“問題串”在高中數學教學中的應用

? 江蘇省蘇州市吳江區平望中學 丁莉萍

“新課標”在“以人為本”的理念下提倡:“教學過程中應設計一系列問題來支撐學生的學習,幫助學生更好地成為學習的主體,讓學生在問題的探索中實現自我成長.”問題串是指圍繞一個教學主題,遵循一定的邏輯,由淺入深地設計出一組問題.從簡單到復雜、逐層遞進是它的主要特點,學生的思維隨著問題的逐漸深入,實現從識記、理解等低層次向綜合分析、評價等高層次發展.

1 目標明確,主題突出

任何教學設計都需要有明確的目標,并與學生實際相結合,緊緊圍繞教學重點與難點進行.同樣,在設計問題串時,也應在教學目標的指導下,結合學情與教學內容進行設計.隨意的問題不僅缺乏針對性,還存在概念不清、拖泥帶水的情況.因此,每一個問題都要有明確的針對性,以幫助學生深刻理解知識的內涵,達到辨析概念、完善認知的目的.

案例1“三角函數”的概念教學

概念是基礎,是教學的重中之重.學生對這部分內容已有接觸,存在一定的基礎.課堂導入環節,筆者先帶領學生回顧與三角函數相關的知識,以喚醒學生的記憶.在學生對這部分知識產生了探究興趣后,筆者圍繞本節課的教學目標,有針對性地設計出以下問題串:

問題1如圖1,點A在銳角α的終邊上,假設點A(x,y),OA=r,分別求sinα,cosα,tanα.

圖1

問題2如圖1,點A1在銳角α的終邊上,假設點A1(x1,y1),OA1=r1,分別求sinα,cosα,tanα.

問題3這兩問中的比值存在什么樣的關系?

問題4擴大角α的范圍,若角α的終邊分別落在第二、三、四象限內,此時對于任意的角α,sinα,cosα,tanα該怎么定義?

問題5如果以坐標原點為圓心,單位長為半徑的圓(單位圓)與角α的終邊相交于點A,此時以上定義中的比值會發生怎樣的變化?

這幾個問題目標明確、針對性強,完全以教學目標為問題串設計的核心,學生的思維隨著問題串的深入而深入,這對有效教學的形成具有顯著的幫助.學生對這幾個問題的思考與分析,都是緊扣教學目標而進行的,隨著問題的逐個突破,也就實現了教學目標,完成了教學任務.

2 由淺入深,凸顯層次

新課標引領下的高中數學課堂尤其強調教學的層次性,它是指在教學活動中,由于學生層次水平不同,教師結合學生的實際情況制訂不同的教學方法,并通過不同的評價實現每個學生的發展.問題串的設計也要與“層次性”掛鉤,班級學生個體水平不可能都處于同一層次,教師在設計問題時,可根據學生的實際水平與知識的難易程度設計出階梯性的問題串,讓學生的思維隨著階梯逐層遞進,達到螺旋式上升.

案例2“水輪問題”的教學

如圖2,這是一個半徑為4 m的水輪,圓心O與水面的距離為2 m,若水輪每分鐘逆時針旋轉4圈,從水輪上的點P浮現出水面(圖中點P0)開始計時.

圖2

(1)用時間t表示點P與水面的距離z.

(2)點P在旋轉過程中,第一次到達最高點,約需多少時間?

師:水輪每分鐘逆時針旋轉4圈,具體代表什么意思?

生1:它是指在一分鐘之內,水輪逆時針轉動4個圓周長或4個周角.

師:可以拿什么與它進行類比,它所反映出的實質是什么?

生2:可以拿速度與它類比,其實質是轉速.

師:怎么求轉速?

生4:如圖3,過點P作水面的垂線,H為垂足,本題所求的z=HP.

圖3

師:想求HP,在點P作勻速周運動時,我們可以怎樣刻畫這種運動過程?由此你們能聯想到什么?

生5:點P的運動可用∠POP0來刻畫.

師:如何計算∠P0OP?(注意點P0起始時間.)

師:除了用角度來刻畫之外,還有其他方法來刻畫點P的運動嗎?

生7:可以嘗試用坐標來刻畫它的位置.

師:哦?該怎么建系呢?

生8:如圖4,可以圓心O作為坐標系的原點,水平線作為x軸,過點O畫y軸建立平面直角坐標系.

圖4

師:如此建系具有怎樣的好處?

生9:更便于表示角,方便利用三角函數來解決問題,點P的位置可以用∠xOP刻畫.

師:這兩種刻畫方式存在一定的內在聯系嗎?

師:HP的表達式該怎么求?

生11:如圖4,假設PH與x交于點M,把PH視為有向線段,則HP為有向線段MH和PM之和,也就是HP=HM+MP,則z=HP=2+y=2+4sinα,α=∠POP0-∠xOP0.

師:那么∠xOP0怎么求呢?

不難發現,此過程教師所提出的問題,具有明顯的層次性.由淺入深的問題,符合各個層次水平學生的認知,每個學生都在問題串的誘導下,經歷了激勵、喚醒與鼓勵的過程.思維也經歷了從簡單到復雜、拾級而上的變化與發展.三角函數模型y=Asin(ωx+φ)+k在多個具體問題的引導下建立,這讓每個學生對函數中的A,ω,φ,k都產生了深刻理解,實現了課堂的有效教學.

3 結合生活,靈活應用

眾所周知,數學源自生活,而又服務于生活.問題串的設計也應以學生的生活經驗為出發點,結合學生的認知與教學內容的特點,設計出具有時代氣息,與生活實際息息相關的問題,激發學生的探究欲,讓學生遨游于問題中,感知知識在生活實際中的靈活應用,體悟學習的現實意義與價值.

案例3“平均變化率”的教學

這是一個抽象的問題,教師不管講多少內容都沒有將知識運用到生活實際中來得直觀形象.因此,筆者引入兩個學生所熟悉的生活情境,并以此設計了相應的問題串,以激發學生的興趣,深化學生對知識的理解.

情境1過山車在4 s內將速度從0 km/h提升到190 km/h,并用8 s的時間沖刺到了139 m高的地方,再耗費20 s穿過100 m的水平軌道.

情境2我們生活在一個充滿變化的世界中,如每天的氣溫都在發生著變化,表1展示了某地3,4月份幾天最高氣溫的情況.

表1 單位:℃

師:情境1中存在哪些變量?

生1:時間、速度與位移,這三個量在不斷地變化.

師:速度發生了怎樣的變化?

生2:速度在前4 s由慢到快,在后20 s由快變慢.

師:非常好,這就是運動中變量的變化.現在我們再來看情境2,如圖5,此為3月18日到4月20的氣溫變化圖,從中你們發現了些什么?

圖5

生3:日期一共有34天(用橫軸表示),溫度用縱軸表示.前半段氣溫變化比較平緩,后半段氣溫上升速度較快.

師:很棒!那我們該怎樣刻畫這兩個情境中所出現的變化快與慢的問題呢?

(學生討論.)

總之,學起于思,思源于疑.問題在課堂教學中隨處可見,而逐層深入的的問題串則能有效地激發學生持久的探究興趣.值得注意的是,教師不能只接受自己所期望的答案,而應鼓勵學生勇敢地、大膽地表達自己的想法,以增加學生的思維量,使得每個層次的學生都能在問題串的引導下,獲得良好的學習體驗.