巧借復數三角形式,妙解數學綜合問題

? 山東省陽信縣第二高級中學 王守亮

高中數學人教A版教材(2019年版)必修第二冊第七章“復數”章節通過選學內容“7.3復數的三角表示”的方式給出復數的三角形式,結合相關的概念、運算與幾何意義等,將代數、函數與方程、三角函數、平面向量、平面解析幾何等相關知識點巧妙融為一體,很好地考查學生的數學基礎知識、數學思維能力與知識靈活應用能力等,在數學競賽及諸項考試中備受命題者青睞.

1 基本概念的應用

A.負實數 B.純虛數

C.正實數 D.虛數a+bi(a,b∈R,a≠0)

分析：根據題設條件,分別設出兩個復數的三角形式,抓住兩向量的垂直關系確定兩向量的夾角為90°,進一步轉化為兩復數的三角形式中輻角之差為90°,結合復數的三角形式的除法運算,確定兩復數除式的結果,綜合復數的基本概念來分析與判斷.

點評：在明確兩個復數所對應的平面向量的夾角、兩個復數所對應的模的長度關系或比例關系等情況下,經常可以考慮采用復數的三角形式來設置與應用,通過復數三角形式的變形與轉化,這樣問題更加直接,目標會更加明確,在一定程度上可以減少數學運算,優化解題過程.

2 圖形形狀的識別

A.直角三角形 B.等邊三角形

C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

分析：根據題設條件,結合條件中涉及兩個復數的方程,通過同除一個非零的復數加以恒等變形與轉化,通過整體思維來求解對應的二次方程,并將結果中復數的代數形式轉化為三角形式,利用復數的幾何意義來確定對應角的大小以及兩邊長的關系,進而得以確定三角形的形狀特征.

點評：涉及復數的模、復數三角形式的幾何意義等,這些都具有實際的平面幾何圖形的結構特征內涵.在實際解決綜合問題時,經常借助復數的三角形式等相關知識,巧妙處理平面幾何中相關圖形結構特征的判斷與應用等,“數”與“形”巧妙結合與轉化,實現問題的突破與求解.

3 二次方程的求解

分析：根據題設條件,直接設出對應的復數,利用復數三角形式的相關運算來處理對應虛數的乘積、次冪與除法等.

而θ∈(0,2π),且θ≠π,可得3θ∈(0,6π),且3θ≠3π,則有3θ=π,2π,4π,5π.

點評：涉及復數范圍內的實系數一元二次方程問題,有其對應的求根公式,常規方法就是利用復數的基本性質——“實系數一元二次方程的虛根成對”,進而加以分析與應用.借助復數的三角形式和待定系數法處理,也是一個不錯的解決問題的方法.

4 最值問題的探究

分析：根據題設條件,結合復數的模,借助復數的三角形式,可以快速找到解決問題的突破口.結合復數三角形式的除法運算、復數的四則運算等,并通過復數求模運算及三角函數的相關公式與基本性質的應用,分別確定對應復數的模的最大值與最小值,進而加以分析與求解.

點評：相比復數代數形式的運算與求解來言,復數的三角形式可以很好地減少數學運算量,解題過程更加簡潔清晰,提升了解題的準確率.

5 平面向量的轉化

圖1

分析：根據題設條件,通過圖形直觀,先設出坐標軸上的兩個頂點的坐標確定,結合平面向量的線性運算與坐標表示,確定向量對應的復數,并通過圖形中的直角旋轉,利用復數三角形式的幾何意義,借助復數的運算來確定對應的平面向量,進而利用向量的數量積以及不等式的性質等來分析與應用.

點評：解決此類問題時,可以很好地將平面向量、復數以及平面解析幾何中相關的點的坐標等知識加以合理化歸與轉化,“數”與“形”結合,并借助復數三角形式在乘除運算方面的便捷性以及對應的幾何意義,使得“數”與“形”的轉化與結合更加密切,操作起來更加直觀簡捷.

巧妙借助復數的三角形式,綜合相應的運算規則、運算性質以及幾何意義等,合理聯系復數與代數、三角函數、平面向量、平面解析幾何等知識之間的聯系,可以用來解決一些復雜的數學綜合問題,使數學知識的應用與思想方法的拓展得到更好的升華,對于學生學習過程中的“學懂數學”“學會數學”“會學數學”以及“會用數學”等知識、思想、方法等方面的積累與螺旋上升等大有裨益.