。綜合DST和FUDS工況仿真結(jié)果來看，提出的AFFRLS方法精度最高，穩(wěn)定性優(yōu)于為0.980和0.985的FFRLS方法，且在緩變和劇變工況下都做到了精度上的提高。

表4 FUDS工況下變遺忘因子方法辨識(shí)誤差對(duì)比

Tab.4 Identification error comparison of variable forgetting factor methodsvia FUDS

圖6呈現(xiàn)了三種自適應(yīng)方法值與誤差關(guān)系，VFFRLS方法在DST和FUDS工況下，值隨誤差變化最緩慢，本文AFFRLS對(duì)誤差跟蹤能力更好。基于相同預(yù)設(shè)基準(zhǔn)誤差，本文自適應(yīng)方法能快速識(shí)別系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化，降低自適應(yīng)方法對(duì)數(shù)據(jù)平穩(wěn)性的依賴，有效提高辨識(shí)精度。與另外兩種自適應(yīng)方法相比，改進(jìn)的AFFRLS有良好的仿真效果。

圖6 DST與FUDS工況下λ值與誤差關(guān)系

DST與FUDS工況變遺忘因子方法計(jì)算時(shí)間對(duì)比見表5。表5中，1表示算法平均計(jì)算時(shí)間，2表示預(yù)測(cè)誤差達(dá)到連續(xù)3次小于0所需時(shí)間，DST和FUDS兩種工況下base=0。仿真在Matlab 2021a平臺(tái)，CPU為I5-7300HQ_@2.5 GHz環(huán)境中進(jìn)行，時(shí)間數(shù)據(jù)取20次仿真平均值。由表5可知，兩種工況下1基本一致。DST緩變工況開始階段電壓、電流波動(dòng)較平緩，三種方法2無明顯差別，但本文改進(jìn)AFFRLS在FUDS劇變工況下2較文獻(xiàn)[18]VFFRLS、文獻(xiàn)[20]AFFRLS分別提高了40.1%、15.4%。可見本文改進(jìn)AFFRLS算法收斂速度更快，對(duì)誤差的跟蹤能力更好。且本文改進(jìn)AFFRLS避免了EKF的雅可比矩陣計(jì)算、GA和PSO繁瑣的迭代過程，用于在線參數(shù)辨識(shí)時(shí)計(jì)算速度更快。

表5 DST與FUDS工況變遺忘因子方法計(jì)算時(shí)間對(duì)比

Tab.5 Calculation time comparison of variable forgetting factor methodsvia DST and FUDS

圖7 DST與FUDS工況下λ值與時(shí)間關(guān)系

從圖7中值隨時(shí)間分布情況可知，F(xiàn)UDS工況下值以接近0.980區(qū)域分布點(diǎn)居多，DST則以取1為主。可見對(duì)于DST和FUDS工況，提出的AFFRLS有著不同的自適應(yīng)表現(xiàn)，對(duì)()具有良好的跟隨性。

5 結(jié)論

在線參數(shù)辨識(shí)方法能夠獲得動(dòng)態(tài)特性良好的電池模型，F(xiàn)FRLS用于在線參數(shù)辨識(shí)方法簡(jiǎn)單，易于工程應(yīng)用，但單一的遺忘因子影響算法對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的時(shí)變跟蹤能力。固定值的FFRLS仿真結(jié)果表明，值接近1，模型參數(shù)精度低、時(shí)變特性較差；值減小，模型精度提高，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化跟蹤性能更好。但參數(shù)波動(dòng)過大易引起算法發(fā)散。可見取合適的值對(duì)模型參數(shù)精度和穩(wěn)定性有重要意義。

為了獲得高精度且穩(wěn)定性良好的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果，設(shè)計(jì)了一種AFFRLS改進(jìn)方法，與文獻(xiàn)AFFRLS、VFFRLS進(jìn)行仿真對(duì)比分析，結(jié)果表明，本文AFFRLS精度最高，辨識(shí)結(jié)果較文獻(xiàn)方法動(dòng)態(tài)特性更好；相比固定值取0.980、0.985的FFRLS參數(shù)辨識(shí)結(jié)果，本文AFFRLS穩(wěn)定性更好。從值和誤差關(guān)系來看，本文AFFRLS能夠快速識(shí)別誤差變化。且本文AFFRLS在DST和FUDS工況參數(shù)辨識(shí)有不同的自適應(yīng)表現(xiàn)，對(duì)誤差有著良好的跟蹤能力。

本文AFFRLS改進(jìn)方法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，用于鋰離子電池模型參數(shù)辨識(shí)時(shí)，能夠在精度和穩(wěn)定性上取得更好的平衡，對(duì)于不同的工況具有良好的適用性。將本文AFFRLS與卡爾曼濾波方法結(jié)合進(jìn)行鋰電池SOC預(yù)測(cè)，能夠提高SOC的預(yù)測(cè)精度，且有利于避免模型參數(shù)劇烈變化帶來的算法發(fā)散問題。所研究的改進(jìn)方法可為進(jìn)一步利用AFFRLS和無跡卡爾曼濾波進(jìn)行荷電狀態(tài)評(píng)估提供支撐。

[1] 龐輝, 郭龍, 武龍星, 等. 考慮環(huán)境溫度影響的鋰離子電池改進(jìn)雙極化模型及其荷電狀態(tài)估算[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2021, 36(10): 2178-2189. Pang Hui, Guo Long, Wu Longxing, et al. An improved dual polarization model of Li-ion battery and its state of charge estimation considering ambient temperature[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(10): 2178-2189.

[2] 郭向偉, 邢程, 司陽, 等. RLS鋰電池全工況自適應(yīng)等效電路模型[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2022, 37(16): 4029-4037. Guo Xiangwei, Xing Cheng, Si Yang, et al. RLS adaptive equivalent circuit model of lithium battery under full working condition[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(16): 4029-4037.

[3] You H W, Bae J I, Cho S J, et al. Analysis of equivalent circuit models in lithium-ion batteries[J]. AIP Advances, 2018, 8(12): 125101.

[4] Han Xuebing, Ouyang Minggao, Lu Languang, et al. Simplification of physics-based electrochemical model for lithium ion battery on electric vehicle. Part I: Diffusion simplification and single particle model[J]. Journal of Power Sources, 2015, 278: 802-813.

[5] Xu Jun, Mi C C, Cao Binggang, et al. A new method to estimate the state of charge of lithium-ion batteries based on the battery impedance model[J]. Journal of Power Sources, 2013, 233: 277-284.

[6] Ettihir K, Boulon L, Agbossou K. Optimization-based energy management strategy for a fuel cellbattery hybrid power system[J]. Applied Energy, 2016, 163: 142-153.

[7] He Lin, Wang Yangyang, Wei Yujiang, et al. An adaptive central difference Kalman filter approach for state of charge estimation by fractional order model of lithium-ion battery[J]. Energy, 2022, 244: 122627.

[8] 谷苗, 夏超英, 田聰穎. 基于綜合型卡爾曼濾波的鋰離子電池荷電狀態(tài)估算[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2019, 34(2): 419-426. Gu Miao, Xia Chaoying, Tian Congying. Li-ion battery state of charge estimation based on comprehensive Kalman filter[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(2): 419-426.

[9] 黃凱, 郭永芳, 李志剛. 基于信息反饋粒子群的高精度鋰離子電池模型參數(shù)辨識(shí)[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2019, 34(增刊1): 378-387. Huang Kai, Guo Yongfang, Li Zhigang. High precision parameter identification of lithium-ion battery model based on feedback particle swarm optimization algorithm[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(S1): 378-387.

[10] 張彩萍, 姜久春. 用基于遺傳優(yōu)化的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法辨識(shí)電池模型參數(shù)[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版), 2012, 42(3): 732-737. Zhang Caiping, Jiang Jiuchun. Identification of battery model parameters by extended Kalman filter algorithm based on genetic optimization[J]. Journal of Jilin University (Engineering and Technology Edition), 2012, 42(3): 732-737.

[11] Zhang Shuzhi, Zhang Xiongwen. A comparative study of different online model parameters identification methods for lithium-ion battery[J].Science China Technological Sciences, 2021, 64(10): 2312-2327.

[12] 陳玉珊, 秦琳琳, 吳剛, 等. 基于漸消記憶遞推最小二乘法的電動(dòng)汽車電池荷電狀態(tài)在線估計(jì)[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2020, 54(12): 1340-1346. Chen Yushan, Qin Linlin, Wu Gang, et al. Online state of charge estimation for battery in electric vehicles based on forgetting factor recursive least squares[J]. Journal of Shanghai Jiao Tong University, 2020, 54(12): 1340-1346.

[13] Wei Zhongbao, Meng Shujuan, Xiong Binyu, et al. Enhanced online model identification and state of charge estimation for lithium-ion battery with a FBCRLS based observer[J]. Applied Energy, 2016, 181: 332-341.

[14] Sun Xiangdong, Ji Jingrun, Ren Biying, et al. A novel online identification algorithm of lithium-ion battery parameters and model order based on a fractional order model[J]. IET Renewable Power Generation, 2021, 15(11): 2396-2408.

[15] Zhang Cheng, Allafi W, Dinh Q, et al. Online estimation of battery equivalent circuit model parameters and state of charge using decoupled least squares technique[J]. Energy, 2018, 142: 678-688.

[16] Feng Tianheng, Yang Lin, Zhao Xiaowei, et al. Online identification of lithium-ion battery parameters based on an improved equivalent-circuit model and its implementation on battery state-of-power prediction[J]. Journal of Power Sources, 2015, 281: 192-203.

[17] 謝文超, 趙延明, 方紫微, 等. 帶可變遺忘因子遞推最小二乘法的超級(jí)電容模組等效模型參數(shù)辨識(shí)方法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2021, 36(5): 996-1005. Xie Wenchao, Zhao Yanming, Fang Ziwei, et al. Variable forgetting factor recursive least squales based parameter identification method for the equivalent circuit model of the supercapacitor cell module[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36(5): 996-1005.

[18] Lao Zizhou, Xia Bizhong, Wang Wei, et al. A novel method for lithium-ion battery online parameter identification based on variable forgetting factor recursive least squares[J]. Energies, 2018, 11(6): 1358.

[19] Wang Hao, Zheng Yanping, Yu Yang. Lithium-ion battery SOC estimation based on adaptive forgetting factor least squares online identification and unscented Kalman filter[J]. Mathematics, 2021, 9(15): 1733.

[20] Sun Xiangdong, Ji Jingrun, Ren Biying, et al. Adaptive forgetting factor recursive least square algorithm for online identification of equivalent circuit model parameters of a lithium-ion battery[J]. Energies, 2019, 12(12): 2242.

[21] Zheng Fangdan, Xing Yinjiao, Jiang Jiuchun, et al. Influence of different open circuit voltage tests on state of charge online estimation for lithium-ion batteries[J]. Applied Energy, 2016, 183: 513-525.

Optimization of Least Squares Method and Its Application in Parameter Identification of Lithium-Ion Battery Model

Fan Xingming Feng Hao Zhang Xin

（Department of Electrical Engineering & Automation Guilin University of Electronic and Technology Guilin 541004 China）

Offline and online methods are used to identify model parameters, but the model dynamic characteristic obtained by the online method is better. The recursive least squares method is simple and often used for online parameter identification of lithium-ion battery models. However, the least square method(RLS) has a low identification accuracy. Thus, the forgetting factor recursive least square method was proposed to improve the accuracy of parameter identification. To improve the dynamic identification ability, the variable forgetting factor least square (VFFRLS) method and adaptive forgetting factor recursive least square (AFFRLS) method appear. Yet the current adaptive methods tend to ignore the stability of model parameters, and the undetermined coefficient range of this method is large and difficult to confirm. The model parameter changes drastically, and it is easy to cause the divergence of the algorithm. This paper proposes a simpler AFFRLS method without an undetermined coefficient to address these issues. And it takes into account the accuracy and stability of the model.

Firstly, based on dynamic stress testing (DST) and Federal City Operating Conditions (FUDS) data, the FFRLS method with fixed forgetting factor value is simulated and analyzed, and the influence trend of different forgetting factors on the accuracy and stability of model parameters is obtained. Secondly, the proposed AFFRLS method is compared with other AFFRLS and VFFRLS, and the stability and accuracy of the identification parameters are analyzed. Finally, the error tracking ability and convergence speed of the three adaptive methods are analyzed, and the adaptive performance of the proposed AFFRLS to DST and FUDS conditions are analyzed.

The FFRLS simulation results with fixed forgetting factor() value show that whenvalue decreases, the algorithm has better tracking ability for time-varying parameters, the convergence speed is accelerated, and the identification accuracy is effectively improved. However, when thevalue decreases, the parameter changes drastically, and the stability decreases. It can be seen that obtaining the appropriatevalue is important for the identification ability of the adaptive methods. The results of the three adaptive methods simulations show that the improved AFFRLS in this paper has better tracking ability for time-varying parameters and high model accuracy. And it has better stability of the parameter obtained by FFRLS with fixedvalues of 0.980 and 0.985. It can be seen that the proposed AFFRLS can achieve a better balance between accuracy and stability.The relationship between thevalue and the error of the adaptive methods shows that the improved AFFRLS can track the error variation better. By comparing the operation time with the three methods, the results show that the proposed AFFRLS has a faster convergence rate. According to the relationship betweenvalue and time in DST and FUDS conditions, the improved AFFRLS method has the majority ofvalue near 0.980 in the FUDS condition, and the majority ofvalue is 1 in the DST condition.

The simulation analysis shows that: (1) The proposed AFFRLS method can improve the accuracy of thealgorithm and take the stability of model parameters into consideration, and it has a good balance between algorithm accuracy and parameter stability. Applying the proposed AFFRLS method and Kalman filter to predict the state of charge can improve the prediction accuracy. (2) The proposed AFFRLS method has better tracking ability for error variation and faster convergence speed. (3) The proposed method can improve the algorithm's accuracy under both slow and drastic conditions, so it's suitable for different online conditions.

Lithium-ion battery model, parameter identification, least square method, adaptive forgetting factor

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.222214

TM912

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61741126）和廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2022GXNSFAA035533）資助。

2022-11-24

2023-02-28

范興明 男，1978年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)橹悄芑娖骱透唠妷盒录夹g(shù)。E-mail：fanxm_627@163.com

張 鑫 女，1976年生，碩士，高級(jí)實(shí)驗(yàn)師，研究方向?yàn)橹悄芑娖鳌-mail：zhangxin_wt@163.com（通信作者）

（編輯 郭麗軍）