代數本質,“數”“形”切入:破解一道取值范圍題

? 江蘇省灌云高級中學 周玉鳳

給定條件下的代數關系式的最值或取值范圍問題,往往以雙變元為主,合理構建變元之間的聯系與相互限制,進而巧妙建立相應的代數關系式來創新與應用,是近年高考數學考試中比較常見的一類創新綜合應用問題,倍受各方關注.此類代數問題,以“數”的視角為主,合理數學運算;有時也可以“數形結合”,轉化為“形”的視角,巧妙構建數學模型,直觀形象來推理與運算.

1 問題呈現

此題以分式形式及雙變元方程為背景來巧妙創設問題情境,確定涉及雙變元含根式的混合代數式的取值范圍問題,條件與結論對應的代數關系式都比較復雜,沒有明顯的直接聯系.合理的代數式恒等變形與轉化是基礎,也是問題的“試探”,在此條件下借助基本不等式思維或三角函數思維進行數學運算,或借助數學模型通過解三角形思維進行數形結合等,巧思維切入,妙方法破解.

2 問題破解

2.1 思維視角一:基本不等式思維

點評：根據雙變元關系式進行變形整理,對比所求的參數關系式合理配湊,巧妙借助配方及基本不等式合理轉化為二次函數型的取值范圍問題.有目的的配湊處理,為進一步利用基本不等式提供條件.

點評：結合題目中雙變元關系式的變形整理,借助所求的參數關系式進行有目的性的配湊處理,轉化為一次函數型的取值范圍問題,進而利用基本不等式求解對應關系式的取值范圍.

點評：利用基本不等式確定雙變元關系式的取值范圍,以xy為整體,通過對所求式的平方處理、恒等變形與配湊轉化,利用二次函數的圖象與性質來求解.這樣的配湊處理,目的非常明確,只是數學運算與解題過程比較繁雜.

2.2 思維視角二:三角函數思維

點評：根據題目中雙變元關系式的變形整理,合理配方處理,利用三角換元將所求式轉化為三角函數的形式,利用三角函數的圖象與性質來確定對應的取值范圍.三角換元是解決最值或取值范圍等相關問題中最常用的一種技巧,目的性強,操作性好.

2.3 思維視角三:解三角形思維

圖1

點評：根據題目中雙變元關系式的變形整理,轉化為解三角形中余弦定理的形式,通過合理構建三角形,將代數問題轉化為平面幾何問題,綜合解三角形以及動點的變形規律來直觀分析與處理.合理構建數學模型也是解決代數關系式最值或取值范圍問題比較常用的一種技巧策略,“數”轉化為“形”,更加直觀形象.

3 教學啟示

解決復雜代數式的最值或取值范圍問題的基本技巧與策略主要可以歸納總結為以下兩點:

(1)從“數”的視角切入.抓住代數式的本質,通過代數思維,從函數與方程、不等式、三角函數等基本視角來恒等轉化與巧妙應用,結合相關的知識進行合理代數運算、邏輯推理等,巧妙分析與處理,確定對應代數式最值或取值范圍問題.

(2)從“形”的視角切入.抓住代數式的幾何結構特征,聯系相應的幾何內涵與幾何意義,巧妙構建數學模型,化“數”為“形”,利用幾何思維,從直觀圖形及其對應的幾何意義視角來直觀想象,實現對應代數式的最值等問題的確定.