拓寬思路找方法,準確與否靠檢驗
——高考數(shù)學填空題答題思路與方法初探

? 湖北省恩施土家族苗族自治州高級中學 劉秀軍

高考數(shù)學填空題通常是將一個數(shù)學真命題寫成其中缺少一些語句的形式,要求考生將缺少的語句填寫在指定的空位上,使之成為一個完整而正確的數(shù)學命題.根據(jù)填空題的內容可將其分為兩種題型:一種是定量型的,要求考生填寫數(shù)值或數(shù)量關系,如方程、不等式的解,函數(shù)的定義域、值域、周期,某參變量的值或變化范圍,等等;另一種是定性型的,要求填寫具有某種性質的數(shù)學對象或數(shù)學對象的某種性質等.

從湖北省近幾年的數(shù)學高考試題(新高考Ⅰ卷)來看,填空題的分值較高(一般4個小題,總分為20分),內容覆蓋面廣,難易適中.由于填空題無需解答過程,沒有步驟分,因而要求解答過程中的每一步都必須保證準確,一步失誤就可能導致全題零分.所以說,填空題比選擇題、解答題更容易失分,這更應該引起我們的高度重視.

1 本校考生填空題的答題現(xiàn)狀

1.1 思想上不夠重視

2023年1月本校高三學生進行了一次高考模擬考試,從考試成績分析來看,填空題失分的現(xiàn)象很嚴重.筆者所任教的高三(8)班56名學生中,僅有3名學生填空題獲得滿分,有7名學生的填空題竟然是零分.在班會總結中,很多學生說把主要時間和精力都花在了解答題上,還說解答題分值高是“西瓜”,填空題是“芝麻”,況且解答題的每一步都有步驟分,值得花時間.可見,學生思想上的不重視是導致填空題嚴重失分的因素之一.

1.2 時間不夠用

高考數(shù)學試題量大面寬,時間緊.這次模擬考試用的是“金太陽教育”的數(shù)學試題,共有23道大題,150分,考試時間2小時.如何在有限的時間內做完所有試題,的確考驗學生的速度與能力.

1.3 缺乏思考與答題技巧

很多學生由于平時訓練不踏實,面對陌生的題型缺乏清晰的解題思路與答題技巧,只知道一味地按照試題的先后順序硬著頭皮往下答,答到哪兒算哪兒,只顧著趕時間,顧不上正確與否.

2 解答填空題的常用思路與方法

解答填空題,要開闊思路,不斷探索和總結方法.填空題與其他題型(選擇題、解答題)不同,更要注重填空題與其他題型的密切聯(lián)系,例如,可以借鑒某些選擇題、解答題的答題思路,通過觀察、分析、轉化等方法,將某些未知的題型變?yōu)橐阎幕蜃约悍浅Ｊ煜さ幕绢}型來解決;要充分利用題干和選擇支兩方面提供的信息,依據(jù)題目的具體特點,靈活、巧妙、快速地選擇解法,準確作答.

2.1 直接求解法

直接求解法是指直接從題設條件出發(fā),利用定義、性質、定理、公式和一些規(guī)律性的結論等,經(jīng)過變形、計算得出結論,然后將結論填在空位處.這是解填空題最常用的一種方法.

故填答案:-28.

2.2 數(shù)形結合法

對于一些含有幾何背景與特征的填空題,可根據(jù)題目已知條件的特點,畫出符合題意的圖形,做到“數(shù)”中思“形”,以“形”助“數(shù)”,“數(shù)”“形”結合,通過對圖形的直觀分析、判斷,輔以簡單運算即可得出正確答案.

解析：如圖1,令AB的中點為E,因為|MA|=|NB|,所以|ME|=|NE|.

圖1

2.3 分類討論法

有些幾何問題,由于幾何圖形的形狀、點的位置的不確定性,有時需要根據(jù)圖形的特征與變化情況進行分類討論.

例3(2022年全國新高考Ⅰ卷第14題)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程______.

解析：因為圓x2+y2=1的圓心為O(0,0),半徑為1,圓(x-3)2+(y-4)2=16的圓心為O1(3,4),半徑為4,兩圓的圓心距為5,等于兩圓半徑之和,故兩圓外切,如圖2.

圖2

(2)當切線為m時,設其方程為kx+y+p=0,其中p>0,k<0.

(3)當切線為n時,易知切線方程為x=-1.

思路與方法：這是一道由于圖形位置關系不確定而引起分類討論的典型例題.本題首先要判斷兩圓的位置關系,然后根據(jù)切線的不同(位置)情況進行分類討論.解決此類問題要根據(jù)題設條件,結合圖形的某一性質,對各種情況逐個分析,否則容易漏解.

2.4 轉化法

轉化法是一種應用廣泛且非常實用的數(shù)學思想與解題方法.其思路是:將不熟悉和難解的問題轉化為熟知、易解的或已經(jīng)解決的問題;將抽象的問題轉化為具體的、直觀的問題;將復雜的問題轉化為簡單的問題;將一般性的問題轉化為直觀的、特殊的問題;將實際問題轉化為數(shù)學問題,便于問題解決.

不妨設左焦點為F1,右焦點為F2,如圖3所示.

圖3

由DE為線段AF2的垂直平分線,可得|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,則△ADE的周長等于△F2DE的周長,即△ADE的周長為|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=4a=13.故填:13.

思路與方法：首先利用橢圓的離心率及直線的垂直關系,結合弦長公式求出a,然后根據(jù)對稱性將△ADE的周長轉化為△F2DE的周長,利用橢圓的定義即可求得周長.本題靈活運用了垂直、相交、對稱等性質和等價轉化的方法.

2.5 填空題的檢驗方法

掌握了常用的答題方法與技巧,如何才能在有限的時間內確保填空題的準確率呢?這就要靠細心檢驗.常用的檢驗方法有以下三種.

(1)回顧審題

(2)估算檢驗

錯解：兩邊平方,得1+lgx>(1-lgx)2,整理得lgx(lgx-3)<0,則0

綜上,不等式的解集是{x|x>1}.

(3)逆代檢驗

例7方程3z+|z|=1-3i(i為虛數(shù)單位)的解是______.

錯解：設z=a+bi(a,b∈R),則

正解：由錯解及分析即可知方程的解是z=-i.

除上述三種方法外,還有作圖檢驗、換用解法檢驗、賦值檢驗等多種方法.總之,為確保答題的準確率,檢驗是必不可少的一個環(huán)節(jié).

3 結語

不同的填空題和不同的題型具有不同的解題思路與方法,即使同一種問題在不同的情境下所采用的方法也不盡相同.從上述例題的解析中我們可以看到,填空題的解離不開數(shù)形結合、分類討論、等價轉化、從特殊到一般等數(shù)學思想的靈活運用,很多具體的解題方法與技巧就是這些數(shù)學思想的細化與落實.在具體答題過程中,無論面對哪種題型,務必要讀懂題意,弄清概念,明白算理,正確表達,仔細檢驗,確保答案準確無誤.