借助公式合理應用,回歸函數本質創新
——2023年全國數學新高考Ⅱ卷第8題

? 江蘇省宜興市第二高級中學 楊文英

數列是《普通高中教科書·數學》選擇性必修課程中函數主線的重要內容之一,也是歷年高考數學試卷中的主干知識之一.在每年高考中,數列都是一個重要命題點,也是高考命題中考查“四基”,以及考查創新意識與創新應用的一個重要的風向標,備受各方關注.

1 真題呈現

高考真題(2023年高考數學新高考Ⅱ卷·8)記Sn為等比數列{an}的前n項和,若S4=-5,S6=21S2,則S8=( ).

A.120 B.85 C.-85 D.-120

本題目簡單明了,解題的思路可以從等比數列的公式與性質應用兩個視角切入,利用相應的公式加以合理變形與轉化,或利用對應的性質加以構建與應用,都可以有效化歸與轉化,實現問題的解決.

2 真題破解

2.1 等比數列的公式應用

方法1：利用等比數列求和公式.

方法2：方程求解法.

解析：依題知,等比數列的公比q≠1.由S4=-5,S6=21S2,聯立方程可得

解后反思：根據等比數列的通項公式、求和公式等來處理與解決問題,是解決等比數列中最基本的一種解題方法,通過公式的展開,結合不同問題場景加以靈活化簡、巧妙運算等.在實際解題時,要注意數列中的通項公式、求和公式等的靈活應用,以及公式中的整體思維、函數與方程思想等的應用.

2.2 等比數列的性質應用

等比數列的性質應用的前提就是初步掌握一些與等比數列的通項、求和等相關的基本性質,利用對應性質合理構建相應的關系式,為問題的進一步求解提供條件,是解決問題的“巧技妙法”.

方法3：利用等比數列求和公式的變形.

解析：依題意可知,有Sm+n=Sn+qnSm,結合S6=21S2,可得S6=S3×2=(1+q2+q4)S2=21S2,可得q4+q2-20=0,解得q2=4.所以S8=S2×4=(1+q4)S4=(1+42)×(-5)=-85.故選:C.

解后反思：等比數列求和公式的變形形式Sn+m=Sn+qnSm,以特殊形式,并結合等比數列的求和性質應用來轉化與解決問題.利用相關等比數列的變形公式法處理問題時,其關鍵在于充分挖掘各Sn中的下標的倍數關系或和差關系,結合變形公式的熟練掌握來分析與應用.

方法4：利用等比數列的性質.

解析：在等比數列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數列的性質,可知S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6也成等比數列.

當S2=-1時,結合(S6-S4)2=(S4-S2)(S8-S6),可得S8=-85.

綜上分析,可得S8=-85.故選:C.

解后反思：根據等比數列求和公式的性質,即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數列,合理構建一個新有關等比數列求和的線性關系式的等比數列,并利用等比數列的性質進一步解題.該等比數列的性質應用也離不開各Sn中的下標的倍數關系,這與等比數列的變形公式法有異曲同工之妙.

方法5：等比數列的函數性質法.

解析：在等比數列{an}中,令Sn=A(1-qn),A≠0,由S6=21S2,可得1-q6=21(1-q2),解得q2=4(q2=-5<0,舍去).

解后反思：根據等比數列求和公式的函數性質Sn=A(1-qn),A≠0,借助待定系數法,通過等比數列的求和性質應用來分析與解決問題.回歸數列的函數本質,借助等差數列或等比數列的通項公式、求和公式所對應的函數性質,合理構建對應的含參關系式,具有普通性,解題更加靈活巧妙.

方法6：構造法.

解析：構造數列{bn},其中bn=a2n-1+a2n,結合等比數列的性質可知,數列{bn}是等比數列.

設等比數列{bn}的公比為p(這里p=q2>0,q為等比數列{an}的公比),可得1+p+p2=21,解得p=4(或p=-5<0,舍去),結合b1+b2=b1+b1p=-5,解得b1=-1,所以S8=S4(1+p2)=-5×(1+42)=-85.故選:C.

解后反思：根據條件合理構造新數列——從首項起,連續兩項之和為新數列的一個項,利用等比數列的性質知其也是等比數列,進而構建相應的關系式加以分析與求解.借助構造思維,引入新數列,使得問題的破解更加直接,更有針對性,解決起來也方便快捷.構造法是創新思維與創新應用的一個重要表現.

3 變式拓展

該等比數列是確定的,因而也可進一步確定其通項公式與前n項和公式的表達式.

變式1記Sn為等比數列{an}的前n項和,若S4=-5,S6=21S2,則an=______.

變式2記Sn為等比數列{an}的前n項和,若S4=-5,S6=21S2,則Sn=______.

以上變式問題,由于等比數列的首項與公比的差異,因而都有兩個答案,不能遺漏,否則容易導致錯誤.

4 教學啟示

4.1 抓住數列本質,回歸函數應用

數列作為離散函數的典型代表之一,是函數主線的一個重要分支.因此,在實際解決數列問題時,往往要回歸數列的函數本質,抓住數列的函數屬性,挖掘出相關數列(等差數列與等比數列)的概念、通項公式、求和公式等,以及這些基礎知識與函數之間的內在聯系,借助函數的觀點來合理揭開數列神秘的“面紗”,有效構建聯系,進而利用函數的性質與方法來解決數列問題,從而使得數學知識更加系統化,培養學生數學的整體意識,以及用聯系發展的眼光學習數學、應用數學等.

4.2 倡導“一題多解”,實現“一題多得”

借助一些典型例題,特別是高考真題的“一題多解”,在進一步鞏固與提升基礎知識的基礎上,拓寬解題思路、技巧方法等,從而開闊學生思路、發散學生思維,加深對問題的“通性通法”的認識與掌握.通過解決問題的“巧技妙法”的應用,進而挖掘相關問題的本質與內涵,提升各方面的能力.

在此基礎上,利用問題的“一題多解”,不斷研究探索,回歸問題本源,深入進行“一題多變”,巧妙實現問題的“一題多得”,聚合數學思維的基礎上又加以開拓,特別是在變式中尋找通法,在探究中升華能力,研究之路定會越鋪越遠.這樣可以很好全面提升數學基礎知識、思想、方法、技巧等,是綜合應用能力、創新應用能力等方面提升的一大表現.