2022年新高考Ⅰ卷圓錐曲線試題的多角度探究與推廣

? 江西省九江市第三中學 彭奇斌

高考真題是教學的絕佳素材,也是提升解題能力、優化解題思路和積累解題經驗的寶貴源泉.因此,對優秀的高考真題進行多角度思考,多途徑求解,對發展思維、開拓視野、提升能力、提高素養、認識問題本質具有重要意義.

1 真題呈現

(1)求l的斜率;

本題第(1)問一改以往送分模式,繁重的計算使得大多考生半途而廢,無功而返.第(2)問中點P,Q的坐標均為無理數,若直接求其坐標,運算繁瑣.因此,應探索合適的方法簡化運算,優化解題過程.

2 真題破解

2.1 角度一:常規曲直聯立

當m=1-2k時,直線l過點A,舍去.故k=-1.

點評：設直線PQ的斜截式,聯立方程,將條件中直線AP,AQ的斜率之和為0結合韋達定理表示出來,從而得出結論,是破解此類問題的通技通法,雖容易想到但計算量較大.

2.2 角度二:利用直線的對稱性巧設直線方程

故PQ:3x+3y-5=0.后同解法1.

點評：根據直線的對稱性設方程,設而不求,避免了解法1繁瑣的計算;觀察到點P,Q的坐標均為無理數,直接求其坐標,運算復雜,轉為求PQ的中點坐標(有理數),化繁為簡,達到事半功倍之效.

2.3 角度三:利用直線的參數方程

解法3：(1)設P(x1,y1),Q(x2,y2),直線AP的傾斜角為α,則直線BP的傾斜角為π-α.

點評：涉及弦長的問題,可考慮利用直線的參數方程簡化運算,提高解題效率.

2.4 角度四:根據斜率之和為定值進行齊次化

點評：當圓錐曲線上有三個點A,P,B,涉及到直線PA,PB的斜率之和或斜率之積為定值的問題都可使用齊次化方法.第(2)問中將面積齊次化后,得到△PAQ的面積關于tan∠PAQ與m的關系式,揭示了它們之間的內在聯系,可謂無心插柳柳成蔭.

2.5 角度五:非平移齊次化

在角度四的基礎上進行改進,避免平移.

(x-2)2-2(y-1)2+4(x-2)-4(y-1)=0.

聯立直線PQ與曲線C的方程,可得(x-2)2-2(y-1)2+[4(x-2)-4(y-1)][m(x-2)+n(y-1)]=0,即(2+4n)(y-1)2+4(m-n)(x-2)(y-1)-(4m+1)(x-2)2=0.

(2+4n)k2+4(m-n)k-(4m+1)=0.

2.6 角度六:利用調和點列與極點、極線的性質

解法6：如圖1,設直線AP,AQ交x軸于點M,N,過點A分別作平行于x軸、y軸的直線,交直線l于點R,T,線束AR,AT,AP,AQ交x軸于E∞,S,M,N.由kAP=-kAQ,可以得到S為MN的中點,(E∞,S;M,N)=-1,即E∞,S,M,N為一組調和點列,則直線AR,AT,AP,AQ為調和線束,它們與直線l交于點R,T,P,Q.根據調和點列的交比不變性可知R,T,P,Q也為一組調和點列,所以R,T關于曲線C互為共軛點,即點R在點T的極線上.

圖1

點評：“極點、極線”與“調和點列”是高等幾何中射影幾何范疇內的概念,它關于二次曲線的相關結論經常被作為高考解析幾何試題的命題背景.縱觀2022年高考試卷,全國新高考Ⅰ卷、全國甲卷、全國乙卷、北京卷、天津卷的解析幾何大題均以“極點、極線”與“調和點列”作為命題背景,可謂壯觀.在歷年高考中,以此背景命制的試題也屢見不鮮,例如,2020年全國卷Ⅰ、北京卷,2018年北京卷,2015年四川卷,2013年江西卷,等等.

3 結論推廣

將題中條件一般化,可推出結論1.

結論1的證明留給讀者.對于橢圓及拋物線,也可推出類似結論.

進一步,如果將直線AP,AQ的斜率之和為0,即kAP+kAQ=0改為kAP+kAQ=k(k≠0),也有類似結論.

證明略.對于橢圓及拋物線,也可推出類似結論.

為了回答這第三個研究問題，對學生詞匯量與語言水平進行了相關分析。表3提供了詞匯水平考試分數與測試得分之間的相關性匯總，這些分數分為高級、中高級和中低級熟練程度。

再進一步,如果將kAP+kAQ=k(k≠0)改為kAP·kAQ=s(s≠0),也有類似結論成立.

4 教學啟示

(1)通過一題多解,優化算理、算法

對于解析幾何問題,不同的解法對應的運算量相差很大.只有熟悉各種“算理”,才能在對比中優化“算法”,從而積累有效的解題經驗.比如,對于拋物線問題,通過對比“斜參”與“點參”兩種常用方法,學生可體會到“點參”法在處理拋物線問題時的巨大優越性.在日常的教學活動中,教師要積極引導學生多角度思考問題,多途徑解決問題,提升邏輯推理、數據處理、數學運算等核心素養.

一些綜合性很強的解析幾何問題往往蘊含著多個常見的數學小結論,比如焦半徑公式、中點弦結論、拋物線焦點弦結論等.這些小結論經常會作為復雜問題的一個環節,若學生熟悉一些常用結論與數學模型,則更容易打通“關節”,找到突破口,打開解題思路.

(3)挖掘試題背景,把握命題規律

以高等幾何中極點、極線理論為背景的解析幾何問題一直是高考的熱點和難點.教師若能掌握有關概念,熟悉相關性質,就能從高觀點分析這些試題,高屋建瓴,看透問題本質,把握命題規律,命制相關試題,這對中學數學教學具有重要的指導意義.