挖掘課程內涵,關注條件概率

? 福建省同安第一中學 王 鋒

2022年高考是八省市實施新高考的第二年,新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷在概率與統計的考查中,均突出了條件概率的地位,新高考I卷第20題第(2)小題第(i)小問考查了條件概率公式,要求學生能用條件概率公式進行證明,第(ii)小問考查了條件概率的意義和計算;新高考II卷第19題第(3)小題直接考查條件概率的運算.雖然兩題難度不大,但是對條件概率的重視非同一般,充分體現了舊教材下的新高考向新教材下的新高考的逐步過渡,也為教學與學習指明方向.

1 概念問題

與條件概率有關的概念問題,主要涉及條件概率模型的判斷,以及與其他概率模型之間的聯系與區別等,不要產生概念之間的混淆.

例1(多選題)下面幾種概率是條件概率的是( ).

A.甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,各投籃一次都投中的概率

B.甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率

C.有10件產品,其中3件次品,抽2件產品進行檢驗,恰好抽到一件次品的概率

分析：結合各選項中不同概率與統計的問題場景,利用條件概率的定義加以展開與分析,進而得以確定條件概率問題.

解析：選項A中,甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,甲、乙各投籃一次都投中為相互獨立事件,不是條件概率模型;

選項B中,甲、乙二人投籃命中率分別為0.6,0.7,在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率問題,為條件概率模型;

選項C中,有10件產品,其中3件次品,抽2件產品進行檢驗,恰好抽到一件次品的概率,是古典概型模型,不是條件概率模型;

故選擇:BD.

點評：抓住條件概率的定義,利用相關事件的發生條件之間的聯系,結合其他概率類型、如相互獨立事件模型、超幾何分布模型、獨立重復試驗模型等,正確區分,準確判斷.

2 計算問題

有時,也可利用具體問題的場景,結合相應的概率公式加以分析,解決一些與條件概率相關的概率應用問題.

例2(2022年高考數學天津卷·13)52張撲克牌,沒有大小王,無放回地抽取兩次,則兩次都抽到A的概率為______;已知第一次抽到的是A,則第二次抽到A的概率為______.

分析：由題意,利用撲克牌的抽取屬于無放回的情況來確定對應的概率問題,結合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率,再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下,第二次抽到A的概率.

解析：由題意,設第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則

點評：以常見的撲克牌及其對應的無放回抽取試驗,巧妙融入獨立事件的概率和條件概率,借助條件概率公式進行計算與求值,是條件概率在高考中比較常見的一種考查方式.正確判斷條件概率模型,并準確掌握條件概率公式,是解決計算與求值等相關條件概率問題中的關鍵.

例3如果{an}不是等差數列,但若?k∈N*,使得ak+ak+2=2ak+1,那么我們稱{an}為“局部等差”數列,已知數列{xn}的項數為4,記事件A:集合{x1,x2,x3,x4}?{1,2,3,4,5},事件B:{xn}為“局部等差”數列,則條件概率P(B|A)=______.

分析：由題意,通過條件概率的場景創設,分別計算出事件A和事件B的基本事件數,結合概率公式即可求解.

解析：由題意,事件A的基本事件數為

事件B的基本事件有:

含1,2,3的局部等差數列為1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3個;含3,2,1的局部等差數列同理也有3個.

含3,4,5和5,4,3的共有6個.

含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1共2個;含4,3,2的也有2個.

含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4共4個;含5,3,1的也有4個.

局部等差數列共計6+6+2+2+4+4=24(個).

點評：當涉及的基本事件是有限個和等可能發生時,經常可以利用古典概型的概率公式,分別求解事件A所包含的基本事件數,以及事件A發生的條件下事件B包含的基本事件數.借助古典概型的概率公式來求解對應的條件概率問題,也是處理此類問題中比較常用的一種技巧方法.

3 應用問題

與條件概率相關的應用問題,主要涉及條件概率的概念、計算公式以及與其他相關知識的綜合,要在實際應用情境中進行滲透與創新.

例4〔2023屆湖南省長沙市長郡中學高三(上)月考數學試卷(二)〕統計與概率主要研究現實生活中的數據和客觀世界中的隨機現象,通過對數據的收集、整理、分析、描述及對事件發生的可能性刻畫,來幫助人們作出合理的決策.

(1)現有池塘甲,已知池塘甲里有50條魚,其中A種魚7條,若從池塘甲中捉了2條魚.用ξ表示其中A種魚的條數,請寫出ξ的分布列,并求ξ的數學期望.

(2)另有池塘乙,為估計池塘乙中的魚數,某同學先從中捉了50條魚,做好記號后放回池塘,再從中捉了20條魚,發現有記號的有5條.

(ⅰ)請從分層抽樣的角度估計池塘乙中的魚數;

(ⅱ)統計學中有一種重要而普遍的求估計量的方法——最大似然估計,其原理是使用概率模型尋找能夠以較高概率產生觀察數據的系統發生樹,即在什么情況下最有可能發生已知的事件.請從條件概率的角度,采用最大似然估計法估計池塘乙中的魚數.

分析：(1)根據超幾何概率公式即可求解概率,進而可得分布列和期望;(2)根據抽樣比即可求解總數,利用條件概率公式進行概率計算,并根據最大似然思想,結合概率之間比值關系的轉化與大小關系的判斷,并結合概率的單調性即可求解最大值,進而解決問題.

解析：(1)由題意可知ξ的可能取值為0,1,2,則

故ξ的分布列為

ξ012P129175431753175

故池塘乙中的魚數為200.

所以,估計池塘乙中的魚數為199或200.

點評：以概率與統計為問題為創新場景,合理融入概率與統計的相關知識,是新高考數學中概率與統計部分考查的基本方式.合理融入條件概率模型,借助條件概率的判斷、公式的應用、數值的計算等,并結合其他概率模型與統計知識來綜合,全面考查概率與統計中的相關知識與數學能力等.

條件概率作為新舊教材中概率與統計部分的一個重要知識點,在新課程改革與新高考模式下,從一定程度上突出了條件概率的地位,合理引領新舊教材下的變化以及新高考模式下的創新與改革.特別是引導高中教學逐步向新教材過渡,新高考更加注重教考銜接,在突出教材主干知識與核心內容的同時,也積極關注新教材、新高考熱點與趨勢.