巧思維展開,妙技巧應用:一道最值的探究

? 江蘇省徐州市第三中學 徐瑞金

在實際的數學解題過程中,如果充分剖析題設條件與所求結論以及二者之間的聯系,多思維視角切入,多方法技巧應用,總會有一些收獲與體會,總能積累解題經驗,提升解題能力.

1 問題呈現

2 問題破解

2.1 思維視角1:基本不等式思維

方法1：基本不等式法1.

故填:1.

方法2：基本不等式法2.

故填:1.

點評：根據條件關系式的轉化,代入所求代數式進行消元處理,視4y+5,8y-5為元,結合關系式的配湊與轉化,構建“定積”關系,進而利用基本不等式來確定相應的最值.從條件入手進行消元處理,往往是解決雙元代數式最值問題中比較常用的思維視角,合理聯系所求代數式的結構特征,對比分析,借助基本不等式來應用.

方法3：換元法.

故填:1.

點評：根據條件關系式的結構特征,把兩參數的乘積作為一個整體進行換元,進而結合條件構建對應的參數方程,結合所求代數式的變形與轉化,通過關系式的配湊與變形,構建“定積”關系,進而利用基本不等式來確定相應的最值.乘積換元法是利用代數式的結構特征加以整體化思維,合理消元,為進一步的分析與應用提供條件.

方法4：等差中項法.

故填:1.

點評：根據條件關系式的結構特征可知,對應參數之間構成等差數列,利用等差中項的性質引入參數,進而結合條件構建對應的參數方程,結合所求代數式的變形與轉化,通過關系式的配湊與變形,構建“定積”關系,進而利用基本不等式來確定相應的最值.等差中項的數據特征,為引入參數提供了條件,進而利用參數方程來處理與轉化問題.

2.2 思維視角2:導數思維

方法5：導數法.

故填:1.

點評：根據條件關系式的轉化,代入所求代數式進行消元處理,化雙元為單元,并確定對應元的取值范圍,借助函數的構建,利用求導處理,結合導函數的零點求解并通過函數單調性的確定來求解對應函數的最值,即所求代數式的最值.利用導數法求解最值問題,有時運算量比較大,細心計算,問題往往可以得以有效解決.

3 教學啟示

3.1 方法歸納,目標轉化

解決雙元最值問題,最常用的方法就是“消元”處理,將雙元問題轉化為單元問題,或引參代換,或三角換元,或變換主元,或整體思維等,利用“消元”借助單元最值問題來處理,可以通過基本不等式、函數與方程等來解決,是處理此類問題時最為常見的基本思維方式.

3.2 發展思維,一題多得

合理挖掘條件內涵,深入理解題意實質,通過分析與綜合,巧妙利用與轉化,合理開拓思維,實現“一題多解”,從不同思維視角切入,挖掘巧技妙解,利用不同的技巧方法來分析與處理,舉一反三,靈活變通,進而真正達到融會貫通,從數學知識、數學能力、數學思維等層面融合,形成數學知識體系,轉變為數學能力,得以創新拓展.