經歷探索過程 提升思維品質

? 山東省東營市第二中學 李紅秀

在高考中常常會遇到這樣一類求最值的問題,它們的條件式和待求式隸屬完全對稱式,即對于含有n個變元的x1,x2,……,xn式子中,若將任意兩個變元xi,xj(i,j=1,2,3,……,n,i≠j)交換位置,其結果保持不變.為了幫助學生理解并掌握解決此類問題的方法,教師在高三二輪復習時將此類問題整合成專題,以此通過專項訓練幫助學生明晰問題的本質,掌握解決此類問題的巧解和通法,有效提高學生解決此類問題的能力.筆者將專題教學過程整理成文,供大家參考、借鑒,若有不足請指正.

1 教學過程

1.1 呈現課例,引出主題

師:請大家思考一下,以下兩個問題該如何求解?

問題給出后,先讓學生獨立思考,然后請兩位學生板演解題過程.

師:請大家仔細觀察以上兩位同學的解答過程,看看你有什么發現?

師:在應用均值不等式時,一定要注意它的適用條件,否則會引發錯誤.

師:生1在求解過程中運用了幾次均值不等式?

生齊聲答:兩次.

師:應用兩次均值不等式的問題,常常容易忽視取等條件而引發錯誤.對于例1,是否可以通過有效的轉化,使其只應用一次均值不等式來解決呢?

師:不錯,生3充分利用已知條件,利用“整1代入法”有效地避免了應用兩次均值不等式.

設計意圖：從學生熟悉的內容出發,復習并鞏固了均值不等式的適用條件.在此過程中,教師引導學生觀察分析,讓學生嘗試將應用兩次均值不等式轉化為應用一次,繼而在問題的引導下誘發深度思考.這樣通過再觀察、再思考,優化了解題思路,有效避免了兩次應用均值不等式易產生錯解的風險.

1.2 問題探究,形成規律

生4:我認為可以,這就是取等的條件.

生5:我認為不可以,這應該是一個巧合.

師:是什么原因成就了“巧合”呢?這其中蘊含著什么奧秘呢?(預留時間讓學生分析、交流.)

生6:這里涉及a,b兩個量,若將其互換位置題目還是不變.

設計意圖：從結果出發,讓學生發現運用均值不等式與利用代入法所得到的最值相等,由此引出出現這一現象的奧秘,讓學生深刻理解完全對稱式,并知曉在解決完全對稱式問題時,可以令兩個量相等來巧妙地解決問題.這樣,通過深入探究發現題目中的奧秘,不僅提升了解題效率,而且讓學生感悟探索規律的重要性,有利于激發學生數學學習興趣.

1.3 變式拓展,深化理解

師:現在大家請看例3該如何求解呢?

例3若x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值為______.

問題給出后,部分學生嘗試利用“代入法”求解,但是發現兩變量互換后,題目發生了變化,所以放棄了該方法,走上了“消元”的老路.

師:想一想,是否可以將題目轉化成完全對稱式呢?若將其中一個量變一變,你會發現什么呢?

生7:令2y=t,則有x+t+xt=8,求x+t的最小值.經過轉化,已知等式和待求式中的兩個量互換后,題目不變,可看作是關于x,t的完全對稱式,此時令x=t,求得x=2,即當x=2,y=1時取最小值,所求的最小值為4.

生7的答案給出后,學生紛紛感嘆該方法之妙.

師:該方法是很簡單,但若該題是簡答題,是否也可以用這種方法解決呢?

生齊聲答:不能.

師:對的,該方法存在著先天的不足,所以對于常規方法,如消元法和均值不等式法還應重點把握.

接下來,教師預留時間讓學生利用常規方法求解,學生分別應用消元法、均值不等式法和消元法、求導法解決了問題.

設計意圖：教師先啟發和指導學生將問題轉化為完全對稱式,巧妙順利地解決問題.然后,引導學生將“巧解”與“常規方法”進行對比,既讓學生感悟巧解的妙用,又讓學生知道常規方法才是解決問題的通法.解題時,要多角度觀察,根據不同的題型選擇不同的解決方案,提升解題效率.

1.4 部分對稱,知識升華

例4中有3個變量,其難度顯然有所提升,教師預留時間讓學生通過小組合作的方式解決問題.

生8:該題是填空題,可以應用完全對稱式.

師:如何變成完全對稱式呢?

設計意圖：在原有認識的基礎上繼續拓展,進一步強化應用“完全對稱式求最值”的策略方法,升華學生的認知.

這樣由淺入深的逐層滲透,深化了對“完全對稱式”的理解,學生的思維能力得到了穩步提升.

2 教學思考

2.1 專題訓練要控制好數量和節奏

在專項訓練中,要選擇一些思維難度不大的問題作為切入點,以此調動學生參與的積極性,并讓學生在積極參與中發現問題間的內在聯系及蘊含其中的規律,找到解決問題的方法.同時,要控制好教學節奏,通過自主學習和小組學習相結合的方式,培養學生合作意識,讓學生在互動交流中不斷優化自己的認知體系.在以上教學過程中,問題給出后,都預留時間讓學生思考,鼓勵學生提出自己的見解,并通過生評與師評給予及時的評價,課堂氛圍活躍,促進學生思維能力的發展.

2.2 處理好“巧解”和“通法”的關系

在數學教學中發現,學生在學習過程中有“重巧解,輕通法”的現象.學生認為巧解可以優化運算過程,提高解題效率.要知道,“巧解”雖好,但是并不通用,因此在解題時切勿忽視通性通法.在本課教學中,學生應用“巧解”完成例3后,教師鼓勵學生應用常規方法解題,繼而通過一題多解、一法多用,不斷優化學生的認知結構,提高學生解決問題的能力.

縱觀高考,其所考查的是基本知識和基本方法.因此,教學中要強調通性通法,淡化解題技巧,引導學生關注數學的本質,實現知識的融會貫通.

2.3 鼓勵學生質疑、反思、歸納

數學是一門抽象且復雜的學科.面對抽象的問題時,學生難免會出現這樣或那樣的問題,因此在教學中要預留時間讓學生思考、交流、歸納,以促進知識的深化.同時,要鼓勵學生質疑,如在學習過程中,學生提出如下問題:應用“完全對稱式求最值”是否通用呢?該方法嚴謹嗎?是否存在特例呢?這樣,通過多思考、多探究,培養思維的深刻性、嚴謹性;通過質疑、反思,對新方法形成客觀的認識,以避免因盲目套用而引發錯誤.

總之,在教學過程中,教師要引導學生客觀地對待巧解,鼓勵學生質疑、反思、交流,讓學生系統地、全面地理解和掌握相關知識,有效提高解題能力.