單元教學設計與核心素養培養
——以“平面向量”單元教學為例

? 江蘇省宿遷中學 倪文林

1 問題提出

在《普通高中數學課程標準(2017年版)》中,對應“課程基本理念”部分第一次創新性地提出“數學學科核心素養”這一重要理念.對于數學學科核心素養的培養與養成,一直滲透于數學教學與學習過程中,成為數學活動中的一種常態.

數學學科核心素養的培養與養成,對于教學與學習有一定的指導與目標意識,那么在高中數學教學單元中如何加以實施,能夠更加有效培養并提升數學核心素養,促進學生的全方位發展呢?本文中以“平面向量”單元教學為例,結合實例就數學學科核心素養的培養加以闡述,以期拋磚引玉.

2 問題解決

2.1 從數學問題中結合抽象加以數學運算

借助平面向量的概念與公式等相關知識,合理構建對應的關系式等,通過數學變形與轉化,合理利用數學運算來轉化與應用.

例1〔福建省泉州市2023屆高中畢業班質量監測(三)數學試卷(2023年3月)·8〕已知平面向量a,b,c滿足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,則|b+c|的最小值為( ).

解析：在平面直角坐標系xOy中,設向量a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2),如圖1所示.

圖1

因為a·b=1,a·c=-1,b·c=0,所以x1=1,x2=-1,x1x2+y1y2=0,則y1y2=1.

所以|b+c|的最小值為2.

故選擇:C.

點評：本題根據平面向量“數”的結構屬性,通過平面直角坐標系的構建加以數學運算,合理引入平面向量的坐標,利用題設條件確定對應坐標的關系,利用基本不等式的放縮、三角函數的應用等來確定向量和的模的最值.

2.2 從邏輯推理中歸納總結加以直觀想象

借助平面向量的相關數據信息,特別是向量的位置關系(平行或垂直等),結合題設條件通過合理的邏輯推理,構建與之對應的平面幾何圖形加以直觀想象,從而利用圖形直觀分析解決平面向量問題.

圖2

故選擇:B.

點評：本題合理通過平面向量“形”的結構特征,借助向量投影的定義加以直觀形象處理是解決平面向量數量積的最值中比較特殊的一種技巧方法.這里借助局部與整體的平面向量的投影思維來處理,思維視角不同,解題思維一致,殊途同歸.局部視角需要必要的變形與轉化,整體視角的要求使得圖形更加復雜,各有利弊.

2.3 從數學思維中合理應用加以邏輯推理

類似于特殊值思維等,都是平面向量及其應用中最為常用的一些基本技巧方法.特別對于一些小題(選擇題或填空題),抓住問題的本質,通過合理巧妙的邏輯推理,對于解決平面向量及其相關的應用問題有很好的效益.

圖3

故選擇:A.

點評：抓住平面向量“形”的結構特征,從“形”的思維視角切入,結合“形”的位置關系等合理分析與處理.特別是涉及“形”中的對稱性、特殊思維等的應用,可以巧妙邏輯推理與數學運算.

2.4 從問題本質中合理轉化加以數學建模

從題目條件的本質入手,結合平面向量的概念、運算、性質等加以巧妙轉化與化歸處理,合理構建數學模型,進而借助熟悉的數學模型來分析與解決相應的平面向量問題.

圖4

解析：在△BCD中,由BC=CD=1,∠DCB=90°+45°=135°,可得∠BDC=22.5°.

圖5

故選擇:A.

點評：求解平面向量的線性關系中的系數問題,合理構建數學模型是解題的關鍵.這里通過抓住平面向量“數”與“形”的雙重性質,可以從“數”的視角,也可以從“形”的視角來處理.“數”與“形”的融合與拓展,為平面向量問題的分析與求解提供了基本的思維方式.

3 感悟反思

相應的數學核心素養的培養與養成,對于具體的知識模塊來說仁者見仁,智者見智.在實際教學與學習過程中,要充分扎根于課堂,借助平面向量這一模塊知識,從本質上加以合理挖掘與拓展,就數學核心知識、數學核心素養等方面,巧妙應用,有效實施.

特別在單元教學過程中,教師要根據平面向量模塊知識的本質與特點,從“數”與“形”兩個本質屬性入手,在課堂教學與學習中加以滲透,提升學生數學能力與數學核心素養.