應用基本不等式,破解三角形最值

? 河南省固始縣高級中學 沈玉潔

利用基本不等式破解三角形中的角、邊、周長、面積以及相應代數式等的最值及其綜合應用問題,一直是高考命題中的一個重點與難點,交匯點多,綜合性強,難度較大,靈活多樣,備受各方關注.本文中結合實例,合理通過基本不等式的巧妙放縮,得以確定相應的最值.

1 角的最值問題

利用基本不等式求解三角形中角的最值問題,是高考的一個考點.解決這類問題的關鍵是,利用正、余弦定理及基本不等式求出三角形中相應內角的某一三角函數值的取值范圍或進一步利用三角函數的單調性求出角的最值等.

點評：解決本題的關鍵是利用正弦定理、余弦定理化角為邊的關系式,并結合基本不等式與余弦定理求出角A的余弦值的取值范圍,然后利用三角關系式的變形與轉化,以及不等式的性質來確定角A的正切值的平方的最值,進而獲解.

2 邊的最值問題

求解三角形中邊(或對應的線段長度等)的最值問題是高考的一個基本考點,解決這類問題的關鍵是利用余弦定理表示出所要求的邊,然后利用基本不等式或三角形的三邊關系等條件求出邊的最值.

(1)求角A的大小;

(2)若D為BC的中點,且AD=2,求a的最大值.

點評：利用平面向量的線性關系的兩邊平方處理以及余弦定理的應用,用b2+c2及bc的線性關系式表示出a2是解決本題的關鍵,同時注意利用基本不等式來合理放縮b2+c2與bc之間的不等關系,為確定邊的最值奠定基礎.

3 三角形周長的最值問題

三角形周長的最值問題是高考的一個熱點與常見題型,這類問題一般可以求出一條邊(或已知一邊),然后利用余弦定理表示出另兩條邊滿足的關系式,最后利用基本不等式求出周長的最值.

(1)求A;

點評：涉及三角形周長的最值問題,經常在已知或已求得其中一邊的基礎上,通過另外兩邊之和的最值轉化來綜合,而這時往往需要借助基本不等式來合理放縮與應用,同時也離不開三角形的基本性質等.

4 三角形面積的最值問題

三角形面積的最值問題一直是高考命題的一個熱點,解決這類問題的關鍵是找出兩邊(這兩邊的夾角往往已知或可求)之積滿足的不等關系式,借助基本不等式合理放縮,再利用三角形面積公式解決問題.

解析：略.

點評：解決本題的關鍵是利用余弦定理,或利用平面向量中的線性運算,或利用坐標運算等表示出b,c滿足的關系式,然后利用基本不等式求出bc滿足的不等關系,最后利用三角形面積公式解決問題.

5 涉及角或邊的代數式的最值問題

關于三角形中的邊長或角的代數式的最值問題是新課標高考的一個新趨向,創新新穎,變化多端,解決這類問題的關鍵是消元——消邊或消角,對元素進行統一化處理,然后利用基本不等式求出最值即可.

結合基本不等式,利用正弦定理可得

點評：解決本題中涉及邊的代數式的最值問題的關鍵在于利用正弦定理化邊為角,結合誘導公式與二倍角公式的轉化,綜合三角關系式的恒等變形,利用基本不等式來確定相應的最值問題.

當然,除了巧妙利用基本不等式的放縮來確定三角形中的角、邊、周長、面積以及相應的代數式等的最值及其綜合應用,還可以利用平面幾何圖形的直觀性質、三角函數的有界性、函數與方程的基本性質以及導數等相關知識來解決.而這當中基本不等式的放縮與應用是最簡單有效的一種方法,也是最常見的,要結合問題的實質加以合理轉化,巧妙構建“一正、二定、三相等”的條件,為利用基本不等式來處理三角形最值問題提供條件.