“本手”筑基,“妙手”生花

? 湖北省十堰市東風高級中學 夏巨星

2022年全國語文新高考Ⅰ卷的作文題中出現了“本手、妙手、俗手”這三個圍棋術語,本手是指合乎棋理的正規下法;妙手是指出人意料的精妙下法;俗手是指貌似合理,而從全局看通常會受損的下法[1].

在數學解題教學與學習過程中,也可以很好借助圍棋術語中的“本手”與“妙手”來類比與拓展.“本手”筑基,合理構建并應用數學基礎知識與基本思想方法等,筑牢基礎知識,構建知識網絡;“妙手”生花,巧妙創設場景并利用相關的精妙解法等,優化解題過程,提升解題效益.

1 問題呈現

眾所周知,解三角形是高中數學的一個重點內容.合理構建于初中平面幾何的基礎上,融入解三角形、三角函數以及平面向量等相關高中知識,是高考數學試卷填空壓軸題中經常設置的一類綜合應用問題,特別是涉及多個知識點的交匯與融合的創新應用問題.

下面通過一道有關解三角形背景下平面向量數量積的求解問題,從多個角度進行分析,剖析數學解題與數學教學中的“本手”與“妙手”,以培養學生的推理論證能力和創新意識,促進學生思維能力和思維品質的提升.

此題最早出現在2022年浙江省寧波“十校”高考數學聯考試卷(3月份)中,以一個相鄰兩邊為定值的三角形為問題背景,結合三角形外心和垂心的給出,進而確定以這兩個“心”所對應的向量與第三邊所對應的向量的數量積,借助“不確定”的三角形的創設來“確定”對應向量的數量積,“數”與“形”結合,“動”與“靜”轉化,構建一幅完美、和諧的“畫卷”.

特別,我們也嘗試從“本手”與“妙手”這兩個不同的層面來分析與處理該問題,闡述問題的內涵與解題的本質,剖析解題技巧與應試策略.

2 “本手”筑基

數學解題中,“本手”是基礎,只有筑牢基礎,落實“本手”,掌握相關問題的“通技通法”,才是數學教學與數學學習的根本所在.

此類以平面幾何為場景,交匯并融合解三角形與平面向量的相關知識,破解的基本思維策略就是正確剖析平面圖形中邊與角的關系,通過解三角形中的正弦定理、余弦定理以及平面向量的線性運算、數量積等加以綜合與應用,也是解決此類問題的“本手”所在,基礎所在.

2.1 余弦定理法

設∠AOB=α,∠AOC=β,△ABC的外接圓的半徑為r.

由余弦定理,可得AB2=AO2+OB2-2AO·OB·cosα=r2+r2-2r2cosα=2r2-2r2cosα=25.

同理AC2=AO2+OC2-2AO·OC·cosβ=r2+r2-2r2cosβ=2r2-2r2cosβ=9.

故填答案:8.

解后反思：根據平面向量的線性運算,以及△ABC的外心和垂心的幾何性質,結合解三角形中的余弦定理,合理轉化,巧妙應用,特別是合理轉化平面向量的數量積的關系中各向量的“同起點”問題,進一步優化解決與應用過程.

2.2 余弦定理的向量式法

故填答案:8.

解后反思：根據平面向量的線性運算,以及△ABC的外心和垂心的幾何性質,巧妙結合解三角形中余弦定理的向量式,有機“串聯”起解三角形與平面向量之間的聯系,使得問題的解決得到很大的優化與提升.

3 “妙手”生花

數學解題中,“妙手”是創新.只有發展思維,推進“妙手”,拓展探究問題的“巧技妙法”,才是優化與提升解題能力、培養創新思維的土壤.

涉及此類由問題場景的“不確定”的創設來“確定”對應的數值等相關創新應用,往往可以借助特殊思維,從問題的特殊情況入手,通過特殊思維,借助特殊元素(包括特殊圖形、特殊點、特殊值、特殊函數等)的構建,確定特殊場景下對應的數值,進而回歸一般,得以“妙手”偶得.

圖1

故填答案:8.

圖2

故填答案:8.

解后反思：根據三角形的相鄰兩邊為定值進行極端思維,合理構建特殊圖形進行特殊思維,通過不同場景下的直角三角形的創設,快速確定對應的外心與垂心,結合平面向量的線性運算與數量積公式加以轉化與應用.“一般”中尋找“特殊”,“特殊”中呈現“一般”,優化解題過程,提升解題效益.

4 教學啟示

其實,在新教材(人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過)、新課程(《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂》)、新高考的“三新”背景下,高考試題更加注重思維品質、關鍵能力以及核心素養等方面的考查,凸顯教師與學生對新高考方向與命題思路的適應程度,反映教考銜接環節之間的匹配度[2].因而,在數學解題教學與學習過程中,要立足“本手”,求取“妙手”;要學好“本手”,下出“妙手”;要勤于“本手”,方能“妙手”.同時,解題研究中,要以“本手”主本,才能“妙手”偶得;要以“本手”固基,才能“妙手”輝煌;要以“本手”行穩,才能“妙手”致遠.

特別在數學解題過程中,不能再借助以往的老經驗,一味地走“題海戰術”的老路,應該合理下穩“本手”,科學實施“妙手”,全面促進學生數學基礎知識與數學思想方法等“四基”的內化與提升,提升數學思維的發散性與開闊性,強化數學思維的靈活性與創新性,培養數學核心素養.