美從對稱中來:淺談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

? 安徽省合肥市第一中學(xué) 溫海平 劉 娟

要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),就必須教會(huì)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題.本文中將從兩道高考題說起,拋磚引玉,探索在平時(shí)教學(xué)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的路徑,以饗讀者.

1 試題呈現(xiàn)

試題1(2022年新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,則( ).

A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

2 考題分析

這兩道試題都有一個(gè)共同點(diǎn),就是考查函數(shù)的對稱性.對稱,是一種數(shù)學(xué)美.我們在做題時(shí),通常會(huì)數(shù)形結(jié)合,在欣賞數(shù)學(xué)美的同時(shí),數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也在這兩道題里得到了充分的考查,可謂隨“卷”潛入“題”,潤“人”細(xì)無聲[1].

高考對數(shù)學(xué)的考查,正從知識(shí)走向能力,從能力走向素養(yǎng).有人說,初中課上教你包餃子,考試就考包餃子.到了高中,課上教你包餃子,作業(yè)是蒸包子,考試的時(shí)候卻是烙餡餅.這個(gè)比喻很形象,就是說生搬硬套、照貓畫虎這套在高中行不通了.我們要教會(huì)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)觀念,做到舉一反三,學(xué)會(huì)知識(shí)能力的遷移,提升自己的思維品質(zhì).

高考對這兩道題共性的考查,明確了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成,不是通過簡單的刷題及題海戰(zhàn)就可以了的.我們要教會(huì)學(xué)生構(gòu)建自己的知識(shí)庫,形成自己的知識(shí)體系.

3 追本溯源

教材對于對稱的描述其實(shí)是有據(jù)可考的.人教A版(2019)教材必修第一冊第87頁有這樣一道題:

我們知道,函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心;

(2)類比上述推廣結(jié)論,寫出“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形的充要條件是y=f(x)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.

為了方便表述,本文將這個(gè)推廣結(jié)論記為定理1.

定理1函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).

這個(gè)定理的證明比較簡單,本文從略.在定理1的證明過程中,還可以生成定理2.

定理2函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是f(x)+f(2a-x)=2b.

試題1的選項(xiàng)C可由定理1輕松解決,這里不再贅述.引導(dǎo)學(xué)生深入思考:三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有對稱中心嗎?如果有,對稱中心是什么?為什么會(huì)有這樣的結(jié)論?

4 本質(zhì)透析

5 降維打擊

從高觀點(diǎn)看三次函數(shù)的對稱性,觀察函數(shù)f(x)=x3-3x2的圖象(圖1),由對稱性可知,它的對稱中心必定是函數(shù)的凹凸轉(zhuǎn)折點(diǎn)(1,f(1)),即拐點(diǎn),參考高等數(shù)學(xué)對拐點(diǎn)的定義:若方程f″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,那么(x0,f(x0))稱為函數(shù)的拐點(diǎn).

圖1

圖2

再回到課本,類比上述推廣結(jié)論,寫出“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形的充要條件是y=f(x)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.為了方便表述,將這個(gè)推廣結(jié)論記為定理3.

定理3函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是y=f(x+a)為偶函數(shù).

定理4函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是f(x+a)=f(-x+a).

再看試題2,考查函數(shù)的對稱性、周期性,屬于拔高題.

因?yàn)間(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,則有g(shù)(2-x)=g(2+x),代入f(x)+g(2-x)=5,可得f(x)+g(2+x)=5(記為①).又f(-x)+g(2+x)=5(記為②),由①②可得f(x)=f(-x),故f(x)是偶函數(shù).由g(x)-f(x-4)=7,可得g(x+2)-f(x-2)=7.

結(jié)合f(x)+g(2+x)=5,消去g(x+2),得f(x)+f(x-2)=-2(記為③),所以f(-x)+f(x-2)=-2(記為④).

因此,f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,-1)對稱.又f(x)關(guān)于y軸對稱,所以f(x)的最小正周期是4.

在①中,令x=0,可得f(0)=1.在③中,令x=1,可得f(1)=-1.在④中,分別令x=0,x=3,x=4可得f(2)=-3,f(3)=-1,f(4)=1.

另解:由f(x)+f(x-2)=-2,考慮到x只能取整數(shù),所以可將f(x)視為某種特殊數(shù)列,它的相鄰奇數(shù)項(xiàng)且相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和均為-2,也可以算得答案為-24.

6 舉一反三

在課堂教學(xué)中,教師要不斷尋找時(shí)機(jī),通過問題的變化,舉一反三,不斷刺激學(xué)生神經(jīng)的興奮點(diǎn),從而達(dá)到良好的教學(xué)效果.問題的設(shè)置點(diǎn)不能太高,要讓學(xué)生跳一跳、蹦一蹦就能找到觸碰點(diǎn),讓好奇心成為引領(lǐng)他們探究問題的動(dòng)力.

明白這些道理后,我們再看下面這道高考題.

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

事實(shí)上,這類題型在歷年的高考卷中出現(xiàn)過多次,這里不再一一列舉.

從初中的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)到高中的指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù),尤其是三角函數(shù),處處都彰顯出對稱美.若不能看透問題的本質(zhì),就會(huì)無從下手.若能從對稱的角度看待問題,那么就會(huì)山窮水盡疑無路,柳暗花明又一村.如果平時(shí)的教學(xué)中滲透了相關(guān)知識(shí),那么這種題型還是很簡單的.

在教學(xué)過程中可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建自己的知識(shí)資源庫,把“對稱”作為一個(gè)專題進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí).利用現(xiàn)代教學(xué)軟件Geogebra或幾何畫板畫出每類函數(shù)的代表圖形,加深學(xué)生對于對稱的直觀理解.通過對近幾年的高考題的研究發(fā)現(xiàn),有關(guān)對稱的考查還是比較多的.學(xué)生核心素養(yǎng)的考查在近年的高考試題中也都有很好的體現(xiàn),它指引著高中數(shù)學(xué)課程教與學(xué)的方向.

7 教學(xué)啟示

俗話說得好,授人以魚不如授人以漁.作為教師的我們既要立足課本,研讀教材,又要深挖內(nèi)涵,勤研善教,以不變應(yīng)萬變.波利亞告訴我們:沒有任何一道題目是徹底完成了的,總還會(huì)有些事情可以做[2].

不畏浮云遮望眼,只緣身在最高層.只有自身的能力得到提升,才能更好地教育學(xué)生.因此,我們在教學(xué)過程中,不能只停留在解出一道題的層面,要反思解題過程以及在解題過程中遇到的問題.解題過程中學(xué)生會(huì)冒出各種奇思妙想,這些想法就是一朵朵思維的火花,教師要善于抓住時(shí)機(jī),一步步引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美,那么他們就會(huì)離美麗的數(shù)學(xué)殿堂更進(jìn)一步.