數形結合在函數與方程中的應用

? 江蘇省常熟市滸浦高級中學 李寶香

函數與方程是高中數學的重要組成部分,也是高考的核心考點,二者既相互聯系又相互區別.它們與其他知識點也有著密切的聯系,學好這部分知識點對學生提高數學水平、提升數學能力都有著非常重要的意義.方程與函數相結合的題目比較靈活,學生解題時常常因為找不到合適的切入點而望而卻步.數形結合作為一種重要的思想方法,其在解決函數與方程問題中有著重要的應用.日常教學中,教師應讓學生充分體會函數與方程的轉化關系,重視啟發學生借助圖象的直觀來解決一些抽象的方程、不等式、函數單調性等問題,以此提高解題效率.下面筆者結合實例談談自己在這部分知識教學時的一些心得體會,若有不足,請指正.

1 利用數形結合思想研究一元二次方程的根的分布問題

方程的根與函數的零點既是高中數學的重點,也是難點.在這部分知識教學中,教師應重視基礎知識的講解,讓學生理解并掌握二者之間的等價關系,并學會用數形結合思想方法解決問題,感悟數形結合思想方法在解決此類問題中的價值,發展數學素養.

1.1 探尋基礎,溝通聯系

在函數與方程的教學中,教師應重視引導學生將方程中的相關結論用函數圖象來表達,以此將方程的根與函數的零點建立聯系,通過數形結合,讓學生深刻理解二者的等價關系,從而為后期的應用奠基.

設一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數根分別為x1,x2,且x1≤x2,有以下重要結論.

根據結論1,結合二次函數圖象得到函數零點的分布情況,如圖1.

圖1

同理,結合結論1的研究經驗,根據結論2可以得到對應的二次函數圖象,如圖2.

圖2

圖3

圖4

“數”與“形”建立聯系,為研究方程的根的分布情況帶來了便利,促進了學生高階思維能力的發展.

1.2 靈活應用,深化認知

例1假設x2-2(m-1)x+2m+6=0.

(1)如果方程有兩個根均大于0,求實數m的取值范圍;

(2)如果方程的兩個根一個比1大,一個比1小,求實數m的取值范圍;

(3)如果方程的兩個根均大于1,求實數m的取值范圍.

問題給出后,教師讓學生獨立完成.教師巡視,發現大多學生選擇運用初中所學的方程知識來求解.有的因為運算復雜而望而卻步,有的因為漏解最終導致結果錯誤,解題效果一般.在解決此類問題時,教師要引導學生運用數形結合思想,借助圖形的直觀去研究已知,探尋未知,有效避免錯誤的發生.

教學中,教師選擇了一些典型性解答過程進行展示,以下是學生給出的解問題(3)的解答過程.

所以m≥5.

在此基礎上,教師可以引導學生運用函數零點分布的知識重新思考問題(1)和問題(2),以此通過對比分析發現不同解法的優缺點.以上問題求解后,教師還應引導學生向一般轉化,思考這樣幾個問題:已知方程ax2+bx+c=0(a>0)有兩個根.若方程有兩個正根,此時應滿足什么條件?若方程兩根都比m大,又應滿足什么條件呢?若方程一個根比m大,另一個根比m小呢?由此通過由特殊到一般的轉化,幫助學生總結二次函數零點分布的解法,提高學生解題技能.

在數學教學中,不應僅將目光聚焦于問題解決上,還應思考問題解決過程中涉及的數學思想方法,讓學生學會從整體、全局的角度去思考問題,通過深入探究提高學生分析和解決問題的能力.

2 利用數形結合思想解方程和不等式

函數是方程與不等式的擴展,三者相互溝通、相互轉化.談起解方程,大家腦海中大多浮現的是解一元一次方程、一元二次方程(組),其實方程的類型遠不止于此,有些方程直接求解可能很難找到合理的切入點,需要將其轉化為函數,利用函數思想求解往往可以事半功倍.其實,在研究冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等一些特殊形式的函數時,都會要求學生畫出這些函數的圖象,然后運用一些特殊方程與函數的交點問題來研究方程的根.

3 利用數形結合思想研究函數的單調性

函數單調性是高中數學教學的一個難點內容.之所以難是因為函數單調性的概念比較抽象,部分學生直接應用定義法研究函數單調性時容易遇到障礙,從而影響解題效果.其實我們在學習新函數時,都會研究其圖象,然后根據函數圖象研究函數的相關性質.因此,在研究初等函數或者由初等函數復合而來的函數的單調性問題時,可以結合函數圖象來分析,以此借助“形”的直觀讓問題更加形象,消除學生的畏難情緒,提高解題信心.

例2求函數y=x|x|-2|x|的單調區間.

數形結合在研究函數與方程問題中有著重要的應用,若在教學中合理加以利用可以淡化數學的抽象性,幫助學生更好地理解知識、解決問題,提高解題信心.因此,在課堂教學中,教師不僅要講授知識,還要滲透思想與方法,以此提高教學質量和學生數學素養.