關注數學思想方法 打造高質魅力課堂

? 甘肅省靜寧縣文萃中學 李雙偉

隨著教學改革的不斷深入,大多教師已經充分認識到,在高中數學教學中若繼續搞“灌輸”已經很難讓學生在數學方面有所突破.眾所周知,數學題目多變,如果學生不會用數學思維去思考,而是單憑機械的模仿是難以順利解決問題的,數學成績也難以提升.因此無論是為了提高數學成績,還是培養學生的數學思維品質,數學思想方法的教學都勢在必行.其實,大多教師之所以熱衷于數學知識教學,是因為數學知識看得見,能夠用練習、考試進行檢測,更易于操作.然數學思想屬于一種隱性知識,是難以通過強化訓練來提升的.另外,學生何時能夠掌握,何時能夠靈活運用都沒有規律可循,只能在平時教學中慢慢培養,慢慢滲透.那么,在教學中數學思想方法到底應如何滲透、如何落實已成為一線教師關注的重點話題,筆者也談了幾點淺見,供借鑒!

1 教學現狀

對于學生,談起數學思想方法,能夠知曉數形結合思想、函數方程思想、分類討論思想等重要數學思想方法,然并未真正理解其本質,在數學學習中也難以靈活運用.在教學中,有的教師會在解題時告訴學生此題會涉及哪些具體的思想方法,然解題時卻強調結果,學生并未感受到數學思想方法與具體問題的直接聯系;也有教師確實比較重視數學思想方法的培養,為此在解題過程中會重點強調,然而在日常的新知教學中,為了趕進度、擴容量,往往忽視了數學思想方法的滲透,使得數學思想方法與日常教學脫節;還有教師直接以專題的形式進行數學思想方法的培養,而數學思想方法是隱藏于數學知識之中的,需要學生慢慢感悟,過度的強調未必能夠取得實質性的收獲,反而容易讓學生產生挫敗感,不利于學生發展.

案例1若等比數列{an}的各項均為正數,且a10a11+a9a12=2e5,則lna1+lna2+……+lna20=______.

這是一道高考題,教師認為本題比較簡單,于是直接給出了解題過程:

由等比數列,可知

a1a20=a2a19=……=a9a12=a10a11=e5.

記S=lna1+lna2+……+lna19+lna20,則有

S=lna20+lna19+……+lna2+lna1.

所以2S=20ln(a1a20)=100.故S=50.

至此本題講解完畢了,但到底為什么這么做?學生一頭霧水,只是驚嘆于教師的奇思妙想,卻難以將其轉化為自己的解題能力.這樣灌輸式的講解模式缺乏思維的靈魂,讓學生感覺不適,降低了課堂的參與度,課堂氣氛沉悶.本題對于教師來講是簡單的,但對于剛接觸這類問題的學生來講是抽象的、復雜的.學生真正的理解需要教師不斷的引導和滲透,只有教學中讓學生先經歷一個由特殊到一般的過程,學生才能真正地理解知識、掌握知識、運用知識,進而有效地避免機械照抄照搬所帶來的思維定勢,使思維更具靈活性.

對于以上問題,教師不應急于給出答案,而是應先通過簡單的實例讓學生理解倒序相加法.例如,可通過等差數列引入,讓學生自己歸納出等差數列中倒序相加的類型,引導學生將總結的經驗自然遷移到等比數列中來,通過對應思想方法的滲透讓學生既知其表象,又懂其實質,以此培養思維的深度.另外,本題講解后,教師也不應急于下面的講解,可引入一些變式題目讓學生進行強化練習,進而加深對知識的理解.

從上面的教學可以看出,教師在課堂上缺乏對數學思想方法的挖掘,僅僅是就題論題式的講解.這樣學生難以掌握問題的本質,日后解決此類問題時還是會感覺無從下手.因此,教師對數學思想方法的教學不能流于形式,而是要深入問題本身去挖掘,只有這樣才能有效地發展學生的數學思維.

2 培養策略

數學思想方法是隨著認知結構的發展而變化的.隨著數學知識和學習能力的增長,學生的認知結構不斷得以完善和優化,學生對數學思想方法的認識和理解也呈現出螺旋式的上升模式.在開展數學思想方法教學時,應以學生認知為出發點,多引導學生去挖掘、體驗、抽象和反思,進而讓數學思想方法與數學知識融為一體.

2.1 在教學內容中挖掘

在數學學習中,大多學生認為會解題就是學會了數學,然解題并非數學學習的全部.其實,解題過程中往往蘊含著豐富的數學思想方法,而學生在學習過程中過多追求成績,常忽視了數學思想方法的挖掘,因此對解題過程和解題方法的認識不深,影響了解題能力的提升.在教學中,教師應鉆研教材,充分挖掘每個知識點、每道例習題、每個知識體系中所體現的數學思想方法,進而在日常教學活動中有目的性地進行滲透,讓學生可以自發地理解數學知識中所蘊含的思想方法,可以更好地用數學思維去思考和解決問題,使數學思維螺旋性上升.

2.2 在基礎知識中滲透

其實,很多概念、定理、公式等基礎知識本身就蘊含著數學思想方法.如:誘導公式中蘊含著化歸思想;立體幾何點、線、面的位置關系中體現了轉化思想.然在教學中我們往往重視應用這些基礎知識去解決問題,而忽視了數學思想方法的抽象和提煉,浪費了許多教學數學思想方法的機會,影響了學生數學思想方法的培養.因此,在日常教學中,要將數學思想方法滲透于基礎知識的教學中,幫助學生更加深入地掌握數學知識.

案例2三角函數的定義.

在三角函數概念的教學過程中,首先應復習初中階段關于銳角三角函數的相關內容,誘發學生思考是否可以用角的終邊上某個點的坐標來表示銳角三角函數,引導學生用數形結合的方法開展新知探究,將數形結合思想滲透其中.在教師的帶領下,師生共同探究,給出如下分析過程:

如圖1,設α是任意角,其終邊與單位圓的交點P的坐標為(x,y).

圖1

結合圖形,學生得出如下結論:

y叫做α的正弦,即cosα=y;

x叫做α的余弦,即sinα=x;

根據以上結論容易發現,對于確定的角α,上述幾個值是唯一確定的,便于引出定義.對于“r=1”的選擇,體現了特殊化的數學思想.接下來,教師還可以引導學生將銳角三角函數與任意角三角函數進行對比,進而培養學生類比的思想方法.這樣將數學思想方法自然地滲透在概念的教學中,學生通過類比、遷移、聯想、歸納總結,抽象出了定義.

2.3 在變式教學中提煉

變式問題往往具備一定的目的性,借助問題的引導可以讓學生自主發現蘊含在數學知識中的規律,凸顯問題的本質,培養思維的廣度和深度,提升學生的數學素養.

案例3如圖2,O為平行四邊形ABCD對角線的交點,E,F分別是OB,OD的中點,問四邊形AECF是平行四邊形嗎?

圖2

變式1如圖3,將案例3中的“E,F分別是OB,OD的中點”改為“E,F為直線BD上的兩點,且BE=DF”,此時四邊形AECF是平行四邊形嗎?

圖3

變式2如圖4,在平行四邊形ABCD中,E,F是對角線AC上的兩個點,G,H是對角線BD上兩點.已知AE=CF,DG=BH,此時四邊形EHFG是平行四邊形嗎?

圖4

教師帶領學生分析并證明了原題后,通過變式題目引導學生進行探究,進而發散學生的數學思維,讓學生在變式題目中提煉數學思想方法.變式1較原題來講,難度略有提升,原題中點E,F的位置是線段,而變式后是直線,顯然擴大了知識范圍,不過在原題的基礎上,學生通過連結AC后,容易發現其與原題的本質相同,仍然可用原題的證明方法加以證明.變式2是在變式1的基礎上進行的一般化拓展,讓學生體會從特殊到一般的數學思想方法,有助于提高學生的數學思維品質.

其實,培養數學思想方法的教學策略并不局限于以上幾種.例如可以引入數學文化素材,豐富數學知識的內涵,讓學生更加清晰地認識和理解數學思想方法的發展過程,培養學生正確的數學觀;還可以通過教學評價、教學反思,引導學生重視數學思想方法,自主總結和歸納出重要的數學思想方法;等等.總之,數學思想方法的教學應該具有一定的計劃性和目的性.教師在教學中要結合教材、學情進行合理滲透,使知識與思想方法有機地融合在一起,讓學生實現學習能力的全面提升.